Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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Zuerst erklären wir dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind: | Zuerst erklären wir dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind: | ||
In Aufgaben, die ''<span style="color:#F19E4F>orange</span>'' gefärbt sind, kannst du "Gelerntes wiederholen und vertiefen" | In Aufgaben, die ''<span style="color:#F19E4F>orange</span>'' gefärbt sind, kannst du "Gelerntes wiederholen und vertiefen" | ||
<span style="color: | Aufgaben, die ''<span style="color:#5E43A5>blauen</span>'' Farbe sind "Aufgaben mittlerer Schwierigkeit" | ||
Und Aufgaben mit ''<span style="color:#89C64A">grüner</span>'' Hinterlegung sind "Knobelaufgaben", dabei sind die Aufgaben für den LK mit einem ⭐ gekennzeichnet. | |||
Viel Erfolg und viel Spaß!|3= Kurzinfo}} | Viel Erfolg und viel Spaß!|3= Kurzinfo}} | ||
===Grundlegende Begriffe und Formeln=== | ===Grundlegende Begriffe und Formeln=== | ||
{{Box| | {{Box|1=Merke | ||
Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion <math>f(x)</math> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall <math>[\tilde{x},x]</math>und wird mit Hilfe des '''Differenzenquotienten''' berechnet: | |2=''' Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion''' <math>f(x)</math> bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall <math>[\tilde{x},x]</math>und wird mit Hilfe des '''Differenzenquotienten''' berechnet: | ||
<math>\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}</math> | <math>\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}</math> | ||
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[[Datei:Bild 109 V - starke Steigung, StVO DDR 1977.svg|150px|links|rahmenlos|mini]] | [[Datei:Bild 109 V - starke Steigung, StVO DDR 1977.svg|150px|links|rahmenlos|mini]] | ||
Das Verkehrszeichen gibt an, dass der durchschnittlicher Höhenunterschied (also die durchschnittliche Änderungsrate) auf dieser Strecke 10 Höhenmeter pro 100m Wegstrecke beträgt. Die echte Strasse selbst verläuft natürlich nicht als exakt gerade Linie mit einer konstanten Steigung. |2= Beispiel|3= Beispiel}} | | Das Verkehrszeichen gibt an, dass der durchschnittlicher Höhenunterschied (also die durchschnittliche Änderungsrate) auf dieser Strecke 10 Höhenmeter pro 100m Wegstrecke beträgt. Die echte Strasse selbst verläuft natürlich nicht als exakt gerade Linie mit einer konstanten Steigung. |2= Beispiel|3= Beispiel}} | ||
|3=Merksatz}} | |||
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2= '''Lokale Änderungsrate''' | |||
Um die lokale Änderungsrate zu bestimmen, verkleinern wir den Abstand zwischen <math>\tilde{x}</math>und <math>x</math> , wählen also <math>\tilde{x}</math> immer näher bei <math>x</math> (dafür schreibst Du <math>\tilde{x}\longrightarrow x</math>). Dabei geht die Sekante in die '''Tangente''' über, eine Gerade also, die den Funktionsgraphen in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist genau die (lokale) Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt. | Um die lokale Änderungsrate zu bestimmen, verkleinern wir den Abstand zwischen <math>\tilde{x}</math>und <math>x</math> , wählen also <math>\tilde{x}</math> immer näher bei <math>x</math> (dafür schreibst Du <math>\tilde{x}\longrightarrow x</math>). Dabei geht die Sekante in die '''Tangente''' über, eine Gerade also, die den Funktionsgraphen lokal in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist genau die (lokale) Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt. | ||
[[Datei:FunktionAbleitung.svg|250px|links|rahmenlos|mini]] | [[Datei:FunktionAbleitung.svg|250px|links|rahmenlos|mini]] | ||
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Ein Autofahrer fährt durch eine Baustelle mit einer Geschwindigkeitsbegrenzung von 60 km/h. Er merkt sich den Zeitpunkt und Kilometerstand bei der Einfahrt und beim Verlassen der Baustelle und rechnet nach, dass seine durchschnittliche Geschwindigkeit unter 60km/h war. Trotzdem wird er in der Baustelle zum Zeitpunkt x von der mobilen Geschwindigkeitsüberwachnung der Polizei fotografiert. Diese erfasst nämlich die Geschwindigket (also die Änderung von <math>f(x)</math>)an einem bestimmten Punkt, also lokal bzw. momentan. Diese momentane Geschwindigkeit kann sich, wie in diesem Fall, deutlich von der Durchschnittsgeschwindigkeit unterscheiden. |2= Beispiel |3= Beispiel}} | Ein Autofahrer fährt durch eine Baustelle mit einer Geschwindigkeitsbegrenzung von 60 km/h. Er merkt sich den Zeitpunkt und Kilometerstand bei der Einfahrt und beim Verlassen der Baustelle und rechnet nach, dass seine durchschnittliche Geschwindigkeit unter 60km/h war. Trotzdem wird er in der Baustelle zum Zeitpunkt x von der mobilen Geschwindigkeitsüberwachnung der Polizei fotografiert. Diese erfasst nämlich die Geschwindigket (also die Änderung von <math>f(x)</math>)an einem bestimmten Punkt, also lokal bzw. momentan. Diese momentane Geschwindigkeit kann sich, wie in diesem Fall, deutlich von der Durchschnittsgeschwindigkeit unterscheiden. |2= Beispiel |3= Beispiel}} | ||
| | |3= Merksatz}} | ||
===Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen=== | ===Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen=== |
Version vom 10. Mai 2020, 21:09 Uhr
Grundlegende Begriffe und Formeln
Aufgaben zum Wiederholen und Vertiefen
Mittelschwere Aufgaben
Knobelaufgaben