Geometrie im Dreieck/Triangle-Architects: Unterschied zwischen den Versionen

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== Ein Dreieck konstruieren mit Seite Winkel Seite (SWS) ==
== 1. Einstieg ==
 
== 2. Ein Dreieck konstruieren mit Seite Winkel Seite (SWS) ==
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennst. In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennst. In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.


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C: Konstruiere das Dreieck
C: Konstruiere das Dreieck
Um ein Dreieck mithilfe des SWS-Satzes zu konstruieren, zeichnest du als erstes eine der gegebenen Seiten. Dann zeichnest du an der richtigen Stelle den gegebenen Winkel ein. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel. An diesem Schenkel misst du nun die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichnest diese Seite ein. Im letzten Schritt verbindest du die beiden noch unverbundenen Punkte, fertig ist das Dreieck.
 
*1. Zeichnne eine der gegebenen Seiten.
*2. Zeichne den gegebenen Winkel. Achte darauf ihn an die richtige Seite zu zeichnen. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel.
*3. Messe an diesem Schenkel die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichne diese Seite ein. Hierfür kannst du gut einen Zirkel verwenden.
*4. Verbindes die beiden noch unverbundenen Punkte. Fertig ist das Dreieck.
 
Erinnerung: Alle Seiten, Winkel und Längen müssen beschirftet werden.
D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
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{{Box|Aufgabe 1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen |Du sollst ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Bildern gehören.|Arbeitsmethode
{{Box|Aufgabe 2.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen |Du sollst ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Bildern gehören.|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}} }}
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{{Box|Aufgabe 2: Konstruktionsbeschreibung sortieren|Du sollst wie zuvor ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere die Schritte in die richtige Reihenfolge. Benutze Aufgabe 1 als Hilfe.|Arbeitsmethode
{{Box|Aufgabe 2.2: Konstruktionsbeschreibung sortieren|Du sollst wie zuvor ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere die Schritte in die richtige Reihenfolge. Benutze Aufgabe 1 als Hilfe.|Arbeitsmethode
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{{Box | Aufgabe 3: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b <math> = </math> 5cm, c <math> = </math> 9cm und  α <math> = </math> 55°. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion auf dem Arbeitsbaltt "Triangle Architects" fertig.  
{{Box | Aufgabe 2.3: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b <math> = </math> 5cm, c <math> = </math> 9cm und  α <math> = </math> 55°. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion auf dem Arbeitsbaltt "Triangle Architects" fertig.


[[Datei:SWS 2 Planfigur.png|thumb|Planfigur für Aufgabe 2|400 px| center]]
[[Datei:SWS 2 Planfigur.png|thumb|Planfigur für Aufgabe 2|400 px| center]]




{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 2 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 2 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2.3|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}


| Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}


| Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}




{{Box | Aufgabe 3: Durchführung einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind b <math> = </math> 8cm, c <math> = </math> 3cm und  α <math> = </math> 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.  
{{Box | Aufgabe 2.4: Durchführung einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind b <math> = </math> 8cm, c <math> = </math> 3cm und  α <math> = </math> 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.  




{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 3 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 3|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 3 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2.4|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
  | Arbeitsmethode |Farbe=#CD2990 }}
  | Arbeitsmethode |Farbe=#CD2990 }}




== Winkel Seite Winkel (WSW) ==
{{Box | Aufgabe 2.5: Durchführung einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind a <math> = </math> 5cm, b <math> = </math> 2,5cm und  ɣ <math> = </math> 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.
 
 
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 4 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2.5|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode |Farbe=#5E43A5 }}


'''Ein Dreieck konstruieren mit WSW (Winkel – Seite – Winkel)'''


'''Erklärung:''' Um ein Dreieck mithilfe des WSW-Satzes zu konstruieren, zeichnest du als erstes die gegebene Seite. Dann zeichnest du an beiden Enden dieser Seite die gegebenen Winkel ein. Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck!
== 3. Ein Dreieck konstruieren mit Winkel Seite Winkel (WSW) ==
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.


{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind
{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind
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B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot
B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot


C: Konstruiere das Dreieck
C: Konstruiere das Dreieck. Um ein Dreieck mithilfe des WSW-Satzes zu konstruieren, zeichnest du als erstes die gegebene Seite. Dann zeichnest du an beiden Enden dieser Seite die gegebenen Winkel ein. Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck!


