Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Stochastik: Unterschied zwischen den Versionen

b) Die drei Bilder zeigen unterschiedliche Säulendiagramme.

Säulendiagramm 1:

Säulendiagramm 2:

Säulendiagramm 3:

Aufgabe 2: Lieblingssportart

Vervollständige die Tabelle:

Lieblingssportart	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit in Prozent
Fußball	$23$
Schwimmen		$15{,}00$ %
Reiten
Basketball		$20{,}00$ %
Leichtathletik		$10{,}00$ %
Gesamt	$60$

Aufgabe 3: TV Sender

Betrachte die durchgeführte Umfrage nach den beliebtesten TV-Sendern.

Trage die Ergebnisse aus den einzelnen Teilaufgaben in das richtige Feld in der Tabelle ein. Für eine richtige Lösung der Anteile, solltest du den Bruch in folgender Form a/b eintippen und darfst ihn nicht kürzen.

a) In welchen Tabellenfeldern fehlen die Begriffe „Relative“ und „Absolute"?
b) Wie viele Personen wurden insgesamt befragt?
c) Gib die Anteile und Prozentwerte der relativen Häufigkeit für jeden TV-Sender an. Runde dabei auf zwei Nachkommastellen.

TV-Sender	Anzahl der Personen	Anteil
	Häufigkeit	Häufigkeit
ARD	$10$
RTL	$35$
ProSieben	$42$
ZDF	$14$
KabelEins	$27$
Eurosport	$2$
Gesamt

Anteile

Prozentzahl berechnen

Aufgabe 4: Hotelbewertung

Nach einem Hotelurlaub vergibt jede Person der $40$ -köpfigen Reisegruppe zur Bewertung eine Note für das Hotel. Es können die Noten $1$ bis $6$ vergeben werden. Die Note „sehr gut“ vergeben $\tfrac{1}{8}$ der Reisegruppe. Die anderen Noten sind wie folgt verteilt:
„gut“ $\tfrac{18}{40}$
„befriedigend“ $\tfrac{1}{4}$
„ausreichend“ $\tfrac{3}{20}$
„mangelhaft“ $\tfrac{1}{40}$
Die Note „ungenügend“ vergibt keiner der Reisenden.
a) In der Tabelle fehlen die Begriffe. Ordne sie richtig zu.

		Anteil

$1$ = "sehr gut"
$2$ = "gut"
$3$ = "befriedigend"
$4$ = "ausreichend"
$5$ = "mangelhaft"
$6$ = "ungenügend"

Absolute HäufigkeitGesamtRelative HäufigkeitNoteAnzahl der PersonenProzent

Hamburg-090612-0163-DSC 8260 retouched.jpg

b) Trage die in der Aufgabe genannten Anteile je Note in die Tabelle ein. Erweitere die Brüche dabei auf den Nenner $40$ . Berechne anschließend die Anzahl der Personen je Note und die dazu passende Prozentzahl. Trage auch diese Werte in die Tabelle ein.

Note	Anzahl der Personen	Anteil
	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
$1$ = "sehr gut"
$2$ = "gut"
$3$ = "befriedigend"
$4$ = "ausreichend"
$5$ = "mangelhaft"
$6$ = "ungenügend"
Gesamt

Prozentzahl berechnen

c) Zeichne ein Säulendiagramm, welches die absoluten Werte der Umfrage darstellt.

Tipp Gesamtzahl Fahrzeuge

Aufgabe 5: Verkehrszählung

Julian und Max haben eine Verkehrszählung vor ihrer Haustür gemacht. Leider sind die Zettel mit den Strichlisten verloren gegangen. Max weiß aber noch, dass sie $8$ Busse gezählt haben.

PKW	LKW	Bus	Motorrad	Fahrrad
$45{,}00$ %	$15{,}00$ %	$10{,}00$ %	$5{,}00$ %	$25{,}00$ %

Wie viele Fahrzeuge haben Max und Julian insgesamt gezählt? Berechne hierzu die fehlenden Fahrzeuganzahlen und trage sie in die richtigen Felder der Tabelle ein.

Max und Julian haben insgesamt Fahrzeuge gezählt.

