Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)

Info

In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit dem Skalarprodukt und dem Winkel zwischen zwei Vektoren beziehungsweise dem Winkel zwischen zwei Geraden. Du lernst...

• ... das Skalarprodukt zu berechnen und geometrisch zu deuten.
• ... Vektoren und Geraden mit Hilfe des Skalarprodukts auf Orthogonalität zu überprüfen.
• ... den Winkel zwischen Vektoren und Geraden zu berechnen.
• ... geometrische Objekte und Situationen im Raum mit Hilfe des Skalarprodukts zu untersuchen.

(vgl. Kernlehrplan NRW Sek. II)

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

• Mit Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit
• und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.

Wir wünschen dir viel Erfolg!

Skalarprodukt

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem Skalarprodukt. Dieses ist ein wichtiger Bestandteil, um im weiteren Verlauf den Winkel zwischen zwei Vektoren und zwei Geraden berechnen zu können.

Definitionen und Eigenschaften

Definition: Skalarprodukt

Für die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ kann man das Skalarprodukt $\vec{u} \ast \vec{v}$ berechnen mit $\vec{u} \ast \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$.

Als Ergebnis des Skalarprodukts erhälst keinen Vektor, sondern eine reelle Zahl.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Für das Skalarprodukt gilt das...

• Kommutativgesetz. Es gilt also $\vec{u} \ast \vec{v} = \vec{v} \ast \vec{u}$.
• Distributivgesetz. Es gilt also $\vec{u} \ast ( \vec{v} \ast \vec{w}) = ( \vec{u} \ast \vec{v}) \ast \vec{w}$.
• Assoziativgesetz. Es gilt also $(r \cdot \vec{u}) \ast \vec{v} = r \cdot ( \vec{u} \ast \vec{v})$ mit $r \in \mathbb{R}$.

Video

Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:

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Übungen

Aufgabe 1: Das Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Notiere dein Ergebnis in dem jeweiligen Kästchen.

Aufgabe 2: Terme umformen

Wenn du Terme zuerst umformst, bevor du das Skalarprodukt berechnest, sparst du dir eine Menge Aufwand.

Löse die Klammern auf und fasse sinnvoll zusammen. Notiere deine Ergebnisse und überprüfe sie anschließend mit den Lösungen. Für die Vektoren müssen in dieser Aufgabe keine Werte eingesetzt werden.

a) $(3 \vec{a} - 5 \vec{b}) \ast (2 \vec{a} + 7 \vec{b})$

$(3 \vec{a} - 5 \vec{b}) \ast (2 \vec{a} + 7 \vec{b}) = 6 \vec{a}^2 + 21 \vec{a}\vec{b} - 10 \vec{a}\vec{b} - 35 \vec{b}^2 = 6 \vec{a}^2 + 11 \vec{a} \vec{b} - 35 \vec{b}^2$

b) $(3 \vec{e}) \ast \vec{f} + \vec{f} \ast (2 \vec{e}) - 4 (\vec{e} \ast \vec{f})$

$(3 \vec{e}) \ast \vec{f} + \vec{f} \ast (2 \vec{e}) - 4 (\vec{e} \ast \vec{f}) = 3 \vec{e} \vec{f} + 2 \vec{e} \vec{f} - 4 \vec{e} \vec{f} = \vec{e} \vec{f}$

c) $(3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \ast (\vec{u} + 2 \vec{v}) - 7(\vec{u} \ast \vec{v})$

$(3 \vec{u} - 2 \vec{v}) \ast (\vec{u} + 2 \vec{v}) - 7(\vec{u} \ast \vec{v}) = 3 \vec{u}^2 + 6 \vec{u} \vec{v} - 2 \vec{u} \vec{v} - 4 \vec{v}^2 - 7\vec{u} \vec{v} = 3 \vec{u}^2 - \vec{u} \vec{v} -4 \vec{v}$

d) $(2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}) \ast ( \vec{a} - \vec{b})$

