Geometrie im Dreieck/Triangle-Architects: Unterschied zwischen den Versionen

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== Info ==
== Info ==
{{Box
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|1=Info  
| 1 = Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du 3 Kongruenzsätze kennen, wie du Konstruktionsbeschreibungen erstellst und umsetzt.
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel lernst du 3 Kongruenzsätze kennen, wie du Konstruktionsbeschreibungen erstellst und umsetzt.


Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du das Arbeitsblatt "Triangle Architects", einen Zirkel, ein Geodreieck und einen Bleistift.
Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du das [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Arbeitsblatt "Triangle Architects", einen Zirkel, ein Geodreieck und einen Bleistift.


Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* Aufgaben, die '''<span style="color: #EEC900">gelb</span>''' gefärbt sind, solltest du zum Einstieg '''auf jeden Fall''' bearbeiten.
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''schwierige Aufgaben'''.
* Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''schwierige Aufgaben'''.
* Immer wenn du Hilfe benötigst, kannst du die "Hilfe"-Kästchen öffnen. Tue dies aber wirklich nur wenn es nötig ist.
* Immer wenn du Hilfe benötigst, kannst du die '''"Hilfe"-Kästchen''' öffnen. Tue dies aber wirklich nur, wenn es nötig ist.
* Außerdem findest du unter den Texten auch '''"Worthilfen"''', in denen schwierige Wörter erklärt sind. Die erklärten Wörter sind im Text fett markiert.  
Viel Erfolg!
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
| 3 = Kurzinfo
}}


== Seite Winkel Seite (SWS) ==
==1. Einstieg==
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten gegeben hast sowie den Winkel, der zwischen diesen beiden Seiten liegt.
[[Datei:Achimalbertaa.png|thumb|Achim und Alberta sind verwirrt|284x284px]][[Datei:Schloss.png|thumb|Schloss Hülshoff mit der Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta|300px|links]]
Zwischen Münster und Havixbeck steht die Burg Hülshoff. Vor etwa 200 Jahren wurde dort Annette Droste-Hülshoff geboren. Sie schrieb unter anderem das Gedicht "der Knabe im Moor". Zur Erinnerung an sie soll in den Burghof eine Bühne gebaut werden. Damit wurde das Architektenduo Achim-Alberta beauftragt. Das Duo hat bereits eine Idee und eine Skizze angefertigt (siehe Bilder). Heute wollen sie zum Schloss fahren und messen, wie groß die Bühne wird. Sie überlegen, welche Längen und Winkel sie messen müssen, um die Bühne genau zu konstruieren. [[Datei:Bühne1.png|thumb|Abbildung 3: Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta |links]]


'''Ein Dreieck konstruieren mit SWS (Seite - Winkel – Seite)'''
Kannst du ihnen helfen? Welche Größen müssen Sie messen, um die Bühne zu konstruieren? Beschäftige dich dabei zunächst nur mit der dreieckigen Grundfläche (Siehe Abbildung 3). Notiere dir die Größen, die sie deiner Meinung nach messen müssen, auf einem Schmierpapier. Gibt es verschiedene Kombinationen, die eine '''Konstruktion''' möglich machen? Überprüfe dich später selber.
{{Lösung versteckt|1=Messbare Größen sind die Länge der Hausseite a, der Hausseite b und der Hausseite c und die Größe der Winkel α, β und γ |2= Hilfe|3= Hilfe verbergen}}


'''1.1.''' '''Erklärung''': Um ein Dreieck mithilfe des SWS-Satzes zu konstruieren, zeichnest du als erstes eine der gegebenen Seiten. Dann zeichnest du an der richtigen Stelle den gegebenen Winkel ein. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel. An diesem Schenkel misst du nun die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichnest diese Seite ein. Im letzten Schritt verbindest du die beiden noch unverbundenen Punkte, fertig ist das Dreieck.


In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.  
 
==2. Ein Dreieck konstruieren mit Seite Winkel Seite (SWS)==
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck '''konstruieren''' kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennst. In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.  


{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.
{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.


B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot
B: Zeichne eine '''Planfigur'''. Markiere die gegebenen Größen rot.


C: Konstruiere das Dreieck
C: Konstruiere das Dreieck.


D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
*1. Zeichnne eine der gegebenen Seiten.
*2. Zeichne den gegebenen Winkel. Achte darauf, ihn an die richtige Seite zu zeichnen. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel.
*3. Messe an diesem Schenkel die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichne diese Seite ein. Hierfür kannst du gut einen Zirkel verwenden.
*4. Verbinde die beiden noch unverbundenen Punkte. Fertig ist das Dreieck.
 