D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
}}
}}


{{Box|Aufgabe 1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen|Du sollst ein Dreieck mit c <math> = </math> 4cm, α <math> = </math> 50°, β <math> = </math> 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus|Arbeitsmethode
{{Box|Aufgabe 3.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen|Du sollst ein Dreieck mit c <math> = </math> 5cm, α <math> = </math> 55°, β <math> = </math> 30° konstruieren. Ordne die Schritte der Konstruktionsbeschreibung den Bildern zu
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|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
| Farbe = {{Farbe|orange}}
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}}
{{Box|Aufgabe 3.2: Konstruktionsbeschreibung anfertigen|Du sollst ein Dreieck mit c <math> = </math> 4cm, α <math> = </math> 50°, β <math> = </math> 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus


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{{Lösung versteckt|1=Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen:
{{Lösung versteckt|1=Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen:
Schnittpunkt,
Schnittpunkt,
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C
C
|2=Hilfen|3=Hilfe verbergen}}
|2=Hilfen|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}


== 4. Triangle-Experts: Kann man mit drei Seiten immer ein Dreieck konstruieren? ==
In diesem Kapitel lernst du, wann man ein Dreieck konstruieren kann, wenn alle drei Seiten bekannt sind. 


== Seite Seite Seite (SSS) ==
{{Box|Aufgabe 4.1: Wann ist ein Dreieck konstruierbar?|2 = Unten siehst du ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst. '''a)''' Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.
'''Ein Dreieck konstruieren mit SSS (Seite – Seite – Seite)'''
# a=3,  b=3,  c=3
# a=5,  b=4,  c=3
# a=8,  b=4,  c=3
# a=4,  b=9,  c=4
'''b)''' Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist.


{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, was gegeben ist.
<ggb_applet id="PdRUrDxe" width="1000" height="601" border="888888" />


B: Zeichne eine Planfigur. Markiere das Gegebene rot
C: Konstruiere das Dreieck
D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4| Hervorhebung1}}
'''Beispiel:'''
'''Gegeben:''' a = 3cm, b = 2cm, c = 4cm
'''Konstruktionsbeschreibung:'''
① Zeichne c = 4cm. Beschrifte A und B.
② Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius b = 2cm.
③ Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius a = 3cm. Beschrifte den Schnittpunkt C.
④ Verbinde C mit A und B.
== Schwierige Aufgabe: Wann ist ein Dreieck konstruierbar? ==
Unten siehst du ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst.
'''Aufgabe 1a)''' Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.
# a=3  b=3  c=3
# a=5  b=4  c=3
# a=8  b=4  c=3
# a=4  b=9  c=4
'''Aufgabe 1b)''' Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist.
<ggb_applet id="PdRUrDxe" width="1000" height="601" border="888888" />
{{Lösung versteckt|Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite? |Tipp für Aufgabe 1b anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite? |Tipp für Aufgabe 1b anzeigen|Tipp verbergen}}
| Farbe = #5E43A5
}}


{{Box|Aufgabe 4.2: Entscheide, was richtig ist|Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus!
{{LearningApp|app=pkzd58un324|width=100%|height=400px}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #5E43A5
}}


 
{{Box|Aufgabe 4.3: Stelle einen Merksatz auf|Fülle den Lückentext aus, indem du aus den Vorschlägen das richtige Wort in die jeweilige Lücke setzt. Schreibe dann den ausgefüllten Text auf dein Arbeitsblatt unter 4.3.
'''Aufgabe 2:''' Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus!
{{LearningApp|app=ph0i4nnut24|width=100%|height=400px}}|Arbeitsmethode
 
| Farbe = #5E43A5
'''Aufgabe 3:''' Fülle den Lückentext aus, indem du die untenstehenden Wörter in die richtigen Lücken ziehst. Schreibe den Satz dann auf dein Arbeitsblatt.
}}
{{LearningApp|app=ph0i4nnut24|width=100%|height=400px}}

Aktuelle Version vom 4. November 2024, 21:29 Uhr

Info

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du 3 Kongruenzsätze kennen, wie du Konstruktionsbeschreibungen erstellst und umsetzt.

