Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1 Integralrechnung

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Einführung in die Integralrechnung

Integralrechnung

Rekonstruktion einer Größe

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Rekonstruktion einer Größe

Ist der Graph einer momentanen Änderungsrate gegeben, kannst du die Gesamtänderung der zugehörigen Größe bestimmen, indem du den orientierten Flächeninhalt (also mit Berücksichtigung, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt) bestimmen.
Häufige Änderungsraten und zugehörige Größen sind:

• Der Graph der Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit t ist gegeben. Dann lässt sich die zurückgelegte Strecke s mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
• Der Graph des Zuflusses einer Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Zeit t ist gegeben. Dann lässt sich das Volumen V mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
• Der Graph der Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben. Dann lässt sich die Größe mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
• Der Graph der Temperaturänderung in Abhängigkeit von der Höhe ist gegeben. Dann lässt sich die Temperatur mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.

Übungen zur Rekonstruktion einer Größe

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 50 im Buch.

Die Fläche unter den Kurven gibt jeweils die zurückgelegte Strecke s an. Berechne also die Flächen.
a) Zerlege die Flächen in 3 Teilflächen: A₁ = A_Dreick; A₂ = A_Rechteck und A₃ = A_Dreieck
A = $\tfrac{g·h}{2} + a·b + \tfrac{g·h}{2}$
   = $\tfrac{2·2}{2} + 1·2 + \tfrac{1·2}{2}$
   = 5 (m)
Alternativ kannst du den Flächeninhalt auch mit der Formel für das Trapez bestimmen:
A_Trapez = $\tfrac{(a+c)h}{2}$=$\tfrac{(4+1)2}{2}$ = 5 (m).

Löse b) und c) ebenso.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt unter der Kurve, oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Lösung zur Testaufgabe 1:
a) Zerlege die Fläche in Teilflächen (waagerechte Linie ab 2), zu denen du einen Flächeninhaltsformel kennst, hier also ein Trapez und ein Dreieck.
A = A_Trapez + A_Dreieck
   = $\tfrac{(8+6)2}{2}$ + $\tfrac{6·4}{2}$
   = 14 + 12 = 26 (m³)
Da zu Beginn schon 10 m³ im Tank waren, sind es nun insgesamt 36 m². b) Pro Minute fließen 3 m³ aus dem Tank, bis 36 m³ herausgeflossen sind dauert es also:
36 : 3 = 12 (min).

Der Graph der Vertikalgeschwindigkeit (also nach oben/unten) in Abhängigkeit von der Zeit ist gegeben. Dann lässt sich die Höhe des Ballons mithilfe des (orientierten) Flächeninhaltes rekonstruieren.
Dabei ist die Geschwindigkeit zu Beginn des Zeitraumes zu berücksichtigen.
Im ersten Zeitraum (von 0-5 Sekunden) steigt die Geschwindigkeit von 1 auf 2 $\tfrac{m}{s}$, der Ballon steigt also immer schneller nach oben. Dann bleibt sie (von 5-10 s) konstant, der Ballon bewegt sich also mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit weiter aufwärts.
Im Zeitraum von 10 -15 s nimmt die Geschwindigkeit bis auf 0 ab, der Ballon bewegt sich also immer langsamer nach oben, bis er im Zeitraum von 15-20 Sekunden seine Höhe nicht mehr ändert, da die Geschwindigkeit hier 0 ist.
...

Im Zeitraum von 30 - 40 Sekunden steigt der Ballon immer langsamer, bei 35 s hat er seine größte Höhe erreicht, danach sinkt der Ballon wieder mit zunehmender Geschwindigkeit bis er im Zeitraum von 40-60 Sekunden mit gleichmäßiger Geschwindigkeit sinkt.

Um die Höhe des Ballons nach 60 Sekunden zu bestimmen, berechne den orientierten Flächeninhalt, den der Graph der Vertikalgeschwindigkeit mit der x-Achse einschließt. Zerlege dazu die Fläche in geeignete Teilflächen.

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

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Integralschreibweise:

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Übungen zur Integralschreibweise

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 54-56 im Buch.

