Benutzer:Buss-Haskert/Dreiecke/Kongruenzsätze: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 21. November 2023, 15:07 Uhr

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Dreiecke - Vorwissen

1) Winkel im Schnittpunkt von Geraden
2) Winkelsumme im Dreieck
3) Dreiecksformen

4) Konstruktion von Dreiecken (Kongruenzsätze)

4) Konstruktion von Dreiecken - Kongruenzsätze

Material FLINK Team auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/cpgvg6rg (noch einfügen)

4.1 SSS

Dreiecke konstruieren: SSS - Seite, Seite, Seite

SSS - Seite, Seite, Seite

Zeichne das Dreieck mit a=3,8cm, b=5 cm und c=5,2 cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

Link zum Applet, falls es nicht vollständig dargestellt wird: https://www.geogebra.org/m/htean8ru

Übung 8: SSS

Konstruiere die Dreiecke.

Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe des GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst.

Löse Buch

S. 82 Nr. 1a
S. 82 Nr. 2
S. 82 Nr. 3

Übung 9: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen a=8,5cm, b=6 cm und c=5cm mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius d=a=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

3.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius e=b=6 cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

4.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C der Kreise (Schnittpunkt).Ändere den Namen des oberen Punktes in C.

5.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:

4.2 WSW

Dreiecke konstruieren: WSW - Winkel, eingeschlossene Seite, Winkel

WSW - Winkel, eingeschlossene Seite, Winkel

Zeichne das Dreieck mit c=6 cm, $\alpha$ =40° und $\beta$ =70°.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

(Applet von Pöchtrager)

Übung 10: WSW

Konstruiere die Dreiecke.

Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.

Löse Buch

S. 83 Nr. 1
S. 83 Nr. 2

Du benötigst für die Konstruktion nach WSW immer die an die Seite anliegenden Winkel. Berechne also den fehlenden Winkel mithilfe des Winkelsummensatzes.

Übung 11: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen c=5cm,

\alpha

=78°

\beta

=55° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne den Winkel

\alpha

=78° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 78° eingibst.

3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte A und B'.

4.Schritt: Zeichne den Winkel

\beta

=55° (Winkel mit fester Größe), indem du die zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann 55° eingibst.

5.Schritt: Zeichne den Strahl h durch die Punkte B und A'.

6.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C der Strahle (Schnittpunkt).

7.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:

4.3 SWS

Dreiecke konstruieren: SWS- Seite, eingeschlossener Winkel, Seite

SWS -Seite, eingeschlossener Winkel, Seite

Zeichne das Dreieck mit $\alpha$ =50°, b=4,4cm und c=5,5cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

Übung 12: SWS

Konstruiere die Dreiecke.

Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.

Löse Buch

S. 84 Nr. 1
S. 84 Nr. 2

Hast du nur zwei Seitenlängen gegeben? Nein, du kennst auch einen Winkel!

Welchen Winkel bildet der Mast mit dem Boden? Skizziere!

Übung 13: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=6,5cm, c=7 cm und

\alpha

=40° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=7cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne den Winkel

\alpha

=40° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 40° eingibst.

3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte A und B'.

4.Schritt: Zeichne um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius c=b=6,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

5.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C des Strahls g mit dem Kreis c.

6.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:

4.4 SsW

Dreiecke konstruieren: SsW - Seite, Seite, (der längeren Seite gegenüberliegender) Winkel

SsW - lange Seite, kurze Seite, Winkel

Zeichne das Dreieck mit $\alpha$ =35°, a=5,6cm und c=4,7cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

(Applets von Pöchtrager)

Nutze die Schieberegler im Applet, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!

Übung 14: SsW

Konstruiere die Dreiecke.

Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.

Löse Buch

S. 85 Nr. 1
S. 85 Nr. 2
S. 85 Nr. 3

Nutze die Schieberegler im Applet oben, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!

Hast du nur zwei Seitenlängen gegeben? Nein, du kennst auch einen Winkel!

Welchen Winkel bildet eine Hauswand immer mit dem Boden? Skizziere!

Übung 15: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=8,5cm, c=5 cm und

\beta

=68° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne den Winkel

\beta

=68° (Winkel mit fester Größe), indem du zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann die Winkelgröße 68° eingibst.

3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte B und A'.

4.Schritt: Zeichne um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius b=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

5.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C des Strahls g mit dem Kreis.

6.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:

Vermischte Übungen und Anwendungsaufgaben

Übung 16: Übungen zu Grundkonstruktionen (bei Bedarf)

Bearbeite die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen.

