Benutzer:Fabian WWU-5

Ich benutze im Rahmen des Seminars DiWerS das Tool Zum Projekte.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?

Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?

Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen?

Keine Funktion: Der Kreis und die zur $y$-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

Lineare Funktionen: Alle Geraden, die nicht parallel zur $y$-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent $0$ oder $1$ hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: $=f(x)=mx+n$.

Andere Funktionen: Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.

Aufgabe 8: Was man nicht alles für Freundinnen tut.

Susanne ist 13 Jahre alt und geht in die 7. Klasse. Heute ist sie um 13.45 Uhr von der Schule nach Hause gekommen. Beim Mittagessen erzählt sie für 30min von ihrem Schultag. Bevor sie zum Sport geht, soll sie noch ihre Hausaufgaben erledigen. Jedoch fängt sie nicht sofort an, sondern daddelt erst noch 60min. Dann beginnt sie jedoch mit ihren Hausaufgaben. Nach 30min hat sie ihre Mathehausaufgaben fertig und muss nun nur noch Deutsch machen.
Dafür muss sie noch ein 15-seitiges Kapitel in einem Roman lesen. Als sie nach 5 Minuten die dritte Seite fertig gelesen hat, schaut sie auf ihr Handy. Sie hat nur noch 20min bis sie sich für ihr Fußball-Training fertig machen muss. Gleichzeitig sieht sie eine Whats-App Nachricht von ihrer Freundin Marie, die schreibt: "Hey, hast du Deutsch schon fertig? Hab das Kapitel nicht gerafft. Kannst du mir das erklären?"
Kann Susanne ihrer Freundin, Marie, versprechen ihr das Kapitel beim Fußball zu erklären?

1. Tipp: Überlege welche Zeitangaben für die Lösung der Aufgabe notwendig sind.
2. Tipp: Trage die relvanten Informationen als Punkte in ein Koordinatensystem.

3. Tipp: Mit welcher Geschwindigkeit liest Susanne Seiten pro Minute? Welche Gleichung kennst du, mit der du ihre Lesegeschwindigkeit modellieren kannst?

Es gibt verschiedene Lösungsideen. Zwei Beispiele sind eine grafische Lösung mit Hilfe eines Koordinatensystems oder eine algebraische Lösung mit Hilfe einer linearen Funktion. Eine algebraische Lösung könnte wie folgt aussehen:
Die Zeitangaben für die Bearbeitung der Deutschaufgabe reichen aus, um die Aufgabe zu lösen. Alle anderen Zeitangaben helfen uns nicht. Als Marie die Nachricht liest, hat sie bereits 3 Seiten gelesen. Sie ließt mit einer Geschwindigkeit von 3 Seiten pro 5 Minuten. Wir können also jedem Zeitpunkt eine Anzahl von gelesenen Seiten zuordnen. Wir setzen den Startzeitpunkt auf den Moment, in dem sie die Nachricht bekommt. Und setzen, dass $x$ die Einheit $\frac{Seiten}{5 Minuten}$ hat.
Also lautet unsere Gleichung:
$f(x)=3+3x$
Wir wollen wissen, wann Susanne 15 Seiten gelesen hat, also setzen wir für $f(x)=15$ (Seiten) ein.
$15=3+3x |-3$
$<=> 12=3x | :3$
$<=> x=4$.

Also braucht Susanne noch $4$ mal $5$ Minuten, also insgesamt 20min. Wenn sie sich beeilt, kann sie es also noch schaffen.

Aufgabe 9: Wasser für die Katze

Marc und Claudia freuen sich schon auf ihren Urlaub 1 wöchigen Urlaub. Leider dürfen ihre Katzen, Findus und Sabbel, jedoch nicht mit. Das Trockenfutter ist zwar ausreichend lang haltbar, aber damit die Katzen im heißen Sommer auch immer Wasser finden können, wollen die Beiden einen Wasserspender kaufen. Im Geschäft sehen sie zwei verschiedene Wasserspender, die unterschiedlich teuer sind. In den einen Wasserspender für 10€ (Wasserspender A) passen $8l$ Wasser und er ist nach $30$ Tagen leer. In den anderen Wasserspender für 25€ (Wasserspender B) passen $6l$ und er ist erst nach $10$ Tagen leer. Der Wassertrog der Katzen hat ein Fassungsvermögen von $500ml$. Überlaufendes Wasser fließt in Marcs und Claudias Garage in einen Gulli. Welchen Wasserspender sollten Marc und Claudia für ihre Katzen kaufen?

