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{{Box| Beispiel: Monotonieverhalten für <math>g(x)=x^2</math> bestimmen |  
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Zuerst berechnen wir die Ableitung <math>g'(x)=2x</math>. Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung (<math>g'(x)=0</math>) und erhalten durch Umformungen als Nullstelle <math>x=0</math>.
Zuerst berechnen wir die Ableitung <math>g'(x)=2x</math>. Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung (<math>g'(x)=0</math>) und erhalten durch Umformungen als Nullstelle <math>x=0</math>.
Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten <math>(-\infty,0)</math> und <math>(0,+\infty)</math>. Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle. Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für <math>(-\infty,0)</math> streng monoton fallend und für <math>(0,+\infty)</math> streng monoton steigend ist.  
Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten <math>(-\infty,0)</math> und <math>(0,+\infty)</math>. Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle:
{| class="wikitable center"
|-
!
!<math> -\infty < x < -\frac{1}{3} </math>
!<math> f'\Big(-\frac{1}{3}\Big) </math>
!<math> -\frac{1}{3} < x < 1 </math>
!<math> f'(1) </math>
!<math> 1 < x < \infty </math>
|-
|<math> f'(x) </math>
|<math> > 0 </math>
|<math> = 0 </math>
|<math> < 0</math>
|<math> = 0</math>
|<math> > 0</math>
|-
|<math> G_{f} </math>
|<math> \nearrow </math>
|'''Hochpunkt'''
|<math> \searrow </math>
|'''Tiefpunkt'''
|<math> \nearrow </math>
|}
Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass die Funktion für <math>(-\infty,0)</math> streng monoton fallend und für <math>(0,+\infty)</math> streng monoton steigend ist.  


| Beispiel}}
| Beispiel}}

Version vom 11. April 2020, 12:55 Uhr

Monotonie

Merksatz


Das Monotonieverhalten einer Funktion

…beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Sie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.


Sei eine Funktion und

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton steigend

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton steigend


-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion streng monoton fallend

-      Falls auf einem Intervall gilt, so ist die Funktion monoton fallend


Tipp: Du kannst leicht mithilfe der ersten Ableitung überprüfen, ob die Steigung positiv oder negativ ist!


So berechnest du das Monotonieverhalten einer Funktion


1. Erste Ableitung berechnen

2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

3. Intervalle benennen

4. Monotonietabelle aufstellen

5. Vorzeichen der Intervalle berechnen

6. Ergebnis interpretieren


Beispiel: Monotonieverhalten für bestimmen

Zuerst berechnen wir die Ableitung . Anschließend berechnen wir die Nullstellen der Ableitung () und erhalten durch Umformungen als Nullstelle . Damit sind die zu betrachtenden Intervalle für das Monotonieverhalten und . Darauffolgend stellen wir eine Monotonietabelle auf und berechnen die Vorzeichen für die Intervalle:

{


Aufgabe 1
Ordne den Funktionen den richtigen Begriff zu


Aufgabe 2
Berechne das Monotonieverhalten folgender Funktionen
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