Benutzer:Fabian WWU-5

Ich benutze im Rahmen des Seminars DiWerS das Tool Zum Projekte.

Lineare Funktionen erkennen

Aufgabe 2: Welche Art von Funktion ist es?

Sieh dir den jeweiligen Graphen oder die jeweilige Funktionsvorschrift (bzw. Gleichung) an. Stellt der Graph oder die Funktionsvorschrift eine lineare, eine andere Funktion oder gar keine Funktion dar?

Bei Funktionen muss welcher Variablen auf welcher Achse genau 1 Wert auf der anderen Achse zugeordnet werden? Schau dir den Lückentext in Aufgabe 1 noch einmal an. Wie sieht der Graph einer jeden linearen Funktion aus? Wie ist die allgemeine Form von lineren Funktionen?

Keine Funktion: Der Kreis und die zur $y$-Achse parallelen Gerade sind keine Funktionen. Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Bei Kreisen werden jedem x-Wert genau 2 y-Werte zugeordnet. Bei Geraden parallel zur y-Achse werden einem x-Wert sogar alle y-Werte zugeordnet. Also sind Kreise und Geraden parallel zur y-Achse keine Funktionen.

Lineare Funktionen: Alle Geraden, die nicht parallel zur $y$-Achse verlaufen (also nicht senkrecht sind) und alle Funktionen, bei denen die Variabel den Exponent $0$ oder $1$ hat, sind lineare Funktionen. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift für lineare Funktionen lautet: $=f(x)=mx+n$.

Andere Funktionen: Alle Funktionen, die keine linearen Funktionen sind, sind andere Funktionen.

Marc und Susanne haben eine Katze, die Kitty heißt. Sie vergessen leider oft, ihren Wassernapf aufzufüllen. Marc und Susanne haben daher zwei Behälter gebastelt, aus denen kontinuierlich Wasser tropft. In Marcs Behälter (Behälter A) passen $500ml$ Wasser und er ist nach $15$ Stunden leer. In Susannes Behälter (Behälter B) passen $300ml$ rein und er ist erst nach $20$ Stunden leer. Jetzt möchten die beiden herausfinden, welcher Behälter sich besser für ihre Katze eignet.

a) Stelle für beide Behälter jeweils eine Funktionsvorschrift auf, mit der du zu jeder Zeit die Wassermenge berechnen kannst, die sich noch im Behälter befindet. Zeichne für beide Funktionen den Funktionsgraphen in dein Heft. (Hierbei sollte sowohl der $x$-Achsenabschnitt, sowie auch der $y$-Achsenabschnitt eingezeichnet sein. Wähle daher eine geeignete Skalierung.)

Um eine lineare Funktion aufstellen zu können, brauchst du zwei Punkte. Suche diese beiden Punkte im Text für die jeweiligen Behälter.

Die Punkte für den Behälter A sind $(0|500)$ und $(15|0)$. Die Punkte für den Behälter B sind $(0|300)$ und $(20|0)$. Setze für jeden Behälter die jeweiligen beiden Punkte in die allgemeine Form der linearen Funktion ein.

Da die Variable $x$ die Stunden angibt, werden auch beim Zeichnen die Stunden auf der $x$-Achse eingetragen. Dementsprechend wird auf der $y$-Achse die Wasserhöhe im Behälter in Millilitern eingetragen. Da du auf der $x$-Achse bis $x=20$ gehen musst, könntest du hier eine Skalierung wählen bei der du $1 cm$ für zwei Stunden wählst. Auf der $y$-Achse musst du bis $y=500$ gehen. Hier könntest du $1 cm$ für $50 ml$ wählen. Natürlich sind auch andere Skalierungen möglich, du solltest dir nur überlegen, dass das Koordinatensystem nicht zu groß wird.

Behälter A:

Wir haben die Punkte $(0|500)$ und $(15|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $f(x) = m\cdot x+b$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|500)$: $f(0) = m\cdot 0+b = 500$, wodurch $b=500$ folgt.

$(15|0)$: $f(15) = m\cdot 15+b=0$. Da wir schon wissen, dass $b=500$ ist, folgt hieraus, dass $m=-\frac{100}{3}$ ist.

Setzt man nun $m$ und $b$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $f(x) = -\frac{100}{3} \cdot x + 500$

Behälter B:

Wir haben die Punkte $(0|300)$ und $(20|0)$ und die allgemeine Funktionsgleichung $g(x) = n\cdot x+a$. In diese setzten wir die beiden Punkte jeweils ein:

$(0|300)$: $g(0) = n\cdot 0+a = 300$, wodurch $a=300$ folgt.

$(20|0)$: $g(20) = n\cdot 20+a=0$. Da wir schon wissen, dass $a=300$ ist, folgt hieraus, dass $n=-15$ ist.

Setzt man nun $n$ und $a$ in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir $g(x) = -15 \cdot x + 300$

b) In Kittys Napf passen 150ml Wasser. Läuft der Napf nach 5 Stunden bei einem der beiden Behälter über, wenn dieser vorher leer war und Kitty in den 5 Stunden nichts trinkt?

Überlege dir, welche Variable dir die Stundenzahl angibt. Setze für diese Variable 5 ein.

Setze $x=5$ und berechne $f(5)$ und $g(5)$. Überlege dir wofür der Wert steht, den du bei ausrechnen erhalten hast.

Der Wert gibt dir an, wie viel Wasser noch in dem jeweiligen Behälter enthalten ist. Um die Menge im Wassernapf zu berechnen, musst du berechnen, wie viel schon aus dem Behälter getropft ist.

Die Variable $x$ steht für unsere Stundenzahl, also setzten wir für $x$ $5$ ein.

Behälter A: Wir berechnen also $f(5)=-\frac{100}{3} \cdot 5 + 500 =\frac{1000}{3}$. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter A ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge $500ml$ die $\frac{1000}{3} ml$ abziehen und erhalten somit, dass ca. $167ml$ in dem Napf sind. Dieser läuft also über.

Behälter B: Wir berechnen also $g(5)=-15 \cdot 5 + 300 =225$. Dieser Wert gibt an, wie viel Wasser nach den fünf Stunden noch im Behälter B ist. Um zu berechnen, welche Menge im Napf ist, müssen wir von der Anfangsmenge $300ml$ die $225ml$ abziehen und erhalten somit, dass ca. $75ml$ in dem Napf sind. Dieser läuft also nicht über.

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