Tipp Fahrzeuganzahl

Aus dem Aufgabentext weißt du, dass $8$ Busse $10$ % aller Fahrzeuge sind. Für die anderen Fahrzeuganzahlen nutzt du den Dreisatz:

$10$ % $= 8$ F

$1$ % $= 8$ F $\div 10$ %

x

%

= 8

F

\div 10

%

\cdot x

%

Max und Julian haben insgesamt

80

Fahrzeuge gezählt.

Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch mit zufälligem Ausgang. Zunächst schaust du, wie viele mögliche Ergebnisse es zu dem gefragten Ereignis gibt. Außerdem ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse wichtig.

Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann aus $\tfrac{\text{Anzahl der Ergebnisse zu gefragten Ereignis}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$ .

Anders als bei der relativen Häufigkeit, können die Ergebnisse an sich mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit auftreten.

Beispiel zu den Zufallsexperimenten

Berechnet man die Wahrscheinlichkeit davon, dass beim Drehen dieses Glücksrad auf "rot" stehen bleibt, so betrachtet man den Anteil der roten Fläche an der gesamten Fläche des Glückrades.

Diese beträgt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 75 %} . Das heißt, die Wahrschienlichkeit, dass das Glücksrad auf rot stehen bleibt, liegt bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 75 %} oder

\tfrac{3}{4}

.

Baumdiagramme

Zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten hilft es meist, ein Baumdiagramm zu zeichnen. Hierbei wird für jedes Ereignis ein Pfad gezeichnet. Entlang der Pfade stehen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 6: Klassendienste

In einer Klasse sind 14 Jungen und 13 Mädchen. Es werden Beauftragte für verschiedene Klassendienste gelost.

a) Für den Blumendienst wird eine Person gelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Junge ist? Wenn du hier die Wahrscheinlichkeit in Prozent berechnest, gib die Prozentzahl mit zwei Nachkommastellen an.

Zeichnet man ein Baumdiagramm, so gibt es zwei Ereignisse:

1. Ein Junge wird gelost.

2. Ein Mädchen wird gelost.

Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus den relativen Häufigkeiten, also der tatsächlichen Anzahl an Jungen und Mädchen geteilt durch die Anzahl der Schülerinnen und Schüler in der Klasse. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge den Dienst bekommt, liegt also bei

\tfrac{14}{27}

bzw. bei ungefähr Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 51{,}85 %} .

b) Auch der Tafeldienst wird gelost, jedoch hat die Lehrperson nun auch einen Zettel mit ihrem Namen hinzugefügt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Tafeldienst machen muss?

Tipps

Hilfe, falls du die Farben nicht unterscheiden kannst.

Wenn man ein Baumdiagramm zeichnet, so müssen drei Ereignisse dargestellt werden:

1. Ein Junge wird gelost.

2. Ein Mädchen wird gelost.

3. Die Lehrperson wird gelost.

Auch hier ergeben sich die Wahrscheinlichen aus den relativen Häufigkeiten. Hierbei muss allerdings darauf geachtet werden, dass nicht nur die Anzahl der Schülerinnen und Schüler als gesamte Menge betrachtet wird, sondern auch die Lehrperson hinzu addiert wird. Es stehen also insgesamt 28 Personen zur Auswahl. Das Baumdiagramm sieht so aus:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lehrperson selbst die Tafel putzen muss, liegt bei

\tfrac{1}{28}

bzw. bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 3{,}57 %} .

Komplementärregel

Hat ein Experiment genau zwei Ereignisse, so spricht man von Ereignis $E$ und Gegenereignis $\bar E$ . Die Wahrscheinlichkeiten der beiden ergeben in der Summe $1$ :

$P(E)+P(\bar E)=1$ .

Aufgabe 7: Schulfest

Bei eurem Schulfest gibt es eine Tombola. Es geht darum, aus einem Glas eine Kugel zu ziehen. Bevor du ohne Hinschauen ziehen darfst, wird dir einmal der Inhalt des Glases gezeigt. Du zählst die Kugeln. Außerdem steht ein Schild neben der Urne (Abbildung 2). Du kannst auf die Bilder klicken, um sie in vergrößerter Form zu sehen.

