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Lernpfad: von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad bietet Dir einen Einstieg in das Thema Differenzialrechnung. Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:

- Schwierigkeitsstufe I mit gelben Titel: leichte Verständnis- und Rechenaufgaben zum Einstieg

- Schwierigkeitsstufe II mit blauen Titel: normale, mittelschwere Aufgaben zum üben und vertiefen.

- Schwierigkeitsstufe III mit grünen Titel: herausfordernde Aufgaben

Viel Erfolg!

Grundbegriffe: durchschnittliche Änderungsrate und Sekante

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f(x)$ bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall $[\tilde{x},x]$und wird mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet:

$\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}$

Anschaulich ist dies die Steigung der Sekante der Funktion zwischen den Punkten $\tilde{x}$ und $x$, Du kennst diese Formel bereits als Berechnung der Steigung einer linearen Funktion. Die Sekante (der Begriff bedeutet aus dem Lateinischen übersetzt die Schneidende) ist eine Gerade, die durch mindestens 2 Punkte eines Funktionsgraphen verläüft, ihn also an mind. 2 Punkten schneidet.

Ein Beispiel:

Das Verkehrszeichen gibt an, dass der durchschnittlicher Höhenunterschied (also die durchschnittliche Änderungsrate) auf dieser Strecke 10 Höhenmeter pro 100m Wegstrecke beträgt. Die echte Strasse selbst verläuft natürlich nicht als exakt gerade Linie mit einer konstanten Steigung.

Grundbegriffe: lokale Änderungsrate und Tangente

Um den Unterschied zwischen lokaler und durchschnittlicher Änderungsrate zu verstehen, denke über folgendes Beispiel nach:

Ein Autofahrer fährt durch eine Baustelle mit einer Geschwindikeitsbegrenzung von 60km/h. Er merkt sich den Zeitpunkt und Kilometerstand bei der Einfahrt und beim Verlassen der Baustelle und rechnet nach, dass seine durchschnittliche Geschwindigkeit unter 60km/h war. Trotzdem wird er in der Baustelle zum Zeitpunkt x von der mobilen Geschwindigkeitsüberwachnung der Polizei fotografiert. Diese erfasst nämlich die Geschwindigket (also die Änderung von $f(x)$)an einem bestimmten Punkt, also lokal oder momentan. Diese momentane Geschwindigkeit kann sich, wie in diesem Fall, deutlich von der durchschnittlichen unterscheiden.

Um die lokale Änderungsrate zu bestimmen, verkleinern wir den Abstand zwischen $\tilde{x}$und $x$ , wählen also $\tilde{x}$ immer näher bei $x$ (dafür schreibst Du $\tilde{x}\longrightarrow x$). Dabei geht die Sekante in die Tangente über, eine Gerade also, die den Funktionsgraphen in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist genau die (lokale) Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt.

Die lokale Änderungsrate nennt man Differenzialquotient oder Ableitung $f'(x)$und berechnet diese als Grenzwert (Du schreibst dafür $\lim$) der Sekantensteigungen:

$f'(x)=\lim_{\tilde{x} \to \ x}\frac{f(\tilde{x})-f(x)}{\tilde{x}-x}$

Setzt man $h$ für den Abstand von $\tilde{x}$ zu $x$ so gilt die Formel:

$f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

1. Aufgabe. Überprüfe ob Du alles verstanden hast

a) Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu, in dem Du die auf das rechte oder linke Feld ziehst.

b) Erstelle in Deinem Heft ein MindMap zu dem Thema des Lernpfades. Nutze dafür die Begriffe und Darstellungen aus dem Teil a) dieser Aufgabe

2. Aufgabe: Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate auf dem vorgegebenen Intervall

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und evtl. einen Taschenrechner.

Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau Dir noch mal den Infoblock an und nutze die angegebene Formel. Für $\tilde{x}$ und $x$ setze die Intervallgrenzen ein. Z.b. 2 und 3 für das Intervall [2;3]

a) Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2$ auf dem Intervall [0; 2]

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 2. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{f(2) - f(0)}{2-0} = \frac{4-0}{2-0} = 2$

b) Gegeben ist die Funktion $h(x) = \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{3}{2}$ auf dem Intervall [1; 2]

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt $\tfrac{3}{2}$. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{h(x) - h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{h(2) - h(1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{2}-(-1)}{2-1} = \frac{3}{2}$

c) Gegeben ist die Funktion $g(x) = x^3 - 0,2x - 3$ auf dem Intervall [-2; -1]

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 6,8. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{g(-1) - g(-2)}{-1-(-2)} = \frac{-3,8-(-10,6)}{-1-(-2)} = 6,8$

d) Gegeben ist die Funktion $k(x) = \tfrac{1}{4}x^2$ auf dem Intervall [1,99; 2,01] Überlege, was hier aus dem Differenzenquotient wird?

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 1. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{k(x) - k(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{k(2,01) - k(1,99)}{2,01-1,99} = \frac{1,010025-0,990025}{2,01-1,99} = 0,02:0,02 = 1$. Da das Intervall sehr klein ist, nähert sich der Differenzenquotient dem Differentialquotient.

3. Aufgabe: Bestimme die Tangentensteigung im vorgegebenen Punkt und berechne den Differentialquotient an dieser Stelle

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ und der Punkt A (2; f(2)), sowie $h(x) = x^3 - 1$ und der Punkt B (1; h(1)).

a) Zeichne die Graphen der Funktionen in ein Koordinatensystem sowie nach Augenmaß die zugehörigen Tangenten in den Punkten A und B ein. Bestimme die Steigungen der Graphen in den Punkten A und B durch Ablesen der Tangentensteigungen an diesen Punkten.

Erinnerst Du dich, dass die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt übereinstimmt? Um die Steigung der Tangente abzulesen benötigst Du einen Steigungsdreieck. Am einfachsten ist es, wenn Du als Differenz der x-Werte ein Intervall zwischen 2 benachbarten ganzen Zahlen nimmst, deren Funktionswerte Du gut ablesen kannst.

Die Steigung m der Funktion f(x) beträgt im Punkt A: m=2. Am einfachsten kannst Du es im Intervall [1,2] ablesen. Die Steigung m der Funktion h(x) besträgt im Punkt B: m=3, auch hier liest Du es am besten im Intervall [1,2]ab.

b) Berechne den Differentialquotienten jeweiligen Funktion für die Punkte A und B, vergleiche den rechnerischen Ergebniss mit deinen Ergebnissen aus a)

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt $\tfrac{3}{2}$. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{h(x) - h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{h(2) - h(1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{2}-(-1)}{2-1} = \frac{3}{2}$