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Allgemeine Hinweise zur Bearbeitung

Lernpfad: von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad bietet Dir einen Einstieg in das Thema Differenzialrechnung. Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzeichnet sind:

- Schwierigkeitsstufe I mit gelben Titel: leichte Verständnis- und Rechenaufgaben zum Einstieg

- Schwierigkeitsstufe II mit blauen Titel: normale, mittelschwere Aufgaben zum üben und vertiefen.

- Schwierigkeitsstufe III mit grünen Titel: herausfordernde Aufgaben

Viel Erfolg!

Grundlegende Begriffe und Formeln

Grundbegriffe: durchschnittliche Änderungsrate und Sekante

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f(x)$ bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall $[\tilde{x},x]$und wird mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet:

$\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}$

Anschaulich ist dies die Steigung der Sekante der Funktion zwischen den Punkten $\tilde{x}$ und $x$, Du kennst diese Formel bereits als Berechnung der Steigung einer linearen Funktion. Die Sekante (der Begriff bedeutet aus dem Lateinischen übersetzt die Schneidende) ist eine Gerade, die durch mindestens 2 Punkte eines Funktionsgraphen verläüft, ihn also an mind. 2 Punkten schneidet.

Ein Beispiel:

Das Verkehrszeichen gibt an, dass der durchschnittlicher Höhenunterschied (also die durchschnittliche Änderungsrate) auf dieser Strecke 10 Höhenmeter pro 100m Wegstrecke beträgt. Die echte Strasse selbst verläuft natürlich nicht als exakt gerade Linie mit einer konstanten Steigung.

Grundbegriffe: lokale Änderungsrate und Tangente

Um den Unterschied zwischen lokaler und durchschnittlicher Änderungsrate zu verstehen, denke über folgendes Beispiel nach:

Ein Autofahrer fährt durch eine Baustelle mit einer Geschwindikeitsbegrenzung von 60km/h. Er merkt sich den Zeitpunkt und Kilometerstand bei der Einfahrt und beim Verlassen der Baustelle und rechnet nach, dass seine durchschnittliche Geschwindigkeit unter 60km/h war. Trotzdem wird er in der Baustelle zum Zeitpunkt x von der mobilen Geschwindigkeitsüberwachnung der Polizei fotografiert. Diese erfasst nämlich die Geschwindigket (also die Änderung von $f(x)$)an einem bestimmten Punkt, also lokal oder momentan. Diese momentane Geschwindigkeit kann sich, wie in diesem Fall, deutlich von der durchschnittlichen unterscheiden.

Um die lokale Änderungsrate zu bestimmen, verkleinern wir den Abstand zwischen $\tilde{x}$und $x$ , wählen also $\tilde{x}$ immer näher bei $x$ (dafür schreibst Du $\tilde{x}\longrightarrow x$). Dabei geht die Sekante in die Tangente über, eine Gerade also, die den Funktionsgraphen in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist genau die (lokale) Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt.

Die lokale Änderungsrate nennt man Differenzialquotient oder Ableitung $f'(x)$und berechnet diese als Grenzwert (Du schreibst dafür $\lim$) der Sekantensteigungen:

$f'(x)=\lim_{\tilde{x} \to \ x}\frac{f(\tilde{x})-f(x)}{\tilde{x}-x}$

Setzt man $h$ für den Abstand von $\tilde{x}$ zu $x$ so gilt die Formel:

$f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Aufgaben der Schwierigkeitsstufe I

1. Aufgabe. Überprüfe ob Du alles verstanden hast

a) Ordne die Begriffe und Abbildungen richtig zu, in dem Du die auf das rechte oder linke Feld ziehst.

b) Erstelle in Deinem Heft ein MindMap zu dem Thema des Lernpfades. Nutze dafür die Begriffe und Darstellungen aus dem Teil a) dieser Aufgabe

2. Aufgabe: Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate auf dem vorgegebenen Intervall

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und evtl. einen Taschenrechner.

Für die Berechnung der durchschnittlichen Änderungsrate schau Dir noch mal den Infoblock an und nutze die angegebene Formel. Für $\tilde{x}$ und $x$ setze die Intervallgrenzen ein. Z.b. 2 und 3 für das Intervall [2;3]

a) Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2$ auf dem Intervall [0; 2]

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 2. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{f(2) - f(0)}{2-0} = \frac{4-0}{2-0} = 2$

b) Gegeben ist die Funktion $h(x) = \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{3}{2}$ auf dem Intervall [1; 2]

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt $\tfrac{3}{2}$. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{h(x) - h(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{h(2) - h(1)}{2-1} = \frac{\frac{1}{2}-(-1)}{2-1} = \frac{3}{2}$

c) Gegeben ist die Funktion $g(x) = x^3 - 0,2x - 3$ auf dem Intervall [-2; -1]

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 6,8. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{g(-1) - g(-2)}{-1-(-2)} = \frac{-3,8-(-10,6)}{-1-(-2)} = 6,8$

d) Gegeben ist die Funktion $k(x) = \tfrac{1}{4}x^2$ auf dem Intervall [1,99; 2,01] Überlege, was hier aus dem Differenzenquotient wird?