Abbildung 1

Abbildung 2

Es sind

20

blaue,

12

rote,

9

gelbe und

3

grüne Kugeln.

Nun ziehst du ohne hinzuschauen eine Kugel.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Stift gewinnst (gelbe Kugel)? Gib die Lösung in Prozent an. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

b) Oben auf dem Plakat steht: "Hier ist Gewinnen wahrscheinlicher, als Verlieren!". Stimmt das? Begründe.

Hilfe, falls du die Farben nicht unterscheiden kannst.

Auch hier kann das Baumdiagramm auf zwei Arten gezeichnet werden:

Man kann ein Baumdiagramm mit vier Ereignissen zeichnen:

1. Die Kugel ist grün.

2. Die Kugel ist gelb.

3. Die Kugel ist rot.

4. Die Kugel ist blau.

Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich dann aus der relativen Häufigkeit der Kugeln. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Optional kann eines mit zwei Ereignissen gezeichnet werden:

Die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen ergibt sich aus der Komplementärregel. Die relative Häufigkeit der blauen Kugeln, mit denen man verliert, liegt bei $\tfrac{20}{44}=\tfrac{5}{11}$ . Die Komplementärregel ergibt dann für das Gewinnen: $1-\tfrac{5}{11}=\tfrac{6}{11}$ .

Das Baumdiagramm sieht dann so aus:

Nun rechnet man die Brüche in Prozent um:

Wahrscheinlichkeit zu verlieren: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrac{5}{11} \approx 0{,}4545 = 45{,}45 %} .

Wahrscheinlichkeit zu gewinnen: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100 %-45{,}45%=54{,}55%} .

Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen liegt bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 54{,}55 %} , die zu verlieren bei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 45{,}45 %} . Die Aussage stimmt also.

Pfadmultiplikationsregel

Bei der Pfadmultiplikationsregel werden die Wahrscheinlichkeiten der aufeinanderfolgenden Ereignisse miteinander multipliziert.

Die Wahrscheinlichkeit von (Ereignis A $\mid$ Ereignis B)* ist dann: $P(\text{Ereignis A} | \text{Ereignis B})= \text{Wahrscheinlichkeit A} \cdot \text{Wahrscheinlichkeit B}$

Diese Schreibweise heißt, dass das Ereignis B bereits bekannt ist. Man möchte nun schauen, wie wahrscheinlich es ist, dass davor bereits Ereignis A eingetreten ist. Man sagt dann: "Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A unter der Voraussetzung, dass Ereignis B eingetreten ist."

Aufgabe 8: Münsteraner Send

Auf dem Münsteraner Send gibt es ein Glücksrad. Es sieht wie folgt aus:

Man kann Folgendes gewinnen:

a) Du hast einmal gedreht und landest auf einem grünen Feld. Du darfst also noch einmal drehen. Beim zweiten Drehen landest du auf dem roten Feld. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Fälle direkt hintereinander eintreten?

Zunächst zeichnet man ein Baumdiagramm. Wichtig ist, dass es mehrere Ebenen hat:

Hier wurden die Brüche bereits gekürzt.

Mit der Pfadmultiplikationsregel gilt nun:

$P(\text{grün}|\text{rot})=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{20}=\tfrac{1}{80}$

Die Wahrscheinlichkeit erst auf einem grünen Feld und dann direkt auf dem roten Feld zu landen liegt bei

\tfrac{1}{80}

.

b) Ist der Fall aus a wahrscheinlicher als der, beim ersten Mal Drehen auf einem roten Feld zu landen?

Ein vereinfachtes Baumdiagramm hat zwei Ereignisse:

1. Das Feld ist rot.

2. Das Feld ist nicht rot.

Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Mal zu gewinnen liegt bei $\tfrac{1}{20}$ .

Es gilt $\tfrac{1}{20} > \tfrac{1}{80}$ .

Es ist also wahrscheinlicher, direkt beim ersten Mal zu gewinnen.

Laplace-Experimente

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experiment.

Bei $n$ Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit in einem Laplace-Experiment für jedes Ergebnis $\tfrac{1}{n}$ .

Pfadadditionsregel

Die Wahrscheinlichkeit von mehreren Ergebnissen ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeit von jedem einzelnen Ergebnis.

