Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden. Du lernst...

• ... das Skalarprodukt zu berechnen und geometrisch zu deuten.
• ... Vektoren und Geraden mit Hilfe des Skalarprodukts auf Orthogonalität zu überprüfen.
• ... den Winkel zwischen Vektoren und Geraden zu berechnen.
• ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt und Orthogonalität

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um im weiteren Verlauf den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können. Außerdem betrachten wir den Sonderfall, wenn das Skalarprodukt null wird.

Definitionen und Eigenschaften

Definition: Skalarprodukt

Für die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ kann man das Skalarprodukt $\vec{u} \ast \vec{v}$ berechnen mit $\vec{u} \ast \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$.

Als Ergebnis des Skalarprodukts erhälst du keinen Vektor, sondern eine reelle Zahl.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

• Kommutativgesetz. Es gilt also $\vec{u} \ast \vec{v} = \vec{v} \ast \vec{u}$.
• Distributivgesetz. Es gilt also $\vec{u} \ast ( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \ast \vec{v} + \vec{u} \ast \vec{w}$.
• Assoziativgesetz. Es gilt also $(r \cdot \vec{u}) \ast \vec{v} = r \cdot ( \vec{u} \ast \vec{v})$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Merksatz: Orthogonalität

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

"Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:

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Aufgaben

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Notiere dein Ergebnis in dem jeweiligen Kästchen.

Aufgabe 2: Skalarprodukt oder Multiplikation?

Entscheide in den folgenden Aufgaben, ob es sich um ein Skalarprodukt oder eine Multiplikation handelt.

Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern ebenfalls eine reelle Zahl.

Aufgabe 3: Orthogonalität I

Stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander?

Aufgabe 4: Orthogonalität II

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal zueinander sind.

1 $\mathbf{a)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ u_2 \\ 3 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

	$u_2 = 5$
	$u_2 = -5$
	$u_2 = 7$

2 $\mathbf{b)} \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}$

	$v_3 = \frac{3}{2}$
	$v_3 = \frac{2}{3}$
	$v_3 = -\frac{3}{2}$

3 $\mathbf{c)} \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ 1 \\ 63 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

	$u_1 = \frac{1}{2}$
	$u_1 = -\frac{1}{2}$
	$u_1 = -1$

Aufgabe 5: Lagebeziehungen von Vektoren

Sei $\vec{u} \perp \vec{v}$ und $\vec{v} \perp \vec{w}$. Lässt sich aus dieser Information die Lagebeziehung von $\vec{u}$ und $\vec{w}$ im zweidimensionalen Raum $\R^2$ erschließen?

Das $\perp$ in $\vec{u} \perp \vec{v}$ bedeutet, dass die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal zueinander sind.

$\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind parallel zueinander, d.h. $\vec{u} \parallel \vec{w}$.

Gilt dies auch für den dreidimensionalen Raum $\R^3$?

Du kannst dir einen Körper (z.B. einen Würfel) oder drei Stifte als Hilfe nehmen. Wenn es dir hilft, mache eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.

$\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Genau genommen weiß man erst einmal gar nichts über ihre Lage. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.

Aufgabe 6: Beweis des Distributivgesetzes

Beweise das Distributivgesetz, also $\vec{u} \ast ( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \ast \vec{v} + \vec{u} \ast \vec{w}$.

Schreibe zunächst die Vektoren $\vec{u}, \vec{v}$ und $\vec{w}$ als Spaltenvektoren und überlege dir, was das Skalarprodukt bedeutet.

Addiere die Vektoren komponentenweise und sortiere die Terme sinnvoll.

1. Schreibe die Vektoren $\vec{u}, \vec{v}$ und $\vec{w}$ als Spaltenvektoren.

$\vec{u} \ast ( \vec{v} + \vec{w}) = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \ast (\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix})$

2. Addiere die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ komponentenweise.

$= \vec{u} \ast \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ v_3 + w_3 \end{pmatrix}$

3. Wende die Formel für das Skalarprodukt an.

$= u_1 \cdot (v_1 + w_1) + u_2 \cdot (v_2 + w_2) + u_3 \cdot (v_3 + w_3)$

4. Multipliziere die Klammern aus (Distributivgesetz der reellen Zahlen).

$= u_1 \cdot v_1 + u_1 \cdot w_1 + u_2 \cdot v_2 + u_1 \cdot w_2 + u_3 \cdot v_3 + u_1 \cdot w_3$

5. Sortiere die Summen (Kommutativgesetz der reellen Zahlen).

$= u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 + u_1 \cdot w_1 + u_1 \cdot w_2 + u_1 \cdot w_3$

6. Wende die Formel für das Skalarprodukt "rückwärts" an.

$= \vec{u} \ast \vec{v} + \vec{u} \ast \vec{w}$

Winkel

Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.

Einführung

Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren

Die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ haben den Innenwinkel $\alpha$.

Es gilt: $\vec{u} \ast \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\alpha)$

Stellt man die Formel nach $\cos(\alpha)$ um, erhält man: $\cos (\alpha) = \frac{\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: $| \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2}$

Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir das Lernpfadkapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum an.

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video an:

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Satz: Sonderfälle

Neben dem Sonderfall der Orthogonalität, d.h. $\alpha = 90^{\circ}$ mit $\cos (90) = 0$, gibt es noch zwei weitere:

• Wenn $\alpha = 0^{\circ}$ mit $\cos (0) = 1$, dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.

• Wenn $\alpha = 180^{\circ}$ mit $\cos (180) = -1$, dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.