Übung 17: Anwendungsaufgaben

In unserer Umgebung gibt es viele Fragestellungen, die sich mithilfe von Dreieckskonstruktionen beantworten lassen. Gehe bei der Lösung schrittweise vor:

Lies die Aufgabenstellung genau.
Zeichne eine Planfigur (Dreieck) und beschrifte es mit den im Text gegebenen Größen. Wähle dazu einen passenden Maßstab, z.B. 1m in Wirklichkeit entspricht 1cm in der Zeichnung.
Notiere, um welchen Kongruenzsatz es sich handelt (SSS, WSW, SWS oder SsW).
Konstruiere das Dreieck und miss die gesuchte Größe.
Notiere einen Antwortsatz, in dem du die passende Maßeinheit (z.B. m) verwendest.

Löse die Aufgaben aus dem Buch

S. 92, Nr. 12
S. 92, Nr. 13
S. 92, Nr. 14 (schwer!)
S. 93, Nr. 5 links
S. 93, Nr. 5 rechts

Trage in deiner Planfigur die gegebenen Größen ein. Du siehst, es sind zwei Winkel und die eingeschlossene Seite gegebenen. Konstruiere also mit WSW.

Der Maßstab 1:2000 bedeutet, dass 1cm in der Zeichnung 2000cm in Wirklichkeit sind.
Also sind 2000cm=20m in Wirklichkeit 1cm in der Zeichnung.
10m in Wirklickeit sind also 0,5 cm in der Zeichnung.

Also sind 150m in Wirklichkeit 7,5cm in der Zeichnung.

Du markierst in der Planfigur den Winkel $\alpha$ =28° als gegeben und die Seite c=7,5cm (berechnet mit dem Maßstab, Tipp 1).
Nun fehlt eine weitere Angabe: Du kennst auch den Winkel $\beta$ !
In welchem Winkel zum Boden werden Windräder aufgebaut?

Nun konstruierst du das Dreieck mit der Konstruktion nach WSW. Miss die Länge der Seite a und rechne mithilfe des Maßstabes die Länge in Wirklichkeit um. Aber Vorsicht, du bist noch nicht fertig!

Zum Schluss musst du noch die Körpergröße von 1,60m zur gemessenen Höhe im Dreieck (schon in m umgewandelt) addieren.

Lösung: Die gemessene Höhe beträgt ca. 4cm, dies sind 4∙20m = 80 m in Wirklichkeit. Mit der Körpergröße von 1,60m ist das Windrad also 81,60 m hoch.

Der Maßstab 1:500 bedeutet, dass 1cm in der Zeichnung 500 cm in Wirklichkeit sind.
500cm = 5m in der Wirklichkeit sind 1cm in der Zeichnung.
1m in Wirklichkeit sind also 0,2 cm in der Zeichnung und
28 m in Wirklichkeit sind 5,6 cm in der Zeichnung.

Auch hier kennst du den Winkel zwischen Turm und Boden.

Zeichne in Höhe der Turmspitze eine parallele Hilfslinie zum "Boden" ein.
Trage die angegebenen Winkel an und verlängere die freien Schenkel bis zum "Boden".

Wenn du alles richtig gemacht hast, ist die Strecke von A nach B (der "See") 7,6 cm lang. Rechne die Länge mit Hilfe des Maßstabs wieder in m um. Du erhältst eine Seebreite von 38 m.

Kontruiere mit SWS. Die Lösung findest du hinten im Buch! (Rückspiegel)

