Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme: Unterschied zwischen den Versionen
In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Du solltest alle Aufgaben ohne Hilfsmittel, das heißt auch ohne Taschenrechner, lösen!
Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen Linearer Gleichungssysteme
Aufgabe 1 - Ordne die LGS den geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen
Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen
Aufgabe 2: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus
Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus
Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.
Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus
Verschiedene Lineare Gleichungssysteme
Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme
Ein Lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.
Ein Lineares Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.
Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem
Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem
Aufgabe 5 - LGS lösen
a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?
Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Unbekannte als Gleichungen besitzt.
b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.
Einsetzen von y in die erste Gleichung ergibt:
Aufgabe 6 - LGS lösen
a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?
Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Unbekannte besitzt.
b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.
Einsetzen von y in die zweite Gleichung ergibt:
Einsetzen von x und y in die zweite Gleichung ergibt:
Aufgabe 7 - LGS lösen
a) Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?
Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Unbekannte besitzt.
b) Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.
Einsetzen von z in die dritte Gleichung ergibt:
Einsetzen von y und z in die zweite Gleichung ergibt:
Aufgabe 8 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme
Im Merksatz oben haben wir erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.
a) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.
Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. Wegen der allgemeinen Erklärung liegt der Verdacht vor, dass dieses Gleichungssystem keine Lösung hat.
; das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen
b) Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege zunächst mit der Erklärung aus dem Merksatz ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt und welche Lösung es im Allgemeinen haben sollte. Versuche das Gleichungssystem dann so zu lösen, dass du eine andere Lösung erhältst, als die, die im Merksatz beschrieben ist.
Hierbei handelt es sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem. Wegen der allgemeinen Erklärung liegt der Verdacht vor, dass dieses Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, also unendlich viele Lösungen besitzt.
; das Gleichungssystem hat also keine Lösungen
Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems
Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme, Lösungsmengen und Grafiken den entsprechenden Anzahlen der Lösungen zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen
Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung
Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen
Aufgabe 10 - Lösung interpretieren
Die Lagebeziehung dreier Ebenen wird untersucht. Dabei entsteht durch die Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:
Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:
a) Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.
In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt aus der letzten Spalte ablesen.
b) Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.
Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat
Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden.
Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2).
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