Die durchschnittliche Änderung auf dem Intervall beträgt 1. Wie komme ich zu meiner Lösung? Setze die Werte wie folgt in die Formel ein: $\frac{k(x) - k(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{k(2,01) - k(1,99)}{2,01-1,99} = \frac{1,010025-0,990025}{2,01-1,99} = 0,02:0,02 = 1$. Da das Intervall sehr klein ist, nähert sich der Differenzenquotient dem Differentialquotient.

3. Aufgabe: von durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

Du benötigst für diese Aufgabe Papier und Stifte, um Notizen zu machen.

In dem Applet ist der Graph der Funktion f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.

• Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.
• Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2; 1,1 und 0,5 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B.
• Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?

um die Vermutung zu überprüfen, schiebe den Regler so weit, dass Δx=0 ist

• Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch. Was stellst Du fest? Ist es überraschend?

'Die Steigung der Tangenten beider Funktionen beträgt im Punkt A m=0,6. Die notierten Werte der durchschnittlichen Änderungsraten nähern sich dieser Zahl an, wenn das Intervall Δx sich der Zahl 0 nähert. Das entspricht genau der Definition der Tangente als Grenzwert der Sekantensteigungen. Der gleiche Wert für die zweite Funktion sollte auch nicht überraschen, denn diese ist die gleiche Funktion, lediglich um 1 nach unten verschoben.

Aufgaben der Schwierigkeitsstufe II

4. Aufgabe: Bestimme zeichnerisch und rechnerisch die lokale Änderungsrate im vorgegebenen Punkt

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Gegeben sind die Funktionen:

• $f(x)=\tfrac{1}{2}x^2+1$ und der Punkt (2; f(2))

• $h(x)=x^3-1$ und der Punkt (1; h(1))

a) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) und h(x) sowie nach Augenmaß die Tangenten in den angegebenen Punkten. Bestimme die Steigung der Funktion im gegebenen Punkt durch Ablesen der Tangentensteigung.

Erinnerst Du dich, dass die Steigung der Funktion in einem Punkt mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt übereinstimmt? Für das Ablesen der Tangentensteigung suche Dir am besten ein Intervall zwischen 2 benachbarten ganzen Zahlen, deren Funktionswerte gut abzulesen sind. Steigungsdreieck ist hier das Stichwort.

Die Tangente der Funktion f(x) hat an der vorgegebenen Stelle Steigung m=2. Die Tangente der Funktion h(x) hat an der Stelle 1 die Steigung m=3 Wie komme ich zu meiner Lösung? Beide Steigungen sind am einfachsten im Intervall [1; 2] abzulesen

b) Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate der jeweiligen Funktion im vorgegebenen Punkt. Vergleiche Deine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus Teil a).

Die lokale Änderungsrate im vorgegebenem Punkt berechnest Du am besten mit dieser Formel: $f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Hier entspricht die Steigung dem Wert der Ableitung an der vorgegebenen Stelle.

Für die Funktion f(x) rechnest Du also:

$m= \lim_{h \to \ 0}\frac{\tfrac{1}{2}(2+h)^2+1-\tfrac{1}{2}\times2^2-1}{h} = \lim_{h \to \ 0}\frac{2 + 2h + 0,5h^2-2}{h}= \lim_{h \to \ 0}(2+0,5h) = 2$ , wenn Du h=0 einsetzt.

Für die Funktion h(x) rechnest Du:

$m=\lim_{h \to \ 0} \frac{(1+h)^3-1-1^3+1}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{1+3h+3h^2+h^3-1}{h} = \lim_{h \to \ 0} (3+ 3h + h^2) = 3$

Wenn Du sauber gezeichnet und abgelesen hast, sind die Antworten in den Teilen a) und b) gleich.

5. Aufgabe: Anwendung in der Physik

Du benötigst für die Aufgabe Papier, Stifte und einen Taschenrechner.

