Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box| Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also: | {{Box| Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also: | ||
Ist m > 0, steigt die Funktion. | Ist m > 0, steigt die Funktion. | ||
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Merksatz}} | Ist m < 0, fällt die Funktion.|Merksatz}} | ||
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Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: | Und nun noch einmal übersichtlich als Bild: | ||
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png]] | |||
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Version vom 14. April 2020, 13:07 Uhr
2.1) Lineare Funktionen erkennen und darstellen
Im Aktiv-Urlaub warten verschiedene Aufgaben auf die Klassen.
Die folgenden Erklärungen zu den Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass alle Funktionsgleichungen die Form f(x) = mx + b haben und die Funktionsgraphe immer Geraden sind.
Lineare Funktionen erkennen wir also in den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten wie folgt:
Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.
Weiter geht es mit 2.2) Lineare Funktionen f(x) = mx + b Bedeutung von m und b
Damit du einen Eindruck von der Bedeutung m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.
Im nächsten Kapitel sollen nun die Parameter m und b genauer betrachtet werden.
2.2 Die Steigung m linearer Funktionen
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Beobachte, was geschieht. Welche Bedeutung haben die verschiedenen Dreiecke? Probiere aus.
Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.
Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.
Schau dazu die nachfolgenden Videos zum Zeichnen von Steigungsdreiecken an:
Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1: Bootsleihe
f(x) = 2x + 5, also m = 2 und b = 5.
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Für das Steigungsdreieck Steigung m = 2 = gehe vom Ursprung aus 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben. Zeichne dann die Gerade.
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