Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik9/Lineare Gleichungssysteme

Allgemeines

Einführung

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem. Ein Zahlenpaar, das beide lineare Gleichungen erfüllt, wird Lösung des linearen Gleichungssystems genannt.

Anzahl der Lösungen

Es gibt drei Fälle für die Lösungen linearer Gleichungssysteme:

1. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
2. Das Gleichungssystem hat eine Lösung.
3. Das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Einführende Bemerkungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

1. Das grafische Verfahren
2. Das Einsetzungsverfahren
3. Das Additionsverfahren
4. Das Gleichsetzungsverfahren

Ein Video als Überblick

Du lernst, wie man an einem Linearen Gleichungssystem sowohl graphisch als auch rechnerisch erkennt, ob es keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt.

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Grafisches Verfahren

Erklärung

Du kannst die Lösungen eines linearen Gleichungssystems zeichnerisch finden, indem du beide Gleichungen als lineare Funktionen auffasst und die zugehörigen Grafen in ein Koordinatensystem zeichnest. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Lösung.

Video-Mathematrick

Susanne erklärt das grafische Lösen für alle drei Lösungsmöglichkeiten.

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Eine Zuordnungsübung

Das Einsetzungsverfahren

Begriffserklärung

Der Name Einsetzungsverfahren kommt daher, dass man eine Gleichung nach einer Variablen umstellt und diese dann in die zweite Gleichung einsetzt.

Lösungsschritte beim Einsetzungsverfahren

Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.
Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.
Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable.
Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

Video-Mathematrick

Susanne erklärt das Einsetzungsverfahren.

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Video - Einsetzungsverfahren

Eine Schülerin erklärt das Einsetzungsverfahren.

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Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.

1. $y = -x + 2$
   
2. $4x + 3y = 2$

Ist eine der beiden Gleichungen bereits nach einer Variablen umgestellt.

Setze in der zweiten Gleichung für y die rechte Seite der 1. Gleichung ein.

Lösung des Gleichungssystems:$x = -4;y = 6$

Das Additionsverfahren

Lösungsschritte beim Additionsverfahren

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.
Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.
Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.
Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

Bemerkung

In beiden nachfolgenden Videos sind kleine Fehler enthalten, die aber nicht entscheidend für das Verständnis bzw. für die Lösung sind. Sie wurden von zwei Schülerinnen zu Hause erstellt.

Video - Additionsverfahren

Eine Schülerin erklärt das Additionsverfahren.

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Video - Additionsverfahren

Eine weitere Schülerin erklärt das Additionsverfahren mit ihren Worten.

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Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

1. $y = 5x - 6$
   
2. $y = -2x + 8$

Schau Dir die Gleichungen genau an. Fällt eventuell eine der beiden Variablen sofort heraus

Erweitere die zweite Gleichung mit -1.

Lösung des Gleichungssystems:$x = 2;y = 4$

Das Gleichsetzungsverfahren

Begriffserklärung

Der Name Gleichsetzungsverfahren kommt daher, dass man auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen den gleichen Term hat bzw. nach einer Variablen oder einem Term umstellt und somit die beiden Gleichungen gleichsetzen kann.

Lösungsschritte beim Gleichsetzungsverfahren

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).
Schritt 2: Setze die Terme gleich.
Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.
Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.

Video vom Cornelsen-Verlag

Das Gleichsetzungsverfahren

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Aufgabe

Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren

1. $3x = 10 – 5y$
   
2. $3x = -2y + 13$

Auf der linken Seite steht bereits in beiden Gleichungen das Gleiche.

Setze also die beiden rechten Seiten gleich.

Lösung des Gleichungssystems:$x = 5;y = -1$

Übungen

Quiz zu allen Verfahren.

Zuordnungsübung

Aufgabe unter Verwendung CAS-App

Bei einem Stromanbieter zahlt eine Familie 1228 € im Jahr bei einem Verbrauch von 3500 kWh. Ein Single zahlt 508 € bei einem Verbrauch von 1250 kWh. Ermittle die monatliche Grundgebühr und den Preis pro Kilowattstunde.

Zunächst zwei Gleichungen aufstellen. Dabei beachten, dass sich der Strompreis aus dem monatlichen Grundpreis und dem Preis für die Kilowattstunde zusammensetzt.

1. $1228 = 3500 \cdot p + 12 \cdot g$
   
2. $508 = 1250 \cdot p + 12 \cdot g$
   

Die 1228 und 508 sind die jeweiligen Gesamtkosten, die 3500 bzw. 1250 stellen den Verbrauch dar und die 12 steht für die Anzahl der Monate in einem Jahr, p steht für Preis je kWh und g steht für den Grundpreis im Monat.
Dann über den Werzeugschlüssel - Algebra - Gleichungssystem lösen - lineares Gleichungssystem lösen

Dort Anzahl der Gleichungen festlegen, evtl. Variablen umbenennen, dann die beiden Gleichungen eingeben.

Lösung des Gleichungssystems:$g = 9 €;p = 0,32 €$

Seite eines Schülers

Das Thema von einem Schüler bearbeitet

Diese Seite entstand in einer Projektwoche 2023.

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