Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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'''b)''' Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, ist die Zuordnung <math>m \longmapsto x</math> eine Funktion m(x). Betrachte die Wertepaare in der Tabelle Teil a). | '''b)''' Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, ist die Zuordnung <math>m \longmapsto x</math> eine Funktion <math>m(x)</math>. Betrachte die Wertepaare in der Tabelle Teil a). | ||
'''''Stelle die Gleichung der Funktion auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem. | '''''Stelle die Gleichung der Funktion auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem. | ||
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{{Lösung versteckt|1 = Die Funktionsgleichung lautet: <math>m(x) = \tfrac{1}{2} x</math>. Denn <math>-1 = 0,5 \ | {{Lösung versteckt|1= für alle Wertepaare gilt, dass der Wert <math>m</math> ein Vielfaches von <math>x</math> ist, wobei dieser Faktor eine feste Zahl ist. Solche Zuordnungen nennt man linear.|2=Tipp|3=Tipp}} | ||
{{Lösung versteckt|1 = Die Funktionsgleichung lautet: <math>m(x) = \tfrac{1}{2} x</math>. Denn <math>-1 = 0,5 \cdot (-2) oder 1,5 = 0,5\cdot 3</math> Diese Funktion gibt die lokale Steigungsänderung (Tangentensteigung) der Achterbahn in Abhängigkeit von dem Streckenpunkt. Dieses Verfahren nennt man graphisches Differenzieren und die Funktion ist die Ableitungsfunktion von f(x). Im Teil c) kannst Du diese Behauptung rechnerisch überprüfen|2= Lösung|3=Lösung}} | |||
'''''c) Berechne den Differentialquotient von <math>f(x) = \tfrac{1}{4} x^2 + 1 </math>in einem beliebigen Punkt. Vergleiche Dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b).''''' | '''''c) Berechne den Differentialquotient von <math>f(x) = \tfrac{1}{4} x^2 + 1 </math>in einem beliebigen Punkt. Vergleiche Dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b).''''' | ||
{{Lösung versteckt|1 = Wir benutzen wie bereits in den Aufgaben davor die h-Formeln für den Differentialquotient. <math>f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}(x +h)^2 + 1 - \tfrac{1}{4}x^2-1}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}x^2 +\tfrac{1}{2} xh+\tfrac{1}{4} h^2- \tfrac{1}{4}x^2}{h} = \lim_{h \to \ 0} ( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}h) = \tfrac{1}{2}x </math> Das ist die gleiche Funktion wie beim graphischen Differenzieren.|2=Lösung|3=Lösung}}|Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}} |3= Arbeitsmethode}} | {{Lösung versteckt|1 = Wir benutzen wie bereits in den Aufgaben davor die h-Formeln für den Differentialquotient. <math>f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}(x +h)^2 + 1 - \tfrac{1}{4}x^2-1}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}x^2 +\tfrac{1}{2} xh+\tfrac{1}{4} h^2- \tfrac{1}{4}x^2}{h} = \lim_{h \to \ 0} ( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}h) = \tfrac{1}{2}x </math> Das ist die gleiche Funktion wie beim graphischen Differenzieren im Teil b. Die Ableitung ist also die Steigung der Tangente der Funktion in einem bestimmtem Punkt.|2=Lösung|3=Lösung}}|Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}} |3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1= <span style="color: green"> ⭐Aufgabe 9.: Tangenten für Funktionenschar </span>|2= Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner. | {{Box|1= <span style="color: green"> ⭐Aufgabe 9.: Tangenten für Funktionenschar </span>|2= Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner. |
Version vom 17. Mai 2020, 21:40 Uhr
Grundlegende Begriffe und Formeln
Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen
Mittelschwere Aufgaben
Knobelaufgaben