Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>\frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}} | <math>\frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}</math>| Merksatz}} | ||
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| Farbe={{Farbe|orange}} }} | | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
*Ira: Parallele Ebene mit vorgegeben Abstand bestimmen | *Ira: Parallele Ebene mit vorgegeben Abstand bestimmen | ||
{{Box | 1=Aufgabe 2: Abstand paralleler Ebenen | 2= Gegeben ist die Ebene <math>E: 2x_1-3x_2+6x_3=13</math>. Bestimme zur Ebene E zwei parallele Ebenen, die von E den Abstand 5 haben. | |||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, welchen Normalenvektor die Ebenen haben müssen, damit sie parallel zu E sind |2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Die gesuchten Ebenen haben den gleichen Normalenvektor wie E. | |||
Ansatz: <math> G:2x_1-3x_2+6x_3=h </math> | |||
<math> P(p_1|p_2|p_3) </math> sei ein Punkt der Ebene G | |||
Es gilt: Abst(P;E)=<math>\frac {|2p_1-3p_2+6p_3-13|}{\sqrt{2^2-3^2+6^2}}={|2p_1-3p_2+6p_3-5|}{\sqrt{49}}={|2p_1-3p_2+6p_3-5|}{7}=|{h-13}{7}|</math>. | |||
Abst(P;E)=5 nach Aufgabenstellung. Daher gilt: <math>\frac{h-13}{7}=5 </math><math>\frac{h-13}{7}=-5 </math> | |||
Stelle nun beide Gleichungen nach h um. | |||
Es folgt: <math>h_1=48</math> und <math>h_2=-22</math>. | |||
Dies wird nun in die Ebenengleichung von G eingesetzt: | |||
<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math> | |||
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math> | |||
<math>G_1</math> und <math>G_2</math> haben nun beide den Abstand 5 zur Ebene E. | |||
|2=Lösungsweg anzeigen|3=Lösungsweg verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
<math> G_1:2x_1-3x_2+6x_3=48 </math> | |||
<math> G_2:2x_1-3x_2+6x_3=-22</math> | |||
haben beide den Abstand 5 zu E | |||
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |||
| 3=Arbeitsmethode}} | |||
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen | Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen |
Version vom 23. April 2021, 17:19 Uhr
Motivation?
- ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Weitere Aufgaben:
- stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
- Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
- Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
- Ira: Parallele Ebene mit vorgegeben Abstand bestimmen
Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesse´schen Normalenform zu lösen
Abstand eines Punktes von einer Geraden
- Verfahren wiederholen (evtl.)
- Merksatz
- Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Abstand zweier windschiefer Geraden
- Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
- Janne: Merksatz
- Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Gemischte Aufgaben
- auf Anfangsaufgabe zurückkommen
- 3 Aufgaben
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!