$(2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}) \ast ( \vec{a} - \vec{b}) = 2 \vec{a}^2 - 2 \vec{a} \vec{b} + 3\vec{a} \vec{b} - 3 \vec{b}^2 - \vec{c} \vec{a} + \vec{c} \vec{b} = 2 \vec{a}^2 + \vec{a} \vec{b} - 3 \vec{b}^2 - \vec{c} \vec{a} + \vec{c} \vec{b}$

e) $( \vec{x} + \vec{y})^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2$

Erinnere dich an die binomischen Formeln. Wenn du nicht mehr genau weißt, wie die binomischen Formeln lauten, dann schaue in Tipp 2.

Erste binomische Formel: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Zweite binomische Formel: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Dritte binomische Formel: $(x+y) \cdot (x-y) = x^2 - y^2$

$( \vec{x} + \vec{y})^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2 = \vec{x}^2 + 2 \vec{x} \vec{y} + \vec{y}^2 - \vec{x}^2 + 2\vec{x}\vec{y} - \vec{y}^2 = 4 \vec{x} \vec{y}$

f) $( \vec{g} + 3 \vec{h})^2 - \vec{g} \ast (\vec{g} + 6 \vec{h})$

$( \vec{g} + 3 \vec{h})^2 - \vec{g} \ast (\vec{g} + 6 \vec{h}) = \vec{g}^2 + 6 \vec{g} \vec{h} + 9 \vec{h}^2 - \vec{g}^2 - 6 \vec{g}\vec{h} = 9 \vec {h}^2$

Aufgabe 3: Multiplikation oder Skalarprodukt?

Entscheide in den folgenden Aufgaben, wann der Malpunkt für das Skalarprodukt und wann er für die Multiplikation von Zahlen steht. Die Reihenfolge der Antworten innerhalb einer Antwortmöglichkeit soll der Reihenfolge der Malpunkte innerhalb der Aufgabe entsprechen.

1 $\vec{a} \cdot \vec {b}$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

2 $\vec{b} \cdot \vec {a}$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

3 $\vec{a} \cdot (\vec {b} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

4 $\vec{b} \cdot (\vec {a} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

5 $(\vec{a} - \vec {b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c})$

	Skalarprodukt
	Multiplikation

6 $(\vec{a} \cdot \vec {b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec {c})$

	Skalarprodukt, Multiplikation, Multiplikation
	Skalarprodukt, Multiplikation, Skalarprodukt
	Multiplikation, Multiplikation, Multiplikation
	Skalarprodukt, Skalarprodukt, Skalarprodukt
	Multiplikation, Skalarprodukt, Skalarprodukt
	Multiplikation, Multiplikation, Multiplikation

7 $\vec{b} \cdot (\vec {a} \cdot \vec{c})$

	Multiplikation, Multiplikation
	Skalarprodukt, Skalarprodukt
	Multiplikation, Skalarprodukt
	Skalarprodukt, Multiplikation

8 $(\vec{b} \cdot \vec{a}) \cdot \vec {c}$

	Multiplikation, Multiplikation
	Skalarprodukt, Skalarprodukt
	Multiplikation, Skalarprodukt
	Skalarprodukt, Multiplikation

Bei der Multiplikation von zwei reellen Zahlen erhältst du wieder eine reelle Zahl. Das Produkt von zwei Vektoren liefert jedoch nicht einen Vektor, sondern ebenfalls eine reelle Zahl. Diese ist genau durch das Skalarprodukt definiert.

Winkel

Im Folgenden schauen wir uns den Umgang mit Winkeln zwischen Vektoren und Geraden an.

Einführung

Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren

Die beiden Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ haben den Innenwinkel $\alpha$.