Aufgabe 9: Kartenspiel

Bei einem Skatkartenspiel gibt es $12$ Bildkarten. Es gibt $4$ Buben, $4$ Damen und $4$ Könige. Karo und Herz werden auch „rote Karten“ genannt und Pik und Kreuz auch „schwarze Karten“. Berechne nun die Wahrscheinlichkeit, mit der du die angegebene Karte aus den $32$ Spielkarten ziehst.

a) Dame

b) Kreuz-Karte

Es gibt insgesamt

8

Kreuz-Karten.

c) Schwarze Karte

Es gibt insgesamt

16

schwarze Karten.

a) Die Gesamtmenge der Karten beträgt $32$ . Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Karte beträgt also $\tfrac{1}{32}$ (Laplace).

Für das Ereignis eine Dame zu ziehen gibt es insgesamt $4$ Karten. Also $4$ mögliche Ergebnisse, dessen Wahrscheinlichkeiten nach der Summenregel addiert werden können.

P(\text{Dame wird gezogen}) = \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{32} + \tfrac{1}{32} = 4 \cdot \tfrac{1}{32} = \tfrac{4}{32} = \tfrac{1}{8}

b) Es gibt insgesamt $8$ Kreuz-Karten.

Also gilt mit der Summenregel:

P(\text{Kreuz-Karte wird gezogen})=\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}+\tfrac{1}{32}=8\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{8}{32}=\tfrac{1}{4}

Lösung c)

c) Es gibt $8$ Pik und $8$ Kreuz-Karten, also insgesamt $16$ schwarze Karten.

Also gilt mit der Summenregel:

P(\text{Schwarze Karte wird gezogen})=16\cdot\tfrac{1}{32}=\tfrac{16}{32}=\tfrac{1}{2}

Aufgabe 10: Scrabble

Bei einem Spieleabend wird Scrabble gespielt. Sieh dir die beiden bereits gelegten Wörter an. Die dafür verwendeten Steine werden in einen leeren Sack gelegt. Gehe davon aus, dass die Spielsteine alle dieselbe Größe und Beschaffenheit haben.

Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit folgende Steine zu ziehen?

a) Es wird ein D gezogen.

Allgemeiner Tipp

Es gibt insgesamt

13

Spielsteine.

b) Es wird ein N gezogen.

c) Es wird ein O gezogen.

d) Es wird ein Vokal gezogen.

a) Insgesamt gibt es $13$ Spielsteine. Aufgrund der übereinstimmenden Größe und Beschaffenheit der Steine, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Spielstein gleich und beträgt $\tfrac{1}{13}$ . Aus diesem Grund handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Laplace Experiment.

Da unter den Steinen nur einmal der Buchstabe D vorhanden ist gilt:

P(\text{D wird gezogen})=\tfrac{1}{13}

.

b) Es gibt zwei Spielsteine mit dem Buchstaben N, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{13}$ gezogen werden.

Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also:

P(\text{N wird gezogen})=\tfrac{1}{13}+\tfrac{1}{13}=\tfrac{2}{13}

Lösung c)

c) Es gibt insgesamt $3$ Spielsteine mit dem Buchstaben O, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{13}$ gezogen werden. Wegen der Summenregel für Laplace-Experimente können die Wahrscheinlichkeiten der drei möglichen Ergebnisse bzw. Spielsteine für das Ereignis addiert werden.

Es gilt also:

P(\text{O wird gezogen})=\tfrac{1}{13}+\tfrac{1}{13}+\tfrac{1}{13}= \tfrac{3}{13}

Lösung d)

d) Insgesamt gibt es einen Spielstein mit A und drei mit einem O. Die restlichen Vokale sind nicht vorhanden.

Somit folgt mit der Summenregel:

P(\text{Vokal wird gezogen})=\tfrac{1}{13}+\tfrac{3}{13}=\tfrac{4}{13}

Aufgabe 11: Würfeln

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass…

a) …ein Pasch (Zweimal die Gleiche Zahl, z.B. {1,1}) gewürfelt wird?

b) …die Differenz der Augenzahlen gleich drei ist?

