Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum

Info

worum es hier geht

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
• Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Viel Erfolg!

Motivation?

• ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Das Lotfußpunktverfahren

Aufgabe 1⭐: Überblick: Abstand Punkt Ebene

Abstand Punkt Ebene

Bei dieser Aufgabe kannst du einen Überblick über die Bestimmung des Abstandes zwischen einem Punkt und einer Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren bekommen. Es geht auch um wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang.

Fülle die Lücken mit den richtigen Wörtern. Sie werden dir angezeigt, sobald du auf eine Lücke klickst. Wenn du fertig bist, klicke auf den Haken unten rechts.

Die Abbildung kann dir helfen.

Merke: Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E - Lotfußpunktverfahren

Das Vorgehen aus Aufgabe 1 hier nochmal detalliert erklärt:

1. Die Gleichung für die zu $E$ orthogonale Gerade $g$ (also die Lotgerade) durch $P$ aufstellen. Dabei kann man als Stützvektor $\vec{p}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor $\vec{n}$ von $E$ nutzen: $g:\vec{x}=\vec{p}+\vec{t}*\vec{n}$.
2. Den Schnittpunkt $L$ von der Lotgeraden $g$ und der Ebene $E$ bestimmen. $L$ ist der Lotfußpunkt.
3. Den Abstand zwischen den Punkten $P$ und $L$ bestimmen, indem man den Betrag des Vektors $\vec{PL}$ berechnet.

Aufgabe 1: xyz

Arbeitsmethode

Weitere Aufgaben:

• stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
• Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
• Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)

Aufgabe 2: Glaspyramide

a) Im Innenhof des Louvre-Museums in Paris befindet sich eine große Glaspyramide. Die quadratische Grundfläche liegt in einer Ebene, die durch die Ebenengleichung $E: 2x_1+x_2+2x_3=7$ beschrieben werden kann. Die Spitze liegt im Punkt $S(4,5|9|3,5)$. Eine Längeneinheit $LE$ im Koordinatensystem entpricht $4m$.

Welche Höhe hat die Pyramide in $m$?

Text zum Verstecken

Die Höhe der Pyramide kann man bestimmen, indem man den Abstand zwischen der Spitze $S$ und der Ebene $E$ bestimmt.

Zuerst wird die Geradengleichung der Lotgeraden $g$ zu $E$ durch $P$ aufgestellt. Wir nehmen den Ortsvektor von $S$ als Stützvektor und den Normalenvektor von $E$ als Richtungsvektor, also: $g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Wir bestimmen den Schnittpunkt von $g$ mit $E$. Einsetzen von einem allgemeinen Punkt von $g$ in $E$ ergibt $(4,5+2t)+(9+t)+2(3,5+2t)=7$, also $t=-2$. Durch Einsetzen in die Geradengleichung $\begin{pmatrix} 4,5 \\ 9 \\ 3,5 \end{pmatrix}- 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 7 \\ -0,5 \end{pmatrix}$ erhalten wir den Lotfußpunkt $L(0,5|7|-0,5)$. Dies ist gleichtzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche der Glaspyramide.

Der Abstand zwischen S und L beträgt $6LE$ wegen $|\vec{SL}|=\sqrt((4,5-0,5)^2+(9-7)^2+(3,5-(-0,5))^2)=6$. Die Pyramide hat also eine Höhe von $24m$.

Die Pyramide hat eine Höhe von $24m$.

Spitze der invertierten Glaspyramide

b) An einer anderen Stelle im Innenhof des Louvre befindet sich eine invertierte Glaspyramide. Das bedeutet, ihre quadratische Grundfläche liegt in der gleichen Ebene wie die Grundfläche der großen Glaspyramide, ihre Spitze ist aber unterhalb des Innenhofs. Man kann sie in einem Raum unterhalb des Innenhofs besichtigen. Die Länge der Kante von der Spitze bis zu einer Ecken der Grundfläche beträgt jeweils $10m$. Die Grundfläche hat $12m$ lange Diagonalen, die sich im Punkt $(38 | 1 | -35)$ schneiden. In welchem Punkt $S_2$ liegt die Spitze der umgedrehten Pyramide?