Es gilt: $\vec{u} \ast \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\alpha)$

Stellt man die Formel nach $\cos(\alpha)$ um, erhält man: $\cos (\alpha) = \frac{\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Der Betrag eines Vektors ist im geometrischen Sinne seine Länge. Die Formel zur Berechnung des Betrags lautet: $| \vec{u} | = | \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} | = \sqrt{u_1 ^2 + u_2 ^2 + u_3^2}$

Wenn du darüber noch mehr wissen möchtest, schaue dir Lernpfadkapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum an.

Merksatz

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

"Orthogonal" bedeutet, dass die Vektoren im 90°-Winkel zueinander stehen.

Satz: Sonderfälle

Neben dem Sonderfall der Orthogonalität gibt es noch zwei weitere:

Wenn $\alpha = 0^{\circ}$, dann haben die beiden Vektoren die gleiche Richtung.

Wenn $\alpha = 180^{\circ}$, dann haben die beiden Vektoren entgegengesetzte Richtungen.

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Aufgaben

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufgabe 4: Winkelberechnung

Berechne die Größe des Winkels $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Du darfst dafür deinen Taschenrechner verwenden. Runde das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle.

1 $\mathbf{a)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

	$\alpha = 1{,}14^\circ$
	$\alpha = 65{,}56^\circ$
	$\alpha = 29{,}01^\circ$

2 $\mathbf{b)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

	$\alpha = 57{,}12^\circ$
	$\alpha = 0{,}10^\circ$
	$\alpha = 62{,}80^\circ$

3 $\mathbf{c)} \vec{u} = \begin{pmatrix} -11 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

	$\alpha = 59{,}97^\circ$
	$\alpha = 44{,}75^\circ$
	$\alpha = 90^\circ$

Aufgabe 5: Orthogonalität I

Stehen die Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander?

Aufgabe 6: Orthogonalität II

Bestimme die fehlende Koordinate so, dass die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal zueinander sind.

1 $\mathbf{a)} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ u_2 \\ 3 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

	$5$
	$-5$
	$7$

2 $\mathbf{b)} \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ v_3 \end{pmatrix}$

	$\frac{3}{2}$
	$\frac{2}{3}$
	$-\frac{3}{2}$

3 $\mathbf{c)} \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ 1 \\ 63 \end{pmatrix} , \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

	$\frac{1}{2}$
	$-\frac{1}{2}$
	$-1$

Aufgabe 7: Räumliches Vorstellungsvermögen

Sei $\vec{u} \perp \vec{v}$ und $\vec{v} \perp \vec{w}$. Was lässt sich im zweidimensionalen Raum $\R^2$ über die Beziehung von $\vec{u}$ und $\vec{w}$ sagen?

$\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind parallel zueinander, d.h. $\vec{u} \parallel \vec{w}$.

Im Vergleich dazu: Was lässt sich über die Beziehung von $\vec{u}$ und $\vec{w}$ im dreidimensionalen Raum $\R^3$ sagen?

Du kannst dir einen Körper als Hilfe nehmen. Denke zum Beispiel an einen Würfel. Wenn es dir hilft, mache eine kleine Skizze zur Veranschaulichung.

$\vec{u}$ und $\vec{w}$ sind nicht zwangsweise parallel zueinander. Durch die drei Dimensionen können sie drei unterschiedliche Richtungen haben. Dies lässt sich schon allein durch das Betrachten eines dreidimensionalen Koordinatensystems veranschaulichen.

Aufgabe 8: Räumliches Vorstellungsvermögen

Wie häufig wird das Skalarprodukt zwischen den (als Vektoren gedeuteten) Zeiger einer Uhr täglich null?

Mache dir zunächst einmal klar, was es für die Uhrzeiger bedeutet, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Wie häufig wird das Skalarprodukt innerhalb von einer Stunde null?

Jede Stunde befinden sich die beiden Uhrzeiger zweimal orthogonal zueinander. Viermal am Tag, nämlich zu den Uhrzeiten 3, 9, 15 und 21Uhr, zählt der rechte Winkel zweimal.

