Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

Wissen

Eine Funktion $f$, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein globales oder lokales Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst.

• Es liegt ein lokales Extremum vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
• Ein globales Extremum liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert.
  

Merke: Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst. Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

Aufgabe 1: Globale und lokale Extrema zuordnen

Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

Extremstellenbestimmung

Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion $f(x)$ gilt:

Notwendiges Kriterium: Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als $x_E$ bezeichnet. Es muss gelten: $f'(x_E) = 0$.

Hinreichendes Kriterium: Die potentiellen Extremstellen werden in $f''(x)$ eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für $f''(x_E)$ kann folgen:

• $f''(x_E) < 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Hochpunkt vor.
• $f''(x_E) > 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Tiefpunkt vor.

Ordinate bestimmen: Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du $x_E$ in $f(x)$ einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form $E(x_E/f(x_E))$.

Achtung: Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: $f''(x_E) = 0$. Dabei kann es sich um eine sogenannte Sattelstelle handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:

Art der Extremstelle	Notwendiges Kriterium	Hinreichendes Kriterium
Hochpunkt	$f'(x_E) = 0$	$f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E)$ < $0$
Tiefpunkt	$f'(x_E) = 0$	$f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E)$ > $0$
Sattelpunkt	$f'(x_E) = 0$ und $f''(x_E) = 0$	$f'''(x_E) \neq 0$

Beispiel: Bestimmung von Extremstellen

Wir untersuchen die folgende Funktion $f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x$ auf Extremstellen.

1. Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: $f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0$. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen $x_1 = -2$ und $x_2 = -1$.
2. Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: $f''(x) = 4x + 6$
   • $f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow$ Hochpunkt an der Stelle $x_1 = -2$.
   • $f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt an der Stelle $x_2 = -1$.
3. Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in $f(x)$ bestimmen.

Wir erhalten: HP $\Big(-2/\frac{28}{3}\Big)$ und TP $\Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)$.

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der Aufgabe 2 werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 3 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

Aufgabe 2: Extrema ganzrationaler Polynome bestimmen

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

a) $f(x) = 2x^{2} - 6x + 4$

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die ersten beiden Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für Extrema an!

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$f'(x) = 0$, mit $f'(x) = 4x - 6$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6$

$\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4$

$\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}$

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_E) < 0$ oder $f''(x_E) > 0$, mit $f''(x) = 4$.

Wir erhalten durch einsetzen: $f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x = \frac{2}{3}.$

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: $f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow$ TP $\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)$

b) $g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6$

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die ersten beiden Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für Extrema an!

Bei der Bestimmung der Nullstellen in der ersten Ableitung kann dir die P-Q-Formel helfen.

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$f'(x) = 0$, mit $f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3$

$\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|$PQ-Formel anwenden

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx 1 \pm \frac{163}{100}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}$ und $x_2 = \frac{263}{100}$

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_E) < 0$ oder $f''(x_E) > 0$, mit $f''(x) = 6x - 6$.

Wir erhalten durch einsetzen:

$f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Hochpunkt bei $x = -\frac{63}{100}.$

$f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x = \frac{263}{100}.$

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

$f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow$ HP $\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)$

$f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow$ TP $\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)$

c) ⭐ $h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3}$ mit $a \in [1,5]$

Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!

Versuche, die ersten beiden Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für Extrema an!

Betrachte das $a$ als eine beliebige Zahl.

Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:

Notwendiges Kriterium

$h_{a}'(x) = 0$, mit $h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}$.

Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:

$\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Ausklammern

$\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|$ Satz vom Nullprodukt

$\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0$

$\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25$

$\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}$

.$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0$ und $x_{4} = \frac{3}{5}a$

Hinreichendes Kriterium

$h_{a}''(x_E) < 0$ oder $h_{a}''(x_E) > 0$, mit $h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x$.

Wir erhalten durch einsetzen:

$h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Hochpunkt bei $x = -\frac{3}{5}a.$

$h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei $x = 0.$ Dies muss überprüft werden!

$h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei $x = \frac{3}{5}.$

Achtung: Ob es sich um eine Sattelstelle bei $x = 0$ handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass $h_{a}'''(0) \neq 0$ stimmt. Es gilt $h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}$

$h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Sattelpunkt vor.

Ordinate bestimmen

Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:

$h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow$ HP $\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)$

$h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow$ SP $(0/0)$

$h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow$ TP $\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)$

Aufgabe 3: Besucher in den Münster-Arkaden

Die Anzahl der Kundender Arkaden in Münster wird für $9 \leq x \leq 20$ mit Hilfe der Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900$ modelliert. Die Variable $x$ stellt dabei die Zeit in Stunden dar.

a) Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit in den Arkaden auf?

Antwortsatz

Um 15:07 Uhr besuchen insgesamt 376 Personen die Arkaden.

Ableitungen bestimmen

$f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19$

Notwendiges Kriterium

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}$. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

Hinreichendes Kriterium

$f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow$ Es liegt ein Hochpunkt vor.

Ordinate bestimmen

$f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;$ Dieser Wert wird aufgerundet!

b) Berechne $f'(12)$ und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Überlege Dir in welchem Zusammenhang die Ableitung mit der Anzahl an Personen steht. Schau dir dazu den Merkkasten erneut an.

$f'(12)=67.$

Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit $x$ die Arkaden betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden die Arkaden betreten.

c) Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Arkaden. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:

$f'(10) = 95$

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden die Arkaden verlassen, muss aus +95 -95 werden.

Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden die Arkaden verlassen:

$f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. \Big(x_{2} = \frac{1817}{100}\Big)$

Antwortsatz: Um 18:10 verlassen 95 Kunden die Arkaden.

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