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| :<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor. | | :<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor. |
| ;Ordinate bestimmen: <br> | | ;Ordinate bestimmen: <br> |
| :Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math> | | :Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: |
| | :<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math> |
| | :<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math> |
| | :<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math> |
| |2= Lösung |3=Lösung}} | | |2= Lösung |3=Lösung}} |
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Version vom 10. April 2020, 21:16 Uhr
Extrema
Wissen
Im vorherigen Kapitel konntest du etwas über das Monotonie-Verhalten einer Funktion erfahren. Dieses Wissen wird nun weiter vertieft und du lernst die sogenannten Extremstellen kennen, die im starken Verhältnis zu dem Monotonie-Verhalten stehen.
Eine Funktion , die in einem ersten Abschnitt streng monoton wächst und im darauf folgenden Abschnitt streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen an dem die Funktion weder steigt noch fällt und dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet.
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können.
Art der Extremstelle
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Notwendiges Kriterium
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Hinreichendes Kriterium
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Hochpunkt
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und <
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Tiefpunkt
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und >
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Sattelpunkt
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und =
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Beispiel: Bestimmung von Extremstellen
Aufgabe
Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein können an der Aufgabe 3.
- a)
- b)
- c) mit
Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:
- Notwendiges Kriterium
- , mit .
- Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
- Ausklammern
- Satz vom Nullprodukt
. und
- Hinreichendes Kriterium
- oder , mit .
- Wir erhalten durch einsetzen:
- Es handelt sich um einen Hochpunkt bei
- Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei Dies muss überprüft werden!
- Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei
- Achtung: Ob es sich um eine Sattelstelle bei handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass stimmt. Es gilt
- Es liegt ein Sattelpunkt vor.
- Ordinate bestimmen
- Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
- HP
- SP
- TP
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