Überlege dir, welche Zahlenkombinationen zu einer Differenz von

3

führen. Denke insbesondere daran, dass die einzelnen Kombinationen jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen gewürfelt werden können.

c) …die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ist?

Primzahl: ganze Zahl, die größer als $1$ und nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

Tipp 2

Die Primzahlen, die mit zwei Würfeln erreicht werden können, sind die

2, 3, 5, 7, 11

. Überlege dir jetzt, mit welchen der möglichen Zahlenkombinationen von zwei Würfeln man mithilfe der Addition auf diese Primzahlen kommt.

Mit jeder Zahl kann ein Pasch geworfen werden. Es gibt demnach insgesamt sechs verschiedene Pasche. Da die jeweiligen Zahlen identisch sind, ist die Reihenfolge nicht zu betrachten.

Das Ereignis ist also: $E={{1,1};{2,2};{3,3};{4,4};{5,5};{6,6}}$

Es gibt somit insgesamt $6$ verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$ , da es mit zwei Würfeln insgesamt $36$ verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel:

P(E)=\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}= 6 \cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{6}{36}=\tfrac{1}{6}

Es gibt $3$ unterschiedliche Kombinationen von Zahlen, deren Differenz $3$ beträgt. Die 4 und 1, die 5 und 2 & die 6 und 3. Die einzelnen Kombinationen können jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen geworfen werden.

Das Ereignis ist also: $E = { {1,4}; {4,1}; {2,5}; {5,2}; {3,6}; {6,3} }$

Es gibt somit insgesamt $6$ verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$ , da es mit zwei Würfeln insgesamt $36$ verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel:

P(E)=\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{36}=6\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{6}{36}= \tfrac{1}{6}

Lösung c)

Die Primzahlen, die mit zwei Würfeln erreicht werden können, sind die $2, 3, 5, 7, 11$ . Es gibt $8$ unterschiedliche Kombinationen von Zahlen, deren Summe eine dieser Primzahlen ist. Die 1+1, die 1+2, die 1+4, die 1+6, die 2+3, die 2+5, die 3+4 und die 5+6. Die einzelnen Kombinationen können jeweils in zwei unterschiedlichen Reihenfolgen geworfen werden, außer das 1er-Pasch.

Das Ereignis ist also: $E = { {1,1}; {1,2}; {2,1}; {1,4}; {4,1}; {1,6}; {6,1}; {2,3}; {3,2}; {2,5}; {5,2}; {3,4}; {4,3}; {5,6}; {6,5} }$

Es gibt somit insgesamt $15$ verschiedene Ergebnisse für das Ereignis. Die einzelnen Ergebnisse haben alle eine Wahrscheinlichkeit von $\tfrac{1}{36}$ , da es mit zwei Würfeln insgesamt $36$ verschiedene Zahlenkombinationen gibt.

Also folgt mit der Summenregel:

P(E)=15\cdot\tfrac{1}{36}=\tfrac{15}{36}

Aufgabe 12: Mensch ärgere dich nicht

Markus und Julia spielen „Mensch ärgere dich nicht“. Sieh dir die aktuelle Spielsituation an.

Die rote Spielfigur gehört Markus und die grüne Julia.

Julia sagt: „Deine Chance in dein Haus zu kommen ist beim nächsten Wurf viel größer als meine.“

a) Hat Julia recht mit ihrer Behauptung? Begründe deine Antwort.

b) Ändert sich etwas an der Behauptung, wenn beide einmal an der Reihe waren, aber nicht ins Haus gesetzt werden konnte?

a) Markus benötigt eine 1, 2 oder 3, um in das Haus zu kommen.

Da der Würfel sechs Zahlen aufweist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl $\tfrac{1}{6}$ und somit gilt mit der Summenregel, da Markus drei der sechs Zahlen würfeln kann:

$P(\text{Markus würfelt eine der drei Zahlen})=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}$

Julia kommt hingegen nur mit einer 5 oder 6 in ihr Haus.

Da Julia nur zwei der sechs Zahlen würfeln kann, gilt:

$P(\text{Julia würfelt eine der zwei Zahlen})=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Markus mit dem nächsten Zug in sein Haus kommt größer als die von Julia. Aus diesem Grund hat Julia mit ihrer Behauptung recht.