Zeichne eine Skizze, in der du alle bekannten Längenangaben und Punkte einträgst. Was musst du wissen, um die Position der Spitze herauszufinden?

Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von $E$ zur Spitze gelangen.

Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.

Die Höhe der Pyramide kann man mit dem Satz des Pythagoras und den Längenangaben für die Diagonale der Grundfläche und die Kanten berechnen:

Es ist $\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt(64)=8$, also beträgt die Höhe der invertierten Pyramide $8m$, was $2LE$ im Koordinatensystem entspricht.

Die Spitze der umgedrehten Pyramide liegt also in einem Punkt, der einen Abstand von $2LE$ zur Pyramidengrundfläche hat. Es gibt genau zwei solche Punkte, die Spitze einer "normalen" Pyramide und die Spitze der invertierten Pyramide.

Damit man die Spitze der invertierten Pyramide erhält, geht man vom Mittelpunkt $M (38 | 1 | -35)$ der Grundfläche aus $2LE$ entlang der Geraden, die orthogonal zu $E$ ist, und zwar in die andere Richtung als in Aufgabenteil a). Das heißt, man geht $2LE$ in die entgegengesetzte Richung des Normalenvekotrs von $E$.

Es ist $|vec{n}|=|\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3, also ist vec{n_0}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Nun können wir bestimmen, in welchem Punkt $S_2$ die Spitze liegt:

Es ist $\begin{pmatrix} 38 \\ 1 \\ -35 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -36 \frac{1}{3} \end{pmatrix}$, also erhält man $S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})$

Die Spitze der invertierten Pyramide liegt im Punkt $S_2=(36 \frac{2}{3}|\frac{1}{3}|-36 \frac{1}{3})$.

Die Hesse´sche Normalenform

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.

Merke: Die Hesse´sche Normalenform

Den Abstand von einem Punkt $P$ zu einer Ebene $E$ kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF).

So bestimmst du mit der HNF den Abstand:

Gegeben ist eine Ebene $E$ durch die Koordinatengleichung $a*x_1+b*x_2+c*x_3=d$ bzw. durch die Normalenform $\vec{n}*\vec{OX}$ mit $\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ und ein Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$.

Stelle nun die HNF der Ebene auf:

Lies dazu aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor $\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ ab.

Bestimme dann die Länge des Normalenvektors $\vec{n}$: $|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Die HNF lautet nun: $\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}$.

Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ in die HNF ein und berechne den Abstand:

$\frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}$

Aufgabe 1:

Über dem Schuldach schwebt eine Drohne an der Stelle $A(3|4|-1)$ und ein Falke schwebt auf der Stelle $B(1|7|4)$. Finde heraus, wer den geringeren Abstand zum Schuldach hat. Das Schuldach lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben: $E: 8x_1-4x_2-x_3=5$.

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\vec{n}= \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Länge des Normalenvektors $\vec{n}$ bestimmen: $|\vec{n}|=\sqrt{8^2-4^2+(-1)^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9$

Die HNF lautet nun: $\frac {|8*x_1-4*x_2-1*x_3-5|}{9}$.

Nun werden die Koordinaten von $A$ eingesetzt: $\frac {|8*3-4*4-1*(-1)-5|}{9}=\frac {|24-26+1-5|}{9}=\frac {|-6|}{9}=\frac {6}{9}=\frac {2}{3}$

Die Koordinaten von $B$ können in die selbe HNF eingesetzt werden: $\frac {|8*(-1)-4*7-1*4-5|}{9}=\frac {|-8-28-4-5|}{9}=\frac {|-45|}{9}=5$.

Damit hat die Drohne einen Abstand von $\frac{2}{3}$ zum Schuldach und der Falke einen Abstand von $5$. Die Drohne ist also näher zum Dach als der Vogel.

Der Abstand der Drohne zum Dach beträgt $\frac{2}{3}$ und der Abstand des Falken zum Dach beträgt $5$. Damit ist der Abstand der Drohne geriner.

Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1-3x_2+6x_3=13$. Bestimme zur Ebene $E$ zwei parallele Ebenen, die von $E$ den Abstand $5$ haben.

Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu $E$ sind

Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie $E$.

Ansatz: $G:2x_1-3x_2+6x_3=h$

$P(p_1|p_2|p_3)$ sei ein Punkt der Ebene $G$.

Es gilt: $Abst(P;E)=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2-3^2+6^2}}=\frac{|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{49}}=\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{7}=\frac{|h-13|}{7}$.

$Abst(P;E)=5$ nach Aufgabenstellung. Daher gilt: $\frac{h-13}{7}=5$ oder $\frac{h-13}{7}=-5$.

Stelle nun beide Gleichungen nach $h$ um. Es folgt: $h_1=48$ und $h_2=-22$.

Dies wird nun in die Ebenengleichung von $G$ eingesetzt:

$G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48$ $G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22$

$G_1$ und $G_2$ haben nun beide den Abstand $5$ zur Ebene $E$.

$G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48$ und $G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22$

haben beide den Abstand $5$ zu $E$.

Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Aufgabe 5 Grafische Darstellung: Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bewege den Punkt $Q$ auf der Geraden $g$, um dir den jeweiligen Abstand zwischen den Punkten $P$ und $Q$ anzeigen zu lassen. Rechts neben der Geraden siehst du, wie groß der Abstand jeweils ist.

Wann ist der Abstand vom Punkt $P$ zur Geraden $g$ am kleinsten?

Wie groß ist der Winkel zwischen $g$ und der Geraden durch $P$ und $Q$? Wie nennt man $Q$ dann?

Versuche es zuerst ohne die Hilfslinie. Überprüfe dich dann selbst.

Link, falls es nicht funktioniert hat: https://www.geogebra.org/material/show/id/cFTUcwnd#

Der Abstand $Abst(P,Q)=d(P,g)$ ist am kleinsten, wenn $vec{PQ}$ orthogonal zu $g$ ist. Dies kannst du sehen, wenn du dir die Hilfslinie anzeigen lässt.

Dann nennt man den Punkt $Q$ den Lotfußpunkt von $P$ auf $g$.

Merke: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g$ ist der Abstand von $P$ und $L$, wobei $L$ der Lotfußpunkt von $P$ auf $g$ ist.

Für die Bestimmung des Abstandes $d(P,g)=d(P,G)$ gibt es zwei verschiedene Verfahren:

1. Verfahren (Hilfsebene): Stelle eine Hilfsebene $H$ (in Koordinatenform) auf, die den Punkt $P$ enthält und orthogonal zu zu $g$ ist. Dafür kannst du als Stützvektor $\vec{p}$ und als Normalenvektor den Richtungsvektor von $g$ nehmen. Bestimme den Schnittpunkt $L$ von $g$ und $H$ durch Einsetzen. Zuletzt berechne den Abstand $d(P,g)=d(P,L)$.

2. Verfahren (Orthogonalität): Bestimme einen allgmeinen Verbindungsvektor von $P$ zu einem beliebigen Geradenpunkt $L$ in Abhängigkeit vom Geradenparameter $r$. Wähle $r$ so, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden $g$ ist.

Berechne nun den Abstand $d(P,g)=d(P,L)$.

Beispiel zu Verfahren (Schritte selbst sortieren in Learning App)

Aufgabe 6: Lichterkette

Für ein Stadtfest soll von der Spitze $P(-2|3|10)$ eines Restaurants eine Lichterkette auf kürzestem Weg zur nahen Uferlinie des Kanals $g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ eine Lichterkette gespannt werden.

Berechne die Mindestlänge der Lichterkette auf Meter gerundet.

Die Lichterkette muss mindestens $5,48 Meter$ lang sein.

