Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 17. November 2022, 10:01 Uhr


Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du

  • wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt schätzen kannst.
  • wie du von Pyramiden den Oberflächeninhalt berechnen kannst.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

Wiederholung

Info
Um die Oberfläche einer Pyramide zu bestimmen, ist es wichtig, dass du weißt, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken und von Dreiecken bestimmt. Wenn du dich noch daran erinnerst, wie man diesen bestimmt, kannst du direkt zu Aufgabe 5 gehen. Wenn du dir noch etwas unsicher bist und eine kurze Wiederholung brauchst, bearbeite die folgenden Aufgaben (Aufgaben 1,2,3 und 4).

Rechteckigen Flächeninhalt berechnen

Aufgabe 1: Flächeninhalt vom Rechteck

Berechne den Flächeninhalt des folgenden Quadrates (denke auch daran, die richtige Einheit anzugeben):


Dreieckigen Flächeninhalt berechnen

Aufgabe 2: Flächeninhalt vom Dreieck

Berechne den Flächeninhalt des folgenden Dreiecks (denke auch daran, die richtige Einheit anzugeben):



Info
In den Aufgaben 3 und 4 hast du noch einmal die Möglichkeit, das Bestimmen von recht- und dreieckigen Flächeninhalten zu üben. Solltest du dich schon sicher fühlen, kannst du auch direkt mit Aufgabe 5 weitermachen.


Aufgabe 3: Rechteckige Flächeninhalte berechnen

a)

b)


Aufgabe 4: Dreieckige Flächeninhalte berechnen


a)

b)



Aufgabe 5: Formeln notieren

Grundlagen-bearbeiten.png Kehre nun zum Arbeitsblatt zurück und trage die Formeln zur Berechnung rechteckiger und dreieckiger Flächeninhalte ein (die vollständigen Formeln stehen jeweils unter "Tipp 2" in Aufgabe 1 und Aufgabe 2).

Oberflächeninhalte berechnen

Lies dir eine der folgenden Situationsbeschreibungen durch und bearbeite anschließend Aufgabe 6.

 


Aufgabe 6: Materialien berechnen

Überlege dir bei einer der Situationen, wie man das Problem mathematisch lösen könnte. Beschreibe dein Vorgehen auf einem Zettel in Stichpunkten. Hier sind keine Rechnungen erforderlich und du brauchst auch nicht zählen.

Kannst du dein Vorgehen auch verallgemeinern und auf die anderen Probleme anwenden? Falls dir dies schwerfällt, schau dir genau den nächsten Abschnitt an!

Schrägbild einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe
Gitternetz einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe.

Wie du bereits im vorherigen Kapitel entdeckt hast, lässt sich die Oberfläche einer Pyramide in ein Netz überführen, indem man die Pyramide aufklappt und die Seitenflächen auf eine Ebene faltet.

Das so entstandene Netz besteht somit aus einer Grundfläche und den dreieckigen Seitenflächen, welche zusammen die sogenannte Mantelfläche bilden.

Den Flächeninhalt des gesamten Netzes nennt man den Oberflächeninhalt . Du kannst dir diese Größe als Menge an Verpackung vorstellen, die du benötigst, um das pyramidenförmige Objekt zu umschließen.


Merksatz: Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt einer Pyramide lässt sich durch die Summe ihrer Grundfläche und ihrer Mantelfläche berechnen. Als Formel ergibt sich somit:

.

Die Mantelfläche besteht aus mehreren dreieckigen Seitenflächen. Die Anzahl dieser Seitenflächen ist gleich der Anzahl der Ecken der Grundfläche.

Im Falle einer quadratischen Pyramide, welche ihre Spitze über der Mitte ihrer Grundfläche hat, ergibt sich für die Grundfläche die Fläche eines Quadrates und für ihre Mantelfläche die Flächeninhalte von vier gleich großen Dreiecken.


Beispiel: Oberflächeninhalt berechnen


Betrachte die Pyramide rechts, mit einer Kantenlänge von und einer Seitenhöhe von .

Schrägbild einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe
Gitternetz einer Pyramide mit angegebener Kantenlänge und Seitenhöhe.

Grundfläche G:

.

Seitenfläche A:

Mantelfläche M:

.

Oberfläche O:


Aufgabe 7: Lückentext 'Rechteckige Pyramide'




Aufgabe 8: Oberflächeninhalte verschiedener Pyramiden berechnen

Grundlagen-bearbeiten.png Kehre nun zum Arbeitsblatt zurück und bearbeite die Aufgabe 8 zum Einüben des Verfahrens.


Aufgabe 9: Tetraeder?

Azra hat zur Berechnung an einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche sehr viele Größen gemessen, um auf alles vorbereitet zu sein. Allerdings sollte sie nur den Oberflächeninhalt berechnen.

About icon (The Noun Project).svg Du kannst durch klicken, ziehen und loslassen mit der Maus die Ansicht in dem Geogebra-Applet ändern. Außerdem kannst du auch die Zahlen gleicherweise verschieben, um sie besser lesen zu können.

Kevin erwidert, dass dies ja viel zu viel Arbeit sei, da man doch nur eine der Seitenflächen benötigt. Schnell berechnet er:

.

Stimmst du diesem Ergebnis zu oder war Kevin doch etwas zu voreilig? Erkläre, welche Fehler Kevin gemacht hat und korrigiere das Ergebnis!

Pyramiden schätzen

Im Alltag kommt es manchmal vor, dass man nicht alle Angaben kennt, die man zur Bestimmung der Oberfläche benötigt. In diesem Abschnitt kannst du deshalb üben, einzelne Angaben oder auch den gesamten Flächeninhalt zu schätzen. Dabei kommt es nicht so sehr darauf an, dass du immer komplett richtig schätzt (das wäre ja auch so gut wie unmöglich), sondern, dass du ein Gefühl für die Größen entwickelst.


Aufgabe 10: Oberfläche von Pyramiden schätzen

Ordne jedem Bild durch Schätzen den passenden Oberflächeninhalt zu (du musst hier nichts rechnen!):

About icon (The Noun Project).svgDurch Anklicken der Bilder oder klicken auf "?" werden die Bilder größer. About icon (The Noun Project).svgAm Ende bleiben einige Werte übrig, da es mehr Werte als Bilder gibt.


Aufgabe 11: Karlsruher Pyramide schätzen
Karlsruher Pyramide

Auf dem Bild siehst du die Karlsruher Pyramide, die auf dem Marktplatz in Karlsruhe steht. Berechne den Oberflächeninhalt (inklusive der Grundfläche), indem du...

a) ... die für die Berechnung notwendigen Größen schätzt,

b) ... anschließend die Fläche mit deinen geschätzten Werten berechnest.


Info
Die Grundfläche der Pyramide kann als quadratisch angenommen werden.

Vertiefen und Vernetzen

Info
In diesem Abschnitt findest du vertiefende Aufgaben zu dem Oberflächeninhalt von Pyramiden und darüber hinausgehenden Themen. Neben Pyramiden kommen in diesem Abschnitt auch weitere Körper bzw. Flächen vor, die du zum Teil bereits aus dem Unterricht kennst. Die Aufgabe 16 ist als Knobelaufgabe gedacht, sodass du hier testen kannst, wie fit du im Umgang mit den Oberflächeninhalten von Pyramiden und ähnlichen Körpern bist.


Aufgabe 12: Zusammengesetzte Körper

Grundlagen-bearbeiten.png Kehre zum Arbeitsblatt zurück und bearbeite dort die Aufgabe 14.


Aufgabe 13: Tipi
Tipi

Für das Tipi auf dem Foto soll eine Plane hergestellt werden. Zur Vereinfachung kannst du annehmen, dass das Tipi die Form einer regelmäßigen neuneckigen Pyramide hat, die an einer der Seitenflächen eine halbrunden Öffnung enthält. Der Boden des Tipis wird nicht mit einer Plane ausgekleidet.

Berechne, wie viel Quadratmeter Zeltplane für das Tipi benötigt wird.