Außerdem lässt sich anhand des Skalarproduktes leicht erkennen, ob der Winkel zwischen den beiden Vektoren spitz oder stumpf ist:

• Wenn das Skalarprodukt positiv ist, handelt es sich um einen spitzen Winkel, d.h. $0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ}$.

• Wenn das Skalarprodukt negativ ist, handelt es sich um einen stumpfen Winkel, d.h. $90^{\circ} < \alpha \leq 180^{\circ}$.

Aufgaben

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufgabe 7: Winkelberechnung

Berechne die Größe des Winkels $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Du darfst dafür deinen Taschenrechner verwenden. Runde das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle.

1 $\mathbf{a)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

	$\alpha = 57{,}12^\circ$
	$\alpha = 0{,}10^\circ$
	$\alpha = 62{,}80^\circ$

2 $\mathbf{b)} \vec{u} = \begin{pmatrix} -11 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

	$\alpha = 59{,}97^\circ$
	$\alpha = 44{,}75^\circ$
	$\alpha = 90^\circ$

3 $\mathbf{c)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

	$\alpha = 0^\circ$
	$\alpha = 180^\circ$
	$\alpha = -1^\circ$

Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen

Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeigern einer Uhr täglich null?

Mache dir zunächst einmal klar, was es für die Uhrzeiger bedeutet, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Wie häufig wird das Skalarprodukt innerhalb von einer Stunde null?

Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21 Uhr, gibt es nur den einen rechten Winkel, der die volle Stunde anzeigt.

Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt.

Winkel zwischen zwei Geraden

In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Winkel zwischen zwei Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum an.

Winkel zwischen zweier Geraden

Auch zwischen zwei Geraden kann man einen Winkel berechnen, sogar dann, wenn sich die Geraden gar nicht schneiden. Um den Winkel zu berechnen, in den zwei Geraden zueinander stehen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.

Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren lautet

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

2. Länge der Richtungsvektoren berechnen

3. Ergebnisse in die Formel einsetzen

4. Formel nach $\alpha$ auflösen

5. ggf. spitzen Winkel berechnen (siehe nächste Box)

Winkel zwischen zwei Geraden

Mit dem Winkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d. h. $0^\circ \leq \beta < 90^\circ$. Dies wird in der Formel nicht berücksichtigt. Stattdessen muss man, falls $\alpha \geq 90^\circ$, noch $\beta = 180^\circ - \alpha$ berechnen. Der gesuchte Winkel ist dann $\beta$.

Aufgabe 9: Winkel berechnen

Berechne den Winkel zwischen den Geraden $g$ und $h$. $r, s \in \mathbb{R}$.

$g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

$h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen $\vec{u} \ast \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -2$

2. Länge der Richtungsvektoren berechnen $|\vec{u}| = \sqrt{1^2+3^2+0^2} = \sqrt{10}$

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11}$

3. Ergebnisse in die Formel einsetzen: Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein.

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

und erhältst somit

$\cos(\alpha) = \frac {-2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}}$

4. Formel nach $\alpha$ auflösen

$\alpha = \cos^{-1} (\frac{-2}{\sqrt{110}}) \approx 101^\circ$

5. spitzen Winkel berechnen, da $\alpha \geq 90^\circ$

$\beta = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ$

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden $g$ und $h$ beträgt ca. $79^\circ$

Aufgabe 10: Innenwinkel in einem Dreieck

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A (1|1|2)$, $B(2|2|3)$ und $C(3|1|0)$ gegeben.

Bestimme die Größe der Innenwinkel des Dreiecks $ABC$ sowie die Seitenlängen des Dreiecks.

1. Die Richtungsvektoren zwischen den Ortsvektoren bestimmen:

$\vec{a} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{b} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{c} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Betrachten wir das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{c}$: $\vec{b} \ast \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 2 + 0 + (-2) = 0$.

Dann wissen wir, wenn das Skalarprodukt null ist, dass die beiden Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{c}$ orthogonal zueinander stehen, also $\alpha = 90^\circ$.

2. Die Länge der Richtungsvektoren bestimmen:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-3)^2} = \sqrt{11}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$|\vec{c}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$

Diese Längen entsprechen auch den Seitenlängen des Dreiecks $ABC$.

3. Winkel $\delta$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ bestimmen:

$\cos(\delta) = \frac {\vec{a} \ast \vec{c}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{c}|}$

$\cos(\delta) = \frac {1+(-1)+(-3)}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-3}{\sqrt{33}}$

4. Formel nach $\delta$ auflösen

$\delta = \cos^{-1} \left(\frac{-3}{\sqrt{33}} \right) \approx 121{,}5^\circ$

Da wir bereits wissen, dass $\alpha = 90^\circ$, kann der Dreiecksinnenwinkel beim Punkt $B$ nicht $121{,}5^\circ$ sein, da die Winkelsumme sonst bereits bei $90^\circ + 121{,}5^\circ = 211{,}5^\circ > 180^\circ$ liegen würde. Also berechnen wir den Winkel:

5. spitzen Winkel berechnen

$\beta = 180^\circ - 121{,}5^\circ = 58{,}5^\circ$

Den dritten Innenwinkel können wir anschließend wie folgt berechnen:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 90^\circ - 58{,}5^\circ = 31{,}5^\circ$

Die Innenwinkel des Dreiecks $ABC$ sind $\alpha = 90^\circ, \beta = 58{,}5^\circ \text{ und } \gamma = 31{,}5^\circ.$

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