1. Stelle die Hilfsebene $H$ in Koordinatenform auf:

$-4x_1+3x_2+2x_3=37, da \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=37$

1. Schnittpunkt von $g$ und $H$ bestimmen:

$-4*(1-4r)+3*(2+3r)+2*(3+2r)=37 \Leftrightarrow -4+16r+6+9r+6+4r=37 \Leftrightarrow 8+29r=37 \Leftrightarrow 29r=29 \Leftrightarrow r=1$

1. $r$ in $g$ einsetzten, um $L$ zu bestimmen:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+1*\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix } $\Rightarrow L(-3|5|5)$

1. Abstand $d(P,L)=d(P,L)$ bestimmen:

$d(P,L)=\sqrt{(-3-(-2))^2+(5-3)^2+(5+10)^2}=\sqrt{30}\approx 5,477$

Die Lichterkette muss mindestens $5,48 Meter$ lang sein.

Aufgabe 7: Dreieck

Es sind die Punkte $B(2|8|1)$ und $C(0,5|3,5|7)$ gegeben, durch sie verläuft die Gerade $g$. Die Strecke $\vec{BC}$ bildet die Grundseite eines Dreiecks mit dem dritten Punkt $A$. $A$ liegt auf der zu $g$ parallelen Geraden $j:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$. a) Stimmt die Behauptung "Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ ändert sich, je nachdem wo $A$ auf der Geraden $h$ liegt"? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Du kannst mit der Maus den Punkt $A$ verschieben.

Überlege dir, wie man den Flächinhalt eines Dreiecks allgemein berechnet. Wie ändert sich die Höhe des Dreiecks, wenn man $A$ verschiebt?

Die Behauptung stimmt nicht. Den Flächeninhalt $F$ eines Dreiecks kann man bekanntermaßen mit der Formel $F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h$ berechnen, wobei $G$ die Länge der Grundseite ist.

In dieser Aufgabe bleibt der Abstand $Abst(A,g)$ immer gleich, da sich $A$ auf einer zu $g$ parallelen Geraden "bewegt". Also ist die Höhe $h$ all dieser Dreiecke gleich. Deshalb ändert sich auch der Flächeninhalt $F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h$ nicht.

b) Bestimme den Flächeninhalt des Dreicks $ABC$.

Überlege dir, welche Abstände du berechnen musst, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.

Wir bestimmen zunächst die Länge $G$ der Grundseite: Es $Abst(B,C)=\sqrt((2-0,5)^2+(8-3,5)^2+(1-7)^2)=\sqrt(58,5)$.

Nun bestimmen wir die Höhe $h$, also den Abstand der parallelen Geraden $g$ und $j$ mithilfe des Verbindungsvektors von $B$ zur Geraden $j$.(Da die Geraden parallel sind, ist es natürlich egal, welche der Geraden und welchen Punkt auf der anderen Geraden man nimmt. Ihr könntet ebenso mit dem anderen Verfahren, also mit einer Hilfsebene arbeiten):

Der Punkt $L_s=(1+t|1+3t|2-4t)$ ist ein allgemeiner Punkt auf $j$. Ein allgemeiner Verbindungsvektor zwischen $B$ und $j$ ist also gegeben durch $\vec{BL_s}=\begin{pmatrix} (1+t)-2 \\ (1+3t)-8 \\ (2-4t)-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}$. Damit $\vec{BL_s}$ orthogonal zum Richtungsvektor von $j$ ist, muss gelten: $\begin{pmatrix} -1+t \\ -7+3t \\ 1-4t \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}=0$ bzw. $(t-1)\cdot 1+(-7+3t)\cdot 3 + (1-4t) \cdot (-4)$, also $t=1$. Für $L=(2|4|-2)$ ist der Verbindungsvektor also am kürzesten. Somit ist $h=Abst(B,j)=Abst(B,L)=\sqrt((2-2)^2+(4-8)^2+(-2-1)^2)=\sqrt(25)=5$.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $F=\frac{1}{2}\cdot G \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt(58,5) \cdot 5\approx 19,12$ Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $19,12$ Flächeneinheiten.

• Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Abstand zweier windschiefer Geraden

• Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
• Janne: Merksatz
• Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!

Gemischte Aufgaben

• auf Anfangsaufgabe zurückkommen
• 3 Aufgaben

Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!