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du das Arbeitsblatt "Triangle Architects", einen Zirkel, ein Geodreieck und einen Bleistift.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilaner Farbe sind schwierige Aufgaben.
  • Immer wenn du Hilfe benötigst, kannst du die "Hilfe"-Kästchen öffnen. Tue dies aber wirklich nur wenn es nötig ist.
Viel Erfolg!

1. Einstieg

2. Ein Dreieck konstruieren mit Seite Winkel Seite (SWS)

In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennst. In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.


Anleitung

A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.

B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot

C: Konstruiere das Dreieck

  • 1. Zeichnne eine der gegebenen Seiten.
  • 2. Zeichne den gegebenen Winkel. Achte darauf ihn an die richtige Seite zu zeichnen. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel.
  • 3. Messe an diesem Schenkel die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichne diese Seite ein. Hierfür kannst du gut einen Zirkel verwenden.
  • 4. Verbindes die beiden noch unverbundenen Punkte. Fertig ist das Dreieck.

Erinnerung: Alle Seiten, Winkel und Längen müssen beschirftet werden.

D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4


Konstruieren bedeutet, dass du eine geometrische Figur schritt für schritt erstellst. Dabei musst du sehr genau arbeiten.

Planfigur: Eine Planfigur ist eine kleine Zeichnung, in der noch nicht alle Längen, Winkel und Größen richtig eingetragen sind. Du makierst dir die gegebene Größen, Winkel, Seiten bunt und hast hierdurch einen besseren Überblick.


Aufgabe 2.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen
Du sollst ein Dreieck mit b 2cm, α 50°, c 5cm konstruieren. Sortiere welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Bildern gehören.




Aufgabe 2.2: Konstruktionsbeschreibung sortieren
Du sollst wie zuvor ein Dreieck mit b 2cm, α 50°, c 5cm konstruieren. Sortiere die Schritte in die richtige Reihenfolge. Benutze Aufgabe 1 als Hilfe.



Aufgabe 2.3: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS 
Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b  5cm, c  9cm und  α  55°. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion auf dem Arbeitsbaltt "Triangle Architects" fertig.
Planfigur für Aufgabe 2


Lösung für Aufgabe 2.3



Aufgabe 2.4: Durchführung einer Konstruktion mit SWS 
Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind b  8cm, c  3cm und  α  80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.


Lösung für Aufgabe 2.4


Aufgabe 2.5: Durchführung einer Konstruktion mit SWS 
Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind a  5cm, b  2,5cm und  ɣ  80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.


Lösung für Aufgabe 2.5


3. Ein Dreieck konstruieren mit Winkel Seite Winkel (WSW)

In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.


Anleitung

A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind

B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot

C: Konstruiere das Dreieck. Um ein Dreieck mithilfe des WSW-Satzes zu konstruieren, zeichnest du als erstes die gegebene Seite. Dann zeichnest du an beiden Enden dieser Seite die gegebenen Winkel ein. Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck!

D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4


Aufgabe 3.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen

Du sollst ein Dreieck mit c 5cm, α 55°, β 30° konstruieren. Ordne die Schritte der Konstruktionsbeschreibung den Bildern zu


Aufgabe 3.2: Konstruktionsbeschreibung anfertigen

Du sollst ein Dreieck mit c 4cm, α 50°, β 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus



Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen: Schnittpunkt, β = 40°, α = 50°, c = 4cm,

C

4. Triangle-Experts: Kann man mit drei Seiten immer ein Dreieck konstruieren?

In diesem Kapitel lernst du, wann man ein Dreieck konstruieren kann, wenn alle drei Seiten bekannt sind.


Aufgabe 4.1: Wann ist ein Dreieck konstruierbar?

Unten siehst du ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst. a) Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.

  1. a=3, b=3, c=3
  2. a=5, b=4, c=3
  3. a=8, b=4, c=3
  4. a=4, b=9, c=4

b) Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist.

GeoGebra
Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite?


Aufgabe 4.2: Entscheide, was richtig ist

Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus!


Aufgabe 4.3: Stelle einen Merksatz auf

Fülle den Lückentext aus, indem du aus den Vorschlägen das richtige Wort in die jeweilige Lücke setzt. Schreibe dann den ausgefüllten Text auf dein Arbeitsblatt unter 4.3.

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