Nagasaki, 1945 - bevor and after

Die Verbreitung der Schockwelle einer atomaren Explosion kann man annähernd mit folgender Funktion beschreiben:

$R(t)=1,6t^2 + 3,2t$

Dabei steht die Variable t für die Zeit nach der Explosion, gemessen in Sekunden, und die abhängige Variable R für den Radius der Verbreitung gemessen in km.

a) Berechne die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit der atomaren Explosion in folgenden Zeitabschnitten:

• ersten 3 Sekunden nach der Explosion
• ersten 10 Sekunden nach der Explosion
• im Zeitintervall zwischen der 7. und der 10. Sekunde

Die durchschnittliche Steigung der Funktion in einem Intervall wird als Differenzenquotient $\frac{\bigtriangleup R(t)}{\bigtriangleup t}$ berechnet, also hier in diesem Fall als $\frac{Strecke}{Zeit}$

Im Teil a) wird nach dem Differenzenquotient gefragt, denn Du mit der Formel : $\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}}$ berechnest. Für die ersten 3 Sekunden heißt im Intervall [0; 3],somit: $\oslash V= \frac{R(3)-R(0)}{3-0} = \frac{1,6\times3^2 + 3,2\times3-0}{3} = \frac{24}{3} = 8$km/s

Die Lösung für die ersten 10 Sekunden lautet : 19,2 km/s. Im Zeitintervall zwischen der 7. und der 10. Sekunde beträgt die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit : 30,4 km/s

b)Berechne die Geschwindigkeit der Ausbreitung im angegebenen Zeitpunkt:

• zweite Sekunde nach Explosion
• zehnte Sekunde nach Explosion

hier ist nach der momentanen Geschwindigkeit gefragt. Um welche Änderungsrate handelt es sich? Welche Berechnungsformel hattest Du bereits in der Aufgabe 4 benutzt?

Wird nach der Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt gefragt, so handelt es sich um die lokale Änderungsrate, Du musst also den Differentialquotienten berechnen. Die Formel hast Du bereits in der Aufgabe 4 benutzt. Für die Geschwindigkeit in der zweiten Sekunde rechnest Du also:

$R'(2)=\lim_{h \to \ 0}\frac{R(2+h)-R(2)}{h}$ $=\lim_{h \to \ 0} \frac{1,6 (2+h)^2+3,2\times(2+h)-1,6\times4-3,2\times2}{h} =\lim_{h \to \ 0} (6,4 + 1,6h +3,2) = 8,6$ km/s.

Die momentane Ausbreitungsgeschwindigkeit in der Sekunde 10 beträgt bereits : 35,2 km/s

Aufgaben der Schwierigkeitsstufe III

6. Aufgabe: Achterbahn

Du benötigst für die Aufgabe kariertes Papier, Stifte, Lineal und evtl. einen Taschenrechner.

Efteling

Ein Teil der Achterbahn lässt sich durch den Graphen der Funktion: $f(x) = \tfrac{1}{4}x^2 + 1$ beschreiben.

a) Zeichne den Graphen der Funktion f(x) .Vervollständige folgende Tabelle, in dem Du in den angegebenen Punkten nach Augenmaß Tangenten zeichnest und deren Steigungen m durch Ablesen bestimmst.

b) Da es zu jedem Punkt nur eine Tangente gibt, so ist die Zuordnung $m \longmapsto x$ eine Funktion m(x). Betrachte die Wertepaare in der Tabelle Teil a). Stelle die Gleichung der Funktion auf und zeichne diese in dein Koordinatensystem.

Die Funktionsgleichung lautet: $m(x) = \tfrac{1}{2} x$. Denn $-1 = 0,5 \times (-2) oder 1,5 = 0,5\times 3$ Das Verfahren, dass Du hier geübt hast nennt man graphisches Differenzieren und die Funktion ist die Ableitungsfunktion von f(x). Im Teil c) kannst Du diese Behauptung rechnerisch überprüfen

c) Berechne den Differentialquotient (Ableitung) von $f(x) = \tfrac{1}{4} x^2 + 1$in einem beliebigen Punkt. Vergleiche dein Ergebnis mit dem Ergebnis von Teil b)

Wir benutzen wie bereits in den Aufgaben davor die h-Formeln für den Differentialquotient. $f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}(x +h)^2 + 1 - \tfrac{1}{4}x^2-1}{h} = \lim_{h \to \ 0} \frac{\tfrac{1}{4}x^2 +\tfrac{1}{2} xh+\tfrac{1}{4} h^2- \tfrac{1}{4}x^2}{h} = \lim_{h \to \ 0} ( \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4}h) = \tfrac{1}{2}x$ Das ist die gleiche Funktion wie beim graphischen Differenzieren.