Damit ergibt sich, dass das Skalarprodukt der beiden Uhrzeiger täglich 48 - 4 = 44 Mal null beträgt.

Winkel zwischen zwei Geraden

In diesem Abschnitt lernst du, wie man den Schnittwinkel zweier Geraden berechnet. Dabei sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben.

Wenn du nicht mehr weißt, wie man eine Geradengleichung aufstellt, schau dir das Lernpfadkapitel Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum an.

Schnittwinkel

Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittwinkel berechnen. Um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, betrachtest du lediglich die Richtungsvektoren der Geraden.

Mache dich mit den Eigenschaften von Geraden vertraut. Es gibt vier mögliche Lagen zweier Geraden:

1. echt parallele Geraden,

2. identische Geraden,

3. windschiefe Geraden,

4. sich schneidende Geraden.

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Geraden und nie der Stumpfwinkel gemeint, d.h. $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$. Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.

Schnittwinkel zweier Geraden - Formel

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden in Parameterform

• $g \colon \vec{x} = \vec{a} + r \vec{u}$
• $h \colon \vec{x} = \vec{b} + s \vec{v}$

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels der beiden Geraden lautet

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{u} \ast \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Vorgehensweise

1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen
2. Länge der Richtungsvektoren berechnen
3. Ergebnisse in die Formel einsetzen
4. Formel nach $\alpha$ auflösen

Aufgabe 9: Schnittwinkel berechnen

Berechne den Schnittwinkel der Geraden $g$ und $h$. $r, s \in \mathbb{R}$.

$g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$;

$h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

1. Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechnen

$\vec{u} \ast \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \ast \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = -2$

1. Länge der Richtungsvektoren berechnen

$|\vec{u}| = \sqrt{1^2+3^2+0^2} = \sqrt{10}$

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{11}$

1. Ergebnisse in die Formel einsetzen

Die in Schritt 1 und 2 berechneten Ergebnisse setzt du nun in die Formel ein

$\cos(\alpha) = \frac {|\vec{u} \ast \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

und erhältst somit

$\cos(\alpha) = \frac {|{-}2|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{110}}$

1. Formel nach $\alpha$ auflösen

$\alpha = \cos^{-1} (\frac{2}{\sqrt{110}}) \approx 79{,}01^\circ$

Der Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden g und h beträgt ca. $79{,}01^\circ$

Aufgabe 10: Zusammenfassung

Die folgende Aufgabe besteht darin, diesen Lückentext mit den fehlenden Begriffen zu vervollständigen. Wenn du auf das jeweilige Feld tippst, erscheinen dir Antwortmöglichkeiten, unter denen du auswählen kannst.

Aufgabe 11: Innenwinkel eines Dreiecks

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-3|2|-1), B(-1|-1|-3) und S(3|7|-1) sowie die Geraden $g=AB$ und $h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ gegeben.

Bestimme die Größe der Innenwinkel des Dreiecks ABS.

$\vec{AB}, \vec{AS}$ und ihre Länge bestimmen:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{17}$

$|\vec{AS}| = \sqrt{6^2+5^2+(-10)^2} = \sqrt{161}$

Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren bestimmen:

$\cos(\alpha) = \frac {\vec{AB} \ast \vec{AS}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}|}$

$\cos(\alpha) = \frac {12-15+20}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \sqrt{\frac{17}{161}}$

$\alpha = \arccos \left(\sqrt{\frac{17}{161}} \right) \approx 71{,}04^\circ$

$\beta = 90^\circ - \alpha = 18{,}96^\circ$

Die Innenwinkel des Dreiecks $ABS$ sind $\alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ.$

Wie geht es nun weiter?

Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:

• Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:

• bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel Punkte und Vektoren im Raum
• bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel Geraden im Raum
• bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)
• bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel Ebenen im Raum
• bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)
• bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel Abstände von Objekten im Raum
• bei den Aufgaben 19 - 21, gehe zum Kapitel Lineare Gleichungssysteme