Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 17: | Zeile 17: | ||
Stell dir vor ein Besucher lässt einen Stein von der Aussichtsplattform des Turmes fallen. Der Graph (schwarz) beschreibt die zurückgelegte Strecke im freien Fall, in Abhängigkeit von der Zeit. Die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit ist die Veränderung der Höhe in einem Zeitabschnitt, zum Beispiel zwischen P und Q. Diese Änderung ist die '''durchschnitlliche Änderungsrate''' der Funktion in einem Intervall, die wird auch mittlere Änderungsrate genannt. Mathematisch wird die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante (gestrichelt rote Linie) definiert. | Stell dir vor ein Besucher lässt einen Stein von der Aussichtsplattform des Turmes fallen. Der Graph (schwarz) beschreibt die zurückgelegte Strecke im freien Fall, in Abhängigkeit von der Zeit. Die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit ist die Veränderung der Höhe in einem Zeitabschnitt, zum Beispiel zwischen P und Q. Diese Änderung ist die '''durchschnitlliche Änderungsrate''' der Funktion in einem Intervall, die wird auch mittlere Änderungsrate genannt. Mathematisch wird die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante (gestrichelt rote Linie) definiert. | ||
Diese sagt noch nichts darüber aus, wie schnell der Stein in einem bestimmten Moment ist. Verschiebe den Regler so, dass die Punkte P und Q in einander fallen. Die rote Linie berührt nun den Graph der Funktion in einem Punkt. An diesem Grenzübergang stimmen die Steigung des Graphen und die Steigung der roten Linie (die wird nicht mehr Sekante, sondern Tangente genannt) lokal überein. | Diese sagt noch nichts darüber aus, wie schnell der Stein in einem bestimmten Moment ist. Verschiebe den Regler so, dass die Punkte P und Q in einander fallen. Die rote Linie berührt nun den Graph der Funktion in einem Punkt. An diesem Grenzübergang stimmen die Steigung des Graphen und die Steigung der roten Linie (die wird nicht mehr Sekante, sondern Tangente genannt) lokal überein. Die Steigung der Tangente beschreibt das Verhalten der Funktion im Berührungspunkt und wird als '''lokale Änderungsrate ''' bezeichnet. In unserem Fall ist es die momentane Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. | ||
<ggb_applet id="ef67fz6f" width="1600" height="1000" border="888888" /> | <ggb_applet id="ef67fz6f" width="1600" height="1000" border="888888" /> | ||
Zeile 26: | Zeile 26: | ||
{{Box|1=Merke | {{Box|1=Merke | ||
|2=''' Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion''' <math>f(x)</math> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall <math>[ | |2=''' Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion''' <math>f(x)</math> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall <math>[x_1, x_2]</math> und wird mit Hilfe des '''Differenzenquotienten''' berechnet: | ||
<math>\frac{f( | <math>\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}</math> | ||
Zeile 35: | Zeile 35: | ||
{{Box|1=Merke| | {{Box|1=Merke| | ||
2= ''' | 2= '''Die lokale Änderungsrate''' in einem Punkt nennt man '''Differenzialquotient oder Ableitung in einem Punkt''' und berechnet diesen als Grenzwert (du schreibst dafür <math>\lim</math> ) der Sekantensteigungen: | ||
<math>f'(x)=\lim_{x_2 \to \ x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> | |||
Setzt man <math>h</math> für den Abstand von <math>x_2</math> zu <math>x_1</math> so gilt die Formel: | |||
Setzt man <math>h</math> für den Abstand von <math> | |||
<math>f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> | <math>f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> | ||
|3= Merksatz}} | |3= Merksatz}} |
Version vom 11. Mai 2020, 22:04 Uhr
Grundlegende Begriffe und Formeln
Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen
Mittelschwere Aufgaben
Knobelaufgaben