Als erstes könntest du versuchen je eine Funktionsvorschrift für die Wasserspender zu suchen. Kannst du an diesen Ablesen wie viel Wasser Sie jeden Tag zur Verfügung stellen? Im nächsten Schritt müsstest du herausfinden, wie viel Wasser jeden Tag benötigt wird. Hast du schon dafür alle notwendigen Infos gegeben?

Nun kannst du den Verbrauch und das bereitgestellte Wasser in Beziehung zueinander stellen. Welchen Wasserspender sollten die Beiden kaufen?

Mit zwei Punkten kannst du bereits eine lineare Funktion aufstellen. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter. Falls du die Punkte findest, aber Schwierigkeiten bei dem Aufstellen der Gleichung hast, schaue dir Aufgabe 4 an.

Welche Bedeutung haben das m und das n der allgemeinen Form einer linearen Gleichung?

Die Punkte für den Wasserspender A sind $(0|500)$ und $(15|0)$. Die Punkte für den Wasserspender B sind $(0|300)$ und $(20|0)$. Setze für jeden Wasserspender die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein.

Da die Variable $x$ die Stunden angibt, werden auch beim Zeichnen die Stunden auf der $x$-Achse eingetragen. Dementsprechend wird auf der $y$-Achse die Wasserhöhe im Behälter in Millilitern eingetragen. Da du auf der $x$-Achse bis $x=20$ gehen musst, könntest du hier eine Skalierung wählen bei der du $1 cm$ für zwei Stunden wählst. Auf der $y$-Achse musst du bis $y=500$ gehen. Hier könntest du $1 cm$ für $50 ml$ wählen. Natürlich sind auch andere Skalierungen möglich, du solltest dir nur überlegen, dass das Koordinatensystem nicht zu groß wird.

Wasserspender A:

Wir haben die Punkte $(0|500)$ und $(15|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = m\cdot x+b$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|500)$: $f(0) = m\cdot 0+b = 500$, wodurch $b=500$ folgt.

$(15|0)$: $f(15) = m\cdot 15+b=0$. Da wir schon wissen, dass $b=500$ ist, folgt hieraus, dass $m=-\frac{100}{3}$ ist.

Setzt man nun $m$ und $b$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $f(x) = -\frac{100}{3} \cdot x + 500$

Wasserspender B:

Wir haben die Punkte $(0|300)$ und $(20|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $g(x) = n\cdot x+a$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|300)$: $g(0) = n\cdot 0+a = 300$, wodurch $a=300$ folgt.

$(20|0)$: $g(20) = n\cdot 20+a=0$. Da wir schon wissen, dass $a=300$ ist, folgt hieraus, dass $n=-15$ ist.

Setzt man nun $n$ und $a$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $g(x) = -15 \cdot x + 300$

b) Welchen Wasserspender sollten Claudia und Marc kaufen?

Welche Informationen fehlen dir noch? Wo kannst du diese Informationen finden?

Die Variable $x$ steht für unsere Stundenzahl, also setzten wir für $x$ $5$ ein.

Behälter A: Wir berechnen also $f(5)=-\frac{100}{3} \cdot 5 + 500 =\frac{1000}{3}$. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter A ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge $500ml$ die $\frac{1000}{3} ml$ abziehen und erhalten somit, dass ca. $167ml$ in dem Napf sind. Dieser läuft also über.

Behälter B: Wir berechnen also $g(5)=-15 \cdot 5 + 300 =225$. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter B ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge $300ml$ die $225ml$ abziehen und erhalten somit, dass ca. $75ml$ in dem Napf sind. Dieser läuft also nicht über.