Ergänzung: Umkreis und Inkreis von Dreiecken

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 <br>
 {{#ev:youtube|KDWOrGAtkC8|800|center}}<br>
-{{Box|Übung 1: SSS|Konstruiere die Dreiecke.
+{{Box|Übung 8: SSS|Konstruiere die Dreiecke.
 * Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
 * Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 <br>
-{{Box|1=Übung 2: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen a=8,5cm, b=6 cm und c=5cm mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
+{{Box|1=Übung 9: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen a=8,5cm, b=6 cm und c=5cm mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)<br>|2= 1.Schritt|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=2.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius d=a=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)|2= 2.Schritt|3=Verbergen}}
@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 <small>(Applet von Pöchtrager)</small>
 <br>
-{{Box|Übung 3: WSW|Konstruiere die Dreiecke.
+{{Box|Übung 10: WSW|Konstruiere die Dreiecke.
 * Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
 * Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 <ggb_applet id="njxqdgtm" width="1432" height="1500" border="888888" /><br>
-{{Box|1=Übung 4: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen c=5cm, <math>\alpha</math>=78° <math>\beta</math>=55° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
+{{Box|1=Übung 11: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen c=5cm, <math>\alpha</math>=78° <math>\beta</math>=55° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)<br>|2= 1.Schritt|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=2.Schritt: Zeichne den Winkel <math>\alpha</math>=78° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 78° eingibst.|2= 2.Schritt|3=Verbergen}}
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 {{#ev:youtube|micOPq-7Idc|800|center}}
 <br>
-{{Box|Übung 5: SWS|Konstruiere die Dreiecke.
+{{Box|Übung 12: SWS|Konstruiere die Dreiecke.
 * Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
 * Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 <ggb_applet id="uvjfu6pg" width="1416" height="909" border="888888" /><br>
-{{Box|1=Übung 6: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=6,5cm, c=7 cm und <math>\alpha</math>=40° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
+{{Box|1=Übung 13: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=6,5cm, c=7 cm und <math>\alpha</math>=40° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=7cm.(Strecke mit fester Länge)<br>|2= 1.Schritt|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=2.Schritt: Zeichne den Winkel <math>\alpha</math>=40° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 40° eingibst.|2= 2.Schritt|3=Verbergen}}
@@ Zeile 128: / Zeile 128: @@
 Nutze die Schieberegler im Applet, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!<br>
 <ggb_applet id="zk7qrqxv" width="1416" height="1200" border="888888" /><br><br>
-{{Box|Übung 7: SsW|Konstruiere die Dreiecke.
+{{Box|Übung 14: SsW|Konstruiere die Dreiecke.
 * Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
 * Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
@@ Zeile 144: / Zeile 144: @@
 <ggb_applet id="y8zvpmrp" width="1416" height="1200" border="888888" /><br>
 <br>
-{{Box|1=Übung 8: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=8,5cm, c=5 cm und <math>\beta</math>=68° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
+{{Box|1=Übung 15: Konstruktion mit GeoGebra|2=Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=8,5cm, c=5 cm und <math>\beta</math>=68° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!|3=Üben}}
 {{Lösung versteckt|1=1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)<br>|2= 1.Schritt|3=Verbergen}}
 {{Lösung versteckt|1=2.Schritt: Zeichne den Winkel <math>\beta</math>=68° (Winkel mit fester Größe), indem du zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann die Winkelgröße 68° eingibst.|2= 2.Schritt|3=Verbergen}}
@@ Zeile 154: / Zeile 154: @@
 ==Vermischte Übungen und Anwendungsaufgaben==
-{{Box|1=Übungen zu Grundkonstruktionen (bei Bedarf)|2=Bearbeite die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen.<br>
+{{Box|1=Übung 16: Übungen zu Grundkonstruktionen (bei Bedarf)|2=Bearbeite die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen.<br>
 * [https://www.geogebra.org/m/xw4njYUy#chapter/262145 '''Übungen GeoGebra''']
 * [http://www.mathe-trainer.de/Klasse7/Geometrie/Konstruktionen/Block1/Aufgaben.htm '''mathe-trainer''']|3=Üben}}
 <br>
-{{Box|Übung 9: Anwendungsaufgaben|In unserer Umgebung gibt es viele Fragestellungen, die sich mithilfe von Dreieckskonstruktionen beantworten lassen. Gehe bei der Lösung schrittweise vor:
+{{Box|Übung 17: Anwendungsaufgaben|In unserer Umgebung gibt es viele Fragestellungen, die sich mithilfe von Dreieckskonstruktionen beantworten lassen. Gehe bei der Lösung schrittweise vor:
 * Lies die Aufgabenstellung genau.
 * Zeichne eine Planfigur (Dreieck) und beschrifte es mit den im Text gegebenen Größen. Wähle dazu einen passenden Maßstab, z.B. 1m in Wirklichkeit entspricht 1cm in der Zeichnung.
@@ Zeile 164: / Zeile 164: @@
 * Konstruiere das Dreieck und miss die gesuchte Größe.
 * Notiere einen Antwortsatz, in dem du die passende Maßeinheit (z.B. m) verwendest.
-Löse Buch S.
+Löse die Aufgaben aus dem Buch
-* S. 92 Nr. 12
+* S. 92, Nr. 12
-* S. 92 Nr. 13
+* S. 92, Nr. 13
-* S. 92 Nr. 14 (schwer!)
+* S. 92, Nr. 14 (schwer!)
-* S. 93 Nr. 5 links
+* S. 93, Nr. 5 links
-* S. 93 Nr. 5 rechts|Üben}}
+* S. 93, Nr. 5 rechts|Üben}}
 <br>
 {{Lösung versteckt|Trage in deiner Planfigur die gegebenen Größen ein. Du siehst, es sind zwei Winkel und die eingeschlossene Seite gegebenen. Konstruiere also mit WSW.|Tipp zu Nr. 12|Verbergen}}

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Inhaltsverzeichnis

4) Konstruktion von Dreiecken - Kongruenzsätze

4.1 SSS

4.2 WSW

4.3 SWS

4.4 SsW

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4.1 SSS

4.2 WSW

4.3 SWS

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