Erinnerung: Alle Seiten, Winkel und Längen müssen beschriftet werden.
D: Schreibe eine '''Konstruktionsbeschreibung''': Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
}}
}}


{{Lösung versteckt|1='''Konstruieren''' bedeutet, dass du eine geometrische Figur Schritt für Schritt erstellst. Dabei musst du sehr genau arbeiten.
'''Planfigur:''' Eine Planfigur ist eine kleine Zeichnung, in der noch nicht alle Längen, Winkel und Größen richtig eingetragen sind. Du markierst dir die gegebene Größen, Winkel, Seiten bunt und hast dadurch einen besseren Überblick.


'''Konstruktionsbeschreibung:''' Du schreibst in kleinen Schritten auf, wie du ein Dreieck gezeichnet hast.
|2=Worthilfen|3=Hilfe verbergen}}


{{Lösung versteckt|1='''Konstruieren''' bedeutet, dass du eine geometrische Figur schritt für schritt erstellst. Dabei musst du sehr genau arbeiten.
'''Planfigur:''' Eine Planfigur ist eine kleine Zeichnung, in der noch nicht alle Längen, Winkel und Größen richtig eingetragen sind. Du makierst dir die gegebene Größen, Winkel, Seiten bunt und hast hierdurch einen besseren Überblick.|2=Worthilfen|3=Hilfe verbergen}}


{{Box|Aufgabe 2.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen|{{Lösung versteckt |
Du sollst ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Bildern gehören. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.
{{LearningApp|app=p6jdottyc24|width=100%|height=400px}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}


{{Box|Aufgabe 1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen|Du sollst ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere zunächst, welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Konstruktionen gehören. Stelle dann in der zweiten Anwendung die richtige Reihenfolge her.|Arbeitsmethode
{{Box|Aufgabe 2.2: Konstruktionsbeschreibung sortieren|{{Lösung versteckt |
| Farbe = {{Farbe|orange}}
Du sollst wie zuvor ein Dreieck mit b <math> = </math> 2cm, α <math> = </math> 50°, c <math> = </math> 5cm konstruieren. Sortiere die Schritte in die richtige Reihenfolge. Benutze Aufgabe 1 als Hilfe. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.
{{LearningApp|app=p2iyc69xk24|width=100%|height=400px}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}
}}


{{LearningApp|app=p6jdottyc24|width=100%|height=400px}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS|{{Lösung versteckt |
{{Box|Aufgabe 2: Stelle dann nun die richtige Reihenfolge der Konstruktionsbeschreibung her.|Arbeitsmethode
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b <math> = </math> 5cm, c <math> = </math> 9cm und  α <math> = </math> 55°. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion auf dem '''Arbeitsblatt '''"Triangle Architects" fertig.
[[Datei:SWS 2 Planfigur.png|thumb|Planfigur für Aufgabe 2.3|400 px| center]]
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 2 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2.3|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
}}
{{LearningApp|app=p2iyc69xk24|width=100%|height=400px}}


{{Box | Aufgabe 2: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b <math> = </math> 5cm, c <math> = </math> 9cm und  α <math> = </math> 55°. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion auf dem Arbeitsbaltt "Triangle Architects" fertig.
{{Box|Aufgabe 2.4: Durchführung einer Konstruktion mit SWS|{{Lösung versteckt |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem '''Arbeitsblatt'''. Gegeben sind b <math> = </math> 8cm, c <math> = </math> 3cm und  α <math> = </math> 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.  
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 3 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2.4|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}


[[Datei:SWS 2 Planfigur.png|thumb|Planfigur für Aufgabe 2|400 px| center]]
{{Box|Aufgabe 2.5: Durchführung einer Konstruktion mit SWS|{{Lösung versteckt |
 
Konstruiere das Dreieck mit SWS '''in deinem Heft'''. Gegeben sind a <math> = </math> 5cm, b <math> = </math> 2,5cm und  ɣ <math> = </math> 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.  
 
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 4 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2.5|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 2 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 2|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
 
| Farbe = #5E43A5
 
}}
| Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}
 
 
{{Box | Aufgabe 3: Durchführung einer Konstruktion mit SWS | Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind b <math> = </math> 8cm, c <math> = </math> 3cm und  α <math> = </math> 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.  
 
 
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:SWS 3 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 3|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Arbeitsmethode |Farbe=#CD2990 }}


 
==3. Ein Dreieck konstruieren mit Winkel Seite Winkel (WSW)==
== Winkel Seite Winkel (WSW) ==
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.
In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.


'''Ein Dreieck konstruieren mit WSW (Winkel – Seite – Winkel)'''
{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.


'''Erklärung:''' Um ein Dreieck mithilfe des WSW-Satzes zu konstruieren, zeichnest du als erstes die gegebene Seite. Dann zeichnest du an beiden Enden dieser Seite die gegebenen Winkel ein. Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck!
B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot.


{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind
C: Konstruiere das Dreieck.
*1. Zeichne als erstes die gegebene Seite und beschrifte diese.
*2. Zeichne an ein Ende dieser Seite den ersten Winkel ein.
*3. Zeichne am anderen Ende der Seite den zweiten Winkel ein.
Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck!
Beschrifte das Dreieck vollständig.


B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot
D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-3|Hervorhebung1
}}


C: Konstruiere das Dreieck
{{Box|Aufgabe 3.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen/ Bilder ordnen|{{Lösung versteckt |
 
Du sollst ein Dreieck mit c <math> = </math> 5cm, α <math> = </math> 55°, β <math> = </math> 30° konstruieren. Ordne die Schritte der Konstruktionsbeschreibung den Bildern zu. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.
D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4|Hervorhebung1
{{LearningApp|app=proeom3x324|width=100%|height=400px}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}
}}


{{Box|Aufgabe 1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen|Du sollst ein Dreieck mit c <math> = </math> 4cm, α <math> = </math> 50°, β <math> = </math> 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}


{{LearningApp|app=p23jg55dn24|width=100%|height=400px}}
{{Box|Aufgabe 3.2: Konstruktionsbeschreibung anfertigen/ Lückentext|{{Lösung versteckt |
Du sollst ein Dreieck mit c <math> = </math> 4cm, α <math> = </math> 50°, β <math> = </math> 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.
{{LearningApp|app=p23jg55dn24|width=100%|height=500px}}
{{Lösung versteckt|1=Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen:
{{Lösung versteckt|1=Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen:
Schnittpunkt,
Schnittpunkt,
β = 40°,
β = 40°,
α = 50°,  
α = 50°,  
c = 4cm,
c = 4cm.
C
|2=Hilfen|3=Hilfe verbergen}}
|2=Hilfen|3=Hilfe verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}


{{Box|Aufgabe 3.3: Durchführung einer Konstruktion mit WSW|{{Lösung versteckt |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] Konstruiere das Dreieck mit WSW auf dem '''Arbeitsblatt'''. Gegeben sind c <math> = </math> 4cm, α <math> = </math> 90° und  𝝱 <math> = </math> 50°. Führe dazu alle Schritte A-D durch. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion fertig.
[[Datei:WSW 3.3 Planfigur.png|thumb|Planfigur für Aufgabe 3.3|400 px| center]]
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:WSW 3.3 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 3.3|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}


== Seite Seite Seite (SSS) ==
'''Ein Dreieck konstruieren mit SSS (Seite – Seite – Seite)'''


{{Box|Anleitung|A: Schreibe auf, was gegeben ist.
{{Box|Aufgabe 3.4: Dachkonstruktion mit WSW|{{Lösung versteckt |
Achim und Alberta möchten ein dreieckiges Dach bauen. Leider sind sie vergesslich und wissen nur noch die Größen von 2 Winkeln und die dazwischenliegende Seitenlänge. Konstruiere das dreieckige Dach mit SWS. Gegeben sind a <math> = </math> 6cm, 𝝱  <math> = </math> 450 und  ɣ  <math> = </math> 70°. Führe dazu alle Schritte A-D '''in deinem Heft''' durch.
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:WSW 3.4 Lösung.png|thumb|Lösung für Aufgabe 3.4|400 px| center]] |2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}


B: Zeichne eine Planfigur. Markiere das Gegebene rot
==4. Training macht den Meister==


C: Konstruiere das Dreieck
{{Box|Aufgabe 4.1: Trainiere dein Wissen!|{{Lösung versteckt |
Nach einer stressigen Woche haben die Architekten Achim und Alberta einige Dinge über die Konstruktion von Dreiecken vergessen. Hilf ihnen, sich wieder an dieses Wissen zu erinnern und beantworte die folgenden Fragen. Dabei wählst aus verschiedenen Antworten die richtige aus, oder entscheidest, ob eine Behauptung richtig oder falsch ist! Klicke davor auf den Button "Alleine spielen"!


D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4| Hervorhebung1}}
{{LearningApp|app=pnvmzmsb224|width=100%|height=400px}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}


{{Box|Aufgabe 4.2: Erinnere dich an den Einstieg zurück!|{{Lösung versteckt |


Achim und Alberta wollen eine dreieckige Bühne konstruieren. Welche Größen müssen sie messen, um die Bühne zu konstruieren? Fülle den Lückentext aus.
[[Datei:Bühne1.png|thumb|Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta |rechts]]
{{LearningApp|app=pra4p3h2v24|width=60%|height=300px|links}}
Erinnere dich an den Einstieg zurück. Müssen Achim und Alberta mehr oder weniger Größen messen als du dachtest?
{{Lösung versteckt|1= Dreiecke lassen sich nach den Konstruktionssätzen SWS und WSW konstruieren. Achim und Alberta können also verschiedene Kombinationen von Größen messen. Diese sind:


'''Beispiel:'''
Hausseite a, Hausseite b und der Winkel γ


'''Gegeben:''' a = 3cm, b = 2cm, c = 4cm
Hausseite b, Hofseite c und der Winkel β


Hausseite a, Hofseite c und der Winkel α


'''Konstruktionsbeschreibung:'''


① Zeichne c = 4cm. Beschrifte A und B.
Hausseite a und die Winkel γ und β


② Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius b = 2cm.
Hausseite b und die Winkel α und β


③ Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius a = 3cm. Beschrifte den Schnittpunkt C.
Hofseite c und die Winkel α und β
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}


④ Verbinde C mit A und B.
==5. Triangle-Experts: Kann man mit drei Seiten immer ein Dreieck konstruieren?==
In diesem Kapitel lernst du, wann man ein Dreieck konstruieren kann, wenn alle drei Seiten bekannt sind.
{{Box|Aufgabe 5.1: Wann ist ein Dreieck konstruierbar?|{{Lösung versteckt |
Unten siehst du ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst.


== Schwierige Aufgabe: Wann ist ein Dreieck konstruierbar? ==
'''a)''' Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.
Unten siehst du ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst.
# a<math> = </math>3,  b<math> = </math>3,  c<math> = </math>3
# a<math> = </math>5,  b<math> = </math>4,  c<math> = </math>3
# a<math> = </math>8,  b<math> = </math>4,  c<math> = </math>3
# a<math> = </math>4,   b<math> = </math>9,   c<math> = </math>4


'''Aufgabe 1a)''' Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.
'''b)''' Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist.


# a=3  b=3  c=3
<ggb_applet id="PdRUrDxe" width="1000" height="601" border="888888" />
# a=5  b=4  c=3
{{Lösung versteckt|1= Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite?
# a=8  b=4  c=3
|2=Tipp zu Aufgabe 1b|3=Tipp verbergen}}
# a=4  b=9  c=4
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
'''Aufgabe 1b)''' Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist.
| Farbe = #5E43A5
}}


<ggb_applet id="PdRUrDxe" width="1000" height="601" border="888888" />
{{Lösung versteckt|Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite? |Tipp für Aufgabe 1b anzeigen|Tipp verbergen}}


{{Box|Aufgabe 5.2: Entscheide, was richtig ist|{{Lösung versteckt |
Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus! Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.
{{LearningApp|app=pkzd58un324|width=100%|height=400px}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #5E43A5
}}


{{Box|Aufgabe 5.3: Stelle einen Merksatz auf|{{Lösung versteckt |
Fülle den Lückentext aus, indem du aus den Vorschlägen das richtige Wort in die jeweilige Lücke setzt. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts. Schreibe dann den ausgefüllten Text auf dein Arbeitsblatt unter 4.3.
{{LearningApp|app=ph0i4nnut24|width=100%|height=350px}}
| Aufgabe anzeigen | Aufgabe verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #5E43A5
}}


'''Aufgabe 2:''' Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus!


'''Aufgabe 3:''' Fülle den Lückentext aus, indem du die untenstehenden Wörter in die richtigen Lücken ziehst. Schreibe den Satz dann auf dein Arbeitsblatt.
Super, du bist fertig! Gehe zurück zur Startseite [[Geometrie im Dreieck|Geometrie im Dreieck]] und bearbeite ein weiteres Kapitel!
{{LearningApp|app=ph0i4nnut24|width=100%|height=400px}}

Aktuelle Version vom 21. November 2024, 11:41 Uhr

Info

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du 3 Kongruenzsätze kennen, wie du Konstruktionsbeschreibungen erstellst und umsetzt.

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du das Grundlagen-bearbeiten.png Arbeitsblatt "Triangle Architects", einen Zirkel, ein Geodreieck und einen Bleistift.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • Aufgaben, die gelb gefärbt sind, solltest du zum Einstieg auf jeden Fall bearbeiten.
  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Aufgaben mit lilaner Farbe sind schwierige Aufgaben.
  • Immer wenn du Hilfe benötigst, kannst du die "Hilfe"-Kästchen öffnen. Tue dies aber wirklich nur, wenn es nötig ist.
  • Außerdem findest du unter den Texten auch "Worthilfen", in denen schwierige Wörter erklärt sind. Die erklärten Wörter sind im Text fett markiert.
Viel Erfolg!

1. Einstieg

Achim und Alberta sind verwirrt
Schloss Hülshoff mit der Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta

Zwischen Münster und Havixbeck steht die Burg Hülshoff. Vor etwa 200 Jahren wurde dort Annette Droste-Hülshoff geboren. Sie schrieb unter anderem das Gedicht "der Knabe im Moor". Zur Erinnerung an sie soll in den Burghof eine Bühne gebaut werden. Damit wurde das Architektenduo Achim-Alberta beauftragt. Das Duo hat bereits eine Idee und eine Skizze angefertigt (siehe Bilder). Heute wollen sie zum Schloss fahren und messen, wie groß die Bühne wird. Sie überlegen, welche Längen und Winkel sie messen müssen, um die Bühne genau zu konstruieren.

Abbildung 3: Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta

Kannst du ihnen helfen? Welche Größen müssen Sie messen, um die Bühne zu konstruieren? Beschäftige dich dabei zunächst nur mit der dreieckigen Grundfläche (Siehe Abbildung 3). Notiere dir die Größen, die sie deiner Meinung nach messen müssen, auf einem Schmierpapier. Gibt es verschiedene Kombinationen, die eine Konstruktion möglich machen? Überprüfe dich später selber.

Messbare Größen sind die Länge der Hausseite a, der Hausseite b und der Hausseite c und die Größe der Winkel α, β und γ


2. Ein Dreieck konstruieren mit Seite Winkel Seite (SWS)

In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennst. In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.


Anleitung

A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.

B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot.

C: Konstruiere das Dreieck.

  • 1. Zeichnne eine der gegebenen Seiten.
  • 2. Zeichne den gegebenen Winkel. Achte darauf, ihn an die richtige Seite zu zeichnen. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel.
  • 3. Messe an diesem Schenkel die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichne diese Seite ein. Hierfür kannst du gut einen Zirkel verwenden.
  • 4. Verbinde die beiden noch unverbundenen Punkte. Fertig ist das Dreieck.

Erinnerung: Alle Seiten, Winkel und Längen müssen beschriftet werden.

D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4

Konstruieren bedeutet, dass du eine geometrische Figur Schritt für Schritt erstellst. Dabei musst du sehr genau arbeiten.

Planfigur: Eine Planfigur ist eine kleine Zeichnung, in der noch nicht alle Längen, Winkel und Größen richtig eingetragen sind. Du markierst dir die gegebene Größen, Winkel, Seiten bunt und hast dadurch einen besseren Überblick.

Konstruktionsbeschreibung: Du schreibst in kleinen Schritten auf, wie du ein Dreieck gezeichnet hast.


Aufgabe 2.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen

Du sollst ein Dreieck mit b 2cm, α 50°, c 5cm konstruieren. Sortiere welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Bildern gehören. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.


Aufgabe 2.2: Konstruktionsbeschreibung sortieren

Du sollst wie zuvor ein Dreieck mit b 2cm, α 50°, c 5cm konstruieren. Sortiere die Schritte in die richtige Reihenfolge. Benutze Aufgabe 1 als Hilfe. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.


Aufgabe 2.3: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS

Grundlagen-bearbeiten.png Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b 5cm, c 9cm und α 55°. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion auf dem Arbeitsblatt "Triangle Architects" fertig.

Planfigur für Aufgabe 2.3
Lösung für Aufgabe 2.3


Aufgabe 2.4: Durchführung einer Konstruktion mit SWS

Grundlagen-bearbeiten.png Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind b 8cm, c 3cm und α 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.

Lösung für Aufgabe 2.4


Aufgabe 2.5: Durchführung einer Konstruktion mit SWS

Konstruiere das Dreieck mit SWS in deinem Heft. Gegeben sind a 5cm, b 2,5cm und ɣ 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.

Lösung für Aufgabe 2.5

3. Ein Dreieck konstruieren mit Winkel Seite Winkel (WSW)

In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.


Anleitung

A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.

B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot.

C: Konstruiere das Dreieck.

  • 1. Zeichne als erstes die gegebene Seite und beschrifte diese.
  • 2. Zeichne an ein Ende dieser Seite den ersten Winkel ein.
  • 3. Zeichne am anderen Ende der Seite den zweiten Winkel ein.

Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck! Beschrifte das Dreieck vollständig.

D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-3


Aufgabe 3.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen/ Bilder ordnen

Du sollst ein Dreieck mit c 5cm, α 55°, β 30° konstruieren. Ordne die Schritte der Konstruktionsbeschreibung den Bildern zu. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.


Aufgabe 3.2: Konstruktionsbeschreibung anfertigen/ Lückentext

Du sollst ein Dreieck mit c 4cm, α 50°, β 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.

Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen: Schnittpunkt, β = 40°, α = 50°,

c = 4cm.


Aufgabe 3.3: Durchführung einer Konstruktion mit WSW

Grundlagen-bearbeiten.png Konstruiere das Dreieck mit WSW auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind c 4cm, α 90° und 𝝱 50°. Führe dazu alle Schritte A-D durch. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion fertig.

Planfigur für Aufgabe 3.3
Lösung für Aufgabe 3.3


Aufgabe 3.4: Dachkonstruktion mit WSW

Achim und Alberta möchten ein dreieckiges Dach bauen. Leider sind sie vergesslich und wissen nur noch die Größen von 2 Winkeln und die dazwischenliegende Seitenlänge. Konstruiere das dreieckige Dach mit SWS. Gegeben sind a 6cm, 𝝱 450 und ɣ 70°. Führe dazu alle Schritte A-D in deinem Heft durch.

Lösung für Aufgabe 3.4

4. Training macht den Meister

Aufgabe 4.1: Trainiere dein Wissen!

Nach einer stressigen Woche haben die Architekten Achim und Alberta einige Dinge über die Konstruktion von Dreiecken vergessen. Hilf ihnen, sich wieder an dieses Wissen zu erinnern und beantworte die folgenden Fragen. Dabei wählst aus verschiedenen Antworten die richtige aus, oder entscheidest, ob eine Behauptung richtig oder falsch ist! Klicke davor auf den Button "Alleine spielen"!



Aufgabe 4.2: Erinnere dich an den Einstieg zurück!


Achim und Alberta wollen eine dreieckige Bühne konstruieren. Welche Größen müssen sie messen, um die Bühne zu konstruieren? Fülle den Lückentext aus.

Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta

Erinnere dich an den Einstieg zurück. Müssen Achim und Alberta mehr oder weniger Größen messen als du dachtest?

Dreiecke lassen sich nach den Konstruktionssätzen SWS und WSW konstruieren. Achim und Alberta können also verschiedene Kombinationen von Größen messen. Diese sind:

Hausseite a, Hausseite b und der Winkel γ

Hausseite b, Hofseite c und der Winkel β

Hausseite a, Hofseite c und der Winkel α


Hausseite a und die Winkel γ und β

Hausseite b und die Winkel α und β

Hofseite c und die Winkel α und β

5. Triangle-Experts: Kann man mit drei Seiten immer ein Dreieck konstruieren?

In diesem Kapitel lernst du, wann man ein Dreieck konstruieren kann, wenn alle drei Seiten bekannt sind.

Aufgabe 5.1: Wann ist ein Dreieck konstruierbar?

Unten siehst du ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst.

a) Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.

  1. a3, b3, c3
  2. a5, b4, c3
  3. a8, b4, c3
  4. a4, b9, c4

b) Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist.

GeoGebra
Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite?


Aufgabe 5.2: Entscheide, was richtig ist

Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus! Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.


Aufgabe 5.3: Stelle einen Merksatz auf

Fülle den Lückentext aus, indem du aus den Vorschlägen das richtige Wort in die jeweilige Lücke setzt. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts. Schreibe dann den ausgefüllten Text auf dein Arbeitsblatt unter 4.3.


Super, du bist fertig! Gehe zurück zur Startseite Geometrie im Dreieck und bearbeite ein weiteres Kapitel!

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