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Lernpfad: von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate

Dieser Lernpfad bietet Dir einen Einstieg in das Thema Differenzialrechnung. Zuerst erklären wir Dir wichtige Begriffe und Zusammenhänge. Danach kannst Du selbständig die Aufgaben bearbeiten. Du benötigst Papier und Stifte, Lineal und Taschenrechner. Die Aufgaben haben 3 unterschiedliche Schwierigkeitsstufen, die farblich gekennzheichnet sind:

- Schwierigkeitsstufe I mit gelben Titel: sind leichte Verständnis- und Rechenaufgaben zum Einstieg

- Schwierigkeitsstufe II mit blauen Titel: normale, mittelschwere Aufgaben zum üben und vertiefen.

- Schwierigkeitsstufe III mit grünen Titel: herausfordernde Aufgaben

Viel Erfolg!

Grundbegriffe: durchschnittliche Änderungsrate und Sekante

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f(x)$ bezieht sich immer auf ein bestimmtes Intervall $[\tilde{x},x]$und wird mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnet:

$\frac{f(x) - f(\tilde{x})}{x-\tilde{x}} = \frac{\bigtriangleup f(x)}{\bigtriangleup x}$

Anschaulich ist dies die Steigung der Sekante der Funktion zwischen den Punkten $\tilde{x}$ und $x$, Du kennst diese Formel bereits als Berechnung der Steigung einer linearen Funktion. Die Sekante (der Begriff bedeutet aus dem Lateinischen übersetzt die Schneidende) ist eine Gerade, die durch mindestens 2 Punkte eines Funktionsgraphen verläüft, ihn also an mind. 2 Punkten schneidet.

Ein Beispiel:

Der Verkehrszeichen gibt an, dass der durchschnittlicher Höhenunterschied (also die durchschnittliche Änderungsrate) auf dieser Strecke 10 Höhenmeter pro 100m Wegstrecke beträgt. Die echte Strasse selbst verläuft natürlich nicht als exakt gerade Linie mit einer konstanten Steigung.

Grundbegriffe: lokale Änderungsrate und Tangente

Um den Unterschied zwischen lokalen und durchschnittlichen Änderungsrate zu verstehen, denke über folgenden Beispiel nach:

Ein Autofahrer fährt durch eine Baustelle mit einer Geschwindikeitsbegrenzung von 60km/h. Er merkt sich den Zeitpunkt und Kilometerstand bei der Einfahrt und beim Verlassen der Baustelle und rechnet nach, dass seine durschnittliche Geschwindigkeit unter 60km/h war. Trotzdem wird er in der Baustelle zum Zeitpunkt x von der mobilen Geschwindigkeitsüberwachnung der Polizei fotografiert. Diese erfasst nämlich die Geschwindigket (also die Änderung von $f(x)$)an einem bestimmten Punkt, also lokal oder momentan. Und diese momentane Geschwindigkeit kann sich, wie in diesem Fall deutlich von der durchschnittlichen unterscheiden.

Um lokale Änderungsrate zu bestimmen verkleinern wir den Abstand zwischen $\tilde{x}$und $x$ , wählen also $\tilde{x}$ immer näher bei $x$ (dafür schreibst Du $\tilde{x}\longrightarrow x$). Dabei geht Sekante in die Tangente über, eine Gerade also, die den Funktionsgraphen in genau einem Punkt berührt. Die Steigung der Tangente ist genau die (lokale) Änderungsrate der Funktion in diesem Punkt.

Die lokale Änderungsrate nennt man Differenzialquotient oder Ableitung $f'(x)$und berechnet diese als Grenzwert (Du schreibst dafür $\lim$) der Sekantensteigungen:

$f'(x)=\lim_{\tilde{x} \to \ x}\frac{f(\tilde{x})-f(x)}{\tilde{x}-x}$

Setzt man $h$ für den Abstand von $\tilde{x}$ zu $x$ so gilt die Formel:

$f'(x)=\lim_{h \to \ 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$