Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1 Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 27. Dezember 2025, 10:23 Uhr

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Rekonstruktion einer Größe

Übungen zur Rekonstruktion einer Größe

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 50 im Buch.

Die Fläche unter den Kurven gibt jeweils die zurückgelegte Strecke s an. Berechne also die Flächen.
a) Zerlege die Flächen in 3 Teilflächen: A₁ = A_Dreick; A₂ = A_Rechteck und A₃ = A_Dreieck
A = $\tfrac{g·h}{2} + a·b + \tfrac{g·h}{2}$
= $\tfrac{2·2}{2} + 1·2 + \tfrac{1·2}{2}$
= 5 (m)
Alternativ kannst du den Flächeninhalt auch mit der Formel für das Trapez bestimmen:
A_Trapez = $\tfrac{(a+c)h}{2}$ = $\tfrac{(4+1)2}{2}$ = 5 (m).

Löse b) und c) ebenso.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt unter der Kurve, oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Lösung zur Testaufgabe 1:
a) Zerlege die Fläche in Teilflächen (waagerechte Linie ab 2), zu denen du einen Flächeninhaltsformel kennst, hier also ein Trapez und ein Dreieck.
A = A_Trapez + A_Dreieck
= $\tfrac{(8+6)2}{2}$ + $\tfrac{6·4}{2}$
= 14 + 12 = 26 (m³)
Da zu Beginn schon 10 m³ im Tank waren, sind es nun insgesamt 36 m². b) Pro Minute fließen 3 m³ aus dem Tank, bis 36 m³ herausgeflossen sind dauert es also:
36 : 3 = 12 (min).

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

Integralschreibweise:

Übungen zur Integralschreibweise

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 54-56 im Buch.

1. Bestimme die Integrationsgrenzen: Von wo bis wo soll die Fläche berechnet werden?
2. Bestimme den Integrand: Von welcher Funktion soll die Flächen berechnet werden?
3. Bestimme das Differenzial
a) A = $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx$
b) Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechne zunächst die Nullstellen der Funktion g(x).
g(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 3 Einheiten entlang der y-Achse verschoben wurde, die Funktionsgleichung lautet also
g(x) = -x² + 3
Nullstellen: g(x) = 0
-x² + 3 = 0 |+x²
3 = x² | $\surd$
- $\sqrt{3}$ = x₁; $\sqrt{3}$ =x₂
A = $\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x) dx$
c) A = $\int\limits_{-4}^{-1} h(x) dx$

usw.

S. 54, Nr. 3 https://www.geogebra.org/classic/ccnzw5ng

S. 55, Nr. 4 https://www.geogebra.org/classic/nnrgeh2m

Interpretation: Die Pflanze ist nach 100 Tagen auf eine Größe von ca. 2,07 m gewachsen.

S. 55, Nr. 5a https://www.geogebra.org/m/rqhdk5nq

S. 55, Nr. 5b https://www.geogebra.org/m/awxfwjap

S. 55, Nr. 5c https://www.geogebra.org/m/rqmv8vhy

S. 56, Nr. 11a https://www.geogebra.org/m/tracazj8

S. 56, Nr. 11b https://www.geogebra.org/m/nmbnu9ms

S. 56, Nr. 11c https://www.geogebra.org/m/htxsyfwc

S. 56, Nr. 11d https://www.geogebra.org/m/xaemqdvt

S. 57, Nr. 21a https://www.geogebra.org/m/rtmspkuk

S. 57, Nr. 21b https://www.geogebra.org/m/xyheyy73

S. 57, Nr. 21c https://www.geogebra.org/m/jjs83ka6

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

Stammfunktion skizzieren

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Stammfunktion bilden

Übungen zur Stammfunktion

Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.

Tipps zu den Aufgaben S. 60-61

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Stammfunktion.

1 F(x) = $\tfrac{1}{2}$ x³
F'(x) = 3· $\tfrac{1}{2}$ x² = $\tfrac{3}{2}$ x³ , also Buchstabe E

Gehe bei den Ziffern 2-5 ebenso vor.

f(x) = 6x²
F(x) = 2x³ ist Stammfunktion von f(x), denn
F'(x) = 3·2x² = 6x² = f(x).
Hauptsatz der Integralrechung: $\int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int\limits_{1}^{2} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_1^2$ = F(2) - F(1) = 2·2³ - 2·1³ = 16 - 2 = 14 (Flächeneinheiten).

b) Dieses Ergebnis bestätigt GeoGebra.

a) f(x) = 3x²; F(x) = $x^a$
F'(x) = a·x^a-1; a=3
b) f(x) = 2x; F(x) = x² - a
F'(x) = 2·x also darf a alle Werte annehmen, a ∈ ℝ

...

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

{Lösung versteckt|1=Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

|2=Tipp zu S. 60, Nr. 4b (GeoGebra-Applet)|3=Schließen}}

Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).
a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt.
F hat dort also zwei Extremstellen.
Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.

Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.

Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a

Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy

Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79

@@ Zeile 146: / Zeile 146: @@
 ...|2=Tipp zu S. 60, Nr.3|3=Schließen}}
-Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh
+{{Lösung versteckt|1=Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh
-<ggb_applet id="yxmrxmqh" width="958" height="619" border="888888" />
+<ggb_applet id="yxmrxmqh" width="958" height="619" border="888888" />|2= Tipp zu S. 60, Nr. 4a (GeoGebra-Applet)|3=Schließen}}
-Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm
+{Lösung versteckt|1=Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm
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+<ggb_applet id="zugc2bjm" width="798" height="619" border="888888" />|2=Tipp zu S. 60, Nr. 4b (GeoGebra-Applet)|3=Schließen}}
-Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a
+{{Lösung versteckt|1=Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).<br>
-<ggb_applet id="c9anmg5a" width="828" height="624" border="888888" />
+a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt. <br>
+F hat dort also zwei Extremstellen.<br>
+Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.<br>
+Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.|2=Tipp zu S. 61, Nr. 5|3=Schließen}}
-Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy
+{{Lösung versteckt|1= Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a
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-Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79
+{{Lösung versteckt|1=Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy
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+{{Lösung versteckt|1=Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79
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Rekonstruktion einer Größe

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

Stammfunktion skizzieren

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