1. Bestimme die Integrationsgrenzen: Von wo bis wo soll die Fläche berechnet werden?
2. Bestimme den Integrand: Von welcher Funktion soll die Flächen berechnet werden?
3. Bestimme das Differenzial
a) A = $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx$
b) Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechne zunächst die Nullstellen der Funktion g(x).
g(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 3 Einheiten entlang der y-Achse verschoben wurde, die Funktionsgleichung lautet also
g(x) = -x² + 3
Nullstellen: g(x) = 0
-x² + 3 = 0   |+x²
3 = x²   |$\surd$
-$\sqrt{3}$ = x₁; $\sqrt{3}$=x₂
A = $\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x) dx$
c) A = $\int\limits_{-4}^{-1} h(x) dx$

usw.

S. 54, Nr. 3 https://www.geogebra.org/classic/ccnzw5ng

S. 55, Nr. 4 https://www.geogebra.org/classic/nnrgeh2m

Interpretation: Die Pflanze ist nach 100 Tagen auf eine Größe von ca. 2,07 m gewachsen.

S. 55, Nr. 5a https://www.geogebra.org/m/rqhdk5nq

S. 55, Nr. 5b https://www.geogebra.org/m/awxfwjap

S. 55, Nr. 5c https://www.geogebra.org/m/rqmv8vhy

S. 56, Nr. 11a https://www.geogebra.org/m/tracazj8

S. 56, Nr. 11b https://www.geogebra.org/m/nmbnu9ms

S. 56, Nr. 11c https://www.geogebra.org/m/htxsyfwc

S. 56, Nr. 11d https://www.geogebra.org/m/xaemqdvt

S. 57, Nr. 21a https://www.geogebra.org/m/rtmspkuk

S. 57, Nr. 21b https://www.geogebra.org/m/xyheyy73

S. 57, Nr. 21c https://www.geogebra.org/m/jjs83ka6

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

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Stammfunktion skizzieren

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Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Tipps zu den Aufgaben S. 60-61

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Stammfunktion.

1 F(x) = $\tfrac{1}{2}$x³
F'(x) = 3·$\tfrac{1}{2}$x² = $\tfrac{3}{2}$x³ , also Buchstabe E

Gehe bei den Ziffern 2-5 ebenso vor.

f(x) = 6x²
F(x) = 2x³ ist Stammfunktion von f(x), denn
F'(x) = 3·2x² = 6x² = f(x).
Hauptsatz der Integralrechung: $\int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int\limits_{1}^{2} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_1^2$ = F(2) - F(1) = 2·2³ - 2·1³ = 16 - 2 = 14 (Flächeneinheiten).

b) Dieses Ergebnis bestätigt GeoGebra.

a) f(x) = 3x²; F(x) = $x^a$
F'(x) = a·x^a-1; a=3
b) f(x) = 2x; F(x) = x² - a
F'(x) = 2·x also darf a alle Werte annehmen, a ∈ ℝ

...

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).
a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt.
F hat dort also zwei Extremstellen.
Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.
Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.
b) Zerlege die Fläche unter dem Graphen in zwei Dreiecke (von x=0 bis x=1 und von x=4 bis x=5), in ein Rechteck von x=1 bis x=4 mit der Höhe 1 und ein Trapez von x=1 bis x=4 mit der Höhe 0,5.
A = $\tfrac{1}{2}$·1·1 + 3·1 + $\tfrac{1}{2}$·(3+1)·0,5 + $\tfrac{1}{2}$·1·1
A = 0,5 + 3 + 1 + 0,5
A = 5 (FE)

c)

Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a

Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy

Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79

Stammfunktion bilden

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Stammfunktion bestimmen

Lies auf S. 63 den blauen Kasten mit den Regeln zur Bildung einer Stammfunktion.

Übungen zur Stammfunktion

Bearbeite die nachfolgenden LearningApp.

Tipps zu den Aufgaben S. 65-66

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Bestimmung der Stammfunktion.

