Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt.
Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen
Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an:
.
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle auf eine Seite der Gleichung.
Jetzt können wir wie gewohnt nach auflösen.
Probe:
Wir erhalten also die Lösungsmenge
.
Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.
a)
Probe:
b)
Probe:
c)
Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt
ist.
Ein Produkt ist dann , wenn einer der Faktoren ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:
Probe:
d)
Löse zuerst die Klammer auf.
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer:
. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
e)
Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.
Probe:
f)
Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \begin{align} & & frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\ \Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\ \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\ \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\ \Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\ \Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\ \Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\ \Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\ & & \mathbb{L}=\{\-frac{2}{11}\} \end{align}}
Probe: