Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box | 1=<span style="color: orange">Aufgabe 1 - Extrema zuordnen</span>|2= | {{Box | 1=<span style="color: orange">Aufgabe 1 - Extrema zuordnen</span>|2= | ||
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu. | Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu. | ||
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app= | {{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}} | ||
| 3=Arbeitsmethode}} | |Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}} | ||
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'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen. | '''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen. | ||
| Merksatz}} | |Farbe= #DF0101| Merksatz}} | ||
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|Tiefpunkt | |Tiefpunkt | ||
|<math> f'(x_E) = 0</math> | |<math> f'(x_E) = 0</math> | ||
|<math> f | |<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math> | ||
|- | |- | ||
|Sattelpunkt | |Sattelpunkt | ||
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# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen. | # Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen. | ||
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>. | ::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>. | ||
| | |Farbe= | Üben}} | ||
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Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe. | Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe. | ||
: a) <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math> | : '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | {{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | ||
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|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | ||
: b) <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math> | : '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | {{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | ||
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|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | ||
: c) <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math> | : '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math> | ||
<center><ggb_applet id=" | <center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center> | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | {{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | ||
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|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
| 3=Arbeitsmethode}} | |Farbe= #0000FF| 3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box |1= <span style="color: green">Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe</span>| 2= | {{Box |1= <span style="color: green">Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe</span>| 2= | ||
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar. | Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar. | ||
:a) Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf? | :'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf? | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
;'''Antwortsatz''' | |||
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen. | |||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!''' | :<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!''' | ||
|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}} | |||
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
:b) Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet. | :'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}} | ||
:c) Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben. | :'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben. | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | |2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}} | ||
| 3=Arbeitsmethode | |Farbe= #008000 |3=Arbeitsmethode}} | ||
Version vom 27. April 2020, 13:09 Uhr
Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
Art der Extremstelle | Notwendiges Kriterium | Hinreichendes Kriterium |
---|---|---|
Hochpunkt | und < | |
Tiefpunkt | und > | |
Sattelpunkt | und |
In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der 1. Aufgabe werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 2 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.