S. 65, Nr. 1
a) f(x) = x; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$; F₂(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ + 3 (+c, irgendeine Zahl)
b) f(x) = 2x; Faktorregel (2) und Potenzregel (x): F₁(x) = 2·$\tfrac{1}{2}x^2$ = x²; F₂(x) = 2·$\tfrac{1}{2}x^2$ = x² + 2
c) f(x) = x²; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$; F₂(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$+6
d) f(x) = 3x²; Faktorregel (3) und Potenzregel (x²): F(x) = 3·$\tfrac{1}{3}x^3$ = x³
e) Potenzregel
f) Potenzregel
g) f(x) = 7; f(x) = 7$x^0$; also F₁(x) = 7·$\tfrac{1}{1}x^1$ = 7x; ...
h) f(x) = 0; F(x) = 3 (allgemein c, irgendeine Zahl)
i) f(X) = x² + x; Summenregel und Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ + $\tfrac{1}{2}x^2$
j) Summenregel und Potenzregel
k) f(x) = 0,5x + 1; Summenregel, Faktorregel und Potenzregel: F₁(x) = 0,5·$\tfrac{1}{2}x^2$ + 1x; f₂(x) = ...

l) Summenregel, Faktorregel und Potenzregel

S. 65, Nr. 3 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) f(x) = 5
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 5x
A = $\int\limits_{10}^{20} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{10}^{20}$ = $\left[ 5x \right]_{10}^{20}$
= F(20) - F(10) = 5·20 - 5·10 = 100 - 50 = 50 FE (Flächeneinheiten)
b) f(x) = 2x
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 2·$\tfrac{1}{2}x^2$ = x²
A = $\int\limits_{0}^{3} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{0}^{3}$ = $\left[ x² \right]_{0}^{3}$
= F(3) - F(0) = 3² - 0² = 9 FE (Flächeneinheiten)

Löse c-f ebenso.

S. 65, Nr. 4 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) h(x) = -x²+1
Eine Stammfunktion von h(x) ist H(x) = -$\tfrac{1}{3}x^3$ + x
$\int\limits_{-1}^{1} h(x) dx$
= $\left[ H(x) \right]_{-1}^{1}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1}$
= H(1) - H(-1)
= -$\tfrac{1}{3}·1^3$ + 1 - (-$\tfrac{1}{3}(-1)^3$ + (-1))
= $\tfrac{2}{3}$ - (-$\tfrac{2}{3}$)
= $\tfrac{2}{3}$ + $\tfrac{2}{3}$
= $\tfrac{4}{3}$ FE (Flächeneinheiten)
b) k(x) = $\tfrac{3}{4}x^2$ - 3
Eine Stammfunktion von k(x) ist K(x) = $\tfrac{3}{4}·\tfrac{1}{3}x^3$ - 3x = $\tfrac{1}{4}x^3$ - 3x
$\int\limits_{-2}^{2} k(x) dx$
= $\left[ K(x) \right]_{-2}^{2}$
= $\left[ \tfrac{1}{4}x^3 - 3x \right]_{-2}^{2}$
= K(2) - K(-2)
= $\tfrac{1}{4}·2^3$ - 3·2 - ($\tfrac{1}{4}·(-2)^3$ - 3·(-2))
= 2 - 6 - (-2 - (-6))
= -4 - 4
= -8 FE (Flächeneinheiten)
c) f(x) = $\tfrac{3}{2}x^3 - \tfrac{27}{8}x$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{3}{2}·\tfrac{1}{4}x^4 - \frac{27}{8}·\tfrac{1}{2}x^2 = \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2$
$\int\limits_{-1,5}^{1,5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-1,5}^{1,5}$
= $\left[ \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2 \right]_{-1,5}^{1,5}$
= F(1,5) - F(-1,5)
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·(-1,5)^4 - \frac{27}{16}·(-1,5)^2$) =
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2$)

= 0 FE (Flächeneinheiten)

S. 65, Nr. 5
a) f(x) = x²
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$
$\int\limits_{-2}^{5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-2}^{5}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{5}$
= F(5) - F(-2)
= $\tfrac{1}{3}·5^3$ - ($\tfrac{1}{3}(-2)^3$)
= $\tfrac{125}{3}$ - (-$\tfrac{8}{3}$)
= $\tfrac{125}{3}$ + $\tfrac{8}{3}$
= $\tfrac{133}{3}$ = 44$\tfrac{1}{3}$ FE (Flächeneinheiten)

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b) f(x) = -$\tfrac{1}{4}·x^4$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = -$\tfrac{1}{4}·\tfrac{1}{5}·x^5$ = -$\tfrac{1}{20}·x^5$
...

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei mit Abmessungen größer als 12,5 MP