Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Abstände von Objekten im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
Aus ZUM Projektwiki
< Digitale Werkzeuge in der Schule | Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 42: | Zeile 42: | ||
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest. | Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest. | ||
{{Box | Merke: Die Hesse´sche Normalenform| | |||
Den Abstand von einem Punkt E zu einer Ebene E kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF). | |||
{{Box | Merke: Die Hesse´sche Normalenform| Den Abstand von einem Punkt E zu einer Ebene E kann mit einer Formel berechnet werden, der sogenannten Hesse´schen Normalenform (kurz:HNF). | |||
Verfahren zur Bestimmung der HNF: | Verfahren zur Bestimmung der HNF: | ||
Gegeben ist eine Ebene E durch Koordinatengleichung <math>a*x_1+b*x_2+c*x_3=d </math> bzw. durch die Normalenform <math>\vec{n}*\vec{OX}</math> mit <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>. | Gegeben ist eine Ebene E durch die Koordinatengleichung <math>a*x_1+b*x_2+c*x_3=d </math> bzw. durch die Normalenform <math>\vec{n}*\vec{OX}</math> mit <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> und ein Punkt <math>P(p_1|p_2|p_3)</math>. | ||
Die HNF der Ebene aufstellen: | |||
Lies aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor <math>\vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} </math> ab. | |||
Bestimme dann die Länge des Normalenvektors <math>\vec{n} </math>: <math>|\vec{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} </math> | |||
Die HNF lautet nun: <math>\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{|\vec{n}|}=\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>. | |||
Als letztes setzte die Koordinaten des Punktes <math>P(p_1|p_2|p_3)</math> in die HNF ein und berechne den Abstand: | |||
<math>\frac {|a*p_1+b*p_2+c*p_3-d|}{|\vec{n}|}=\frac {|a*x_1+b*x_2+c*x_3-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>. | Merksatz}} | |||
Merkbox mit Beispiel | Merkbox mit Beispiel |
Version vom 23. April 2021, 15:24 Uhr
Motivation?
- ganz am Anfang, zur Motivation: 3 Situationen, zuordnen lassen, welche Punkt-Ebene, Punkt-Gerade usw. ist (mit Learning App), mit Bild
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Das Lotfußpunktverfahren
Weitere Aufgaben:
- stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben)
- Janne: man hat Ebene und bestimmten Abstand. Jetzt Punkt bestimmen, der diesen Abstand hat (wie Pyramidenaufgabe)
- Janne: Modellierungsaufgabe (zb aus Diagnosetest oder woanders her)
Die Hesse´sche Normalenform
Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen, gibt es neben dem Lotverfahren auch die Möglichkeit, dies mit der Hesse´schen Normalenform zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, wie du die Normalenform aufstellst und sie zur Abstandsberechnung anwendest.
Merkbox mit Beispiel
- Ira: stumpf das Verfahren anwenden. Lösungsweg anzeigen lassen und Tipps (Aufgabe zum Wiederholen/Vertiefen/Üben) ggf. Verfahren im Sachkontext anwenden lassen
- Ira: Parallele Ebene mit vorgegeben Abstand bestimmen
- Falls du noch nicht genug hast, kannst du auch versuchen, die Aufgaben vom Lotfußpunktverfahren mit der Hesseschén Normalform lösen
Abstand eines Punktes von einer Geraden
- Verfahren wiederholen (evtl.)
- Merksatz
- Aufgaben 2-3 (Idee: auch mal was begründen/ vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Abstand zweier windschiefer Geraden
- Janne: Verfahen in richtige Reihenfolge bringen
- Janne: Merksatz
- Aufgaben 2 (Idee: auch mal was begründen/vermuten/ argumentieren lassen)
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!
Gemischte Aufgaben
- auf Anfangsaufgabe zurückkommen
- 3 Aufgaben
Wenn es geht, GeoGebra einbauen!!!