Benutzer:Niklas WWU-6: Unterschied zwischen den Versionen
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|2= Lösung |3=Lösung}} | |2= Lösung |3=Lösung}} | ||
: c) <math> | : c) <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | {{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt:<br> | ||
;Notwendiges Kriterium: <math> | ;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>. | ||
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen: | :Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen: | ||
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern | :<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern | ||
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:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math> | :<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math> | ||
:<math>\vee.\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math> | :<math>\vee.\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math> | ||
:<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ | :<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h_{a}''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math><br> | ||
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x - 18a^{2}x</math>. | |||
:Wir erhalten durch einsetzen: | |||
;Hinreichendes Kriterium: <math> | |||
:Wir erhalten durch einsetzen: | |||
;Ordinate bestimmen: <br> | ;Ordinate bestimmen: <br> | ||
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math> | :Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math> |
Version vom 10. April 2020, 20:02 Uhr
- Seminar: Digitale Werkzeuge in der Schule
- Projekt: Basiswissen Analysis
- Lernpfad: Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung
- betreut von: Lena Frenken und Maurice Krause
Extrema
Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können.
Art der Extremstelle | Notwendiges Kriterium | Hinreichendes Kriterium |
---|---|---|
Hochpunkt | und < | |
Tiefpunkt | und > | |
Sattelpunkt | und = |
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