Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo: Unterschied zwischen den Versionen

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'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
|Titel des Projekts = Wissenschaftswoche 2024
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|Beschreibung des Projekts= Forschungsfrage: Wie kann man mit Hilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?
|Weitere Hinweise =
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Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.


=== Lineares Wachstum ===
=== Lineares Wachstum ===
Wenn eine Größe b absolut und konstant in einem zugehörigen Zeitabschnitt zu- oder abnimmt, spricht man von linearem Wachstum. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>


Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> wird die Rekursion(Zu-/Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t</math> verwendet.
Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.


Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum istunbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.
Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.


Deshalb können in der Realitätnur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch lineares Wachstum beschrieben werden, technische Vorgänge(beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) können ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es auch hier meistens eine Begrenzung(z.B. bedingt durch das Fassungsvermögender Badewanne).
Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>
 
[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]
 
[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
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=== Exponentielles Wachstum ===
=== Exponentielles Wachstum ===
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'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen  
'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen  


Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>
Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>


mit  <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>  
mit  <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>  


und  <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>
und  <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,


'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>
'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>
[[Datei:Exponential growth no name.svg|mini|zentriert]]


=== Logistische Modelle ===
Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.
 
wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>
 
[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]
 
[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]
 
=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.


Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert und es wird als Basismodell für Bevölkerungs-, Tierpopulations- und Pflanzenwachstum, Absatz für ein neues Produkt, Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.
Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.


Francois Verhulst hat es als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.
Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.


Anfangs verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, nach der Zeit flacht er dann ab, sodass der typisch s-förmige Verlauf entsteht.
Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.


Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>
Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>
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mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),  
mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),  


<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante  
<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>
 
zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>
 
<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>
 
[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]


[[Datei:Exam pass logistic curve.svg|mini|zentriert]]
===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:


=== Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen ===
Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>
Heute werden viele Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data(Verwendung von großen Datenmengen) bestimmt. Es gibt aber auch weniger bekannte Anwendungszwecke. Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte, jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolgen, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.


Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder person fär Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten besteht nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und v.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, nicht einsehbar ist, was dies Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen(z.B bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen.
Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Der
Film "Minority Report" (2002)<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report</ref>, beschäftigte sich mit Ansätzen teilen mit dieser Idee, aber insbesondere mit den Gefahren und Risiken, als auch den sozialen Aspekten. Hauptkrikpunkt ist der soziale Aspekt der fairen Behandlung, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und so unschuldige Menschen bestraft werden könnten. Besonders angreifbar in dieser Hinsicht ist der Einsatz von KI, die ihre Parameter selbst festlegt, da hier nicht einsehbar ist, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung(Wohnort und Hautfarbe, könnten fälschlicherweise auch als Parameter genutzt werden) kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.118 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>.


=== Blick in die Zukunft ===
===Blick in die Zukunft===
=== Literaturverzeichnis===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen.  Jedoch gibt es auch negative Aspekte für die KI-Nutzung in der Zukunft, beispielsweise ist eine Abhängigkeit und somit Abgrenzung von realen Menschen, durch eine realistischere Umsetzung verschiedener Programme, möglich. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>


# Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
===Literaturverzeichnis===
# Ableitinger, C., " Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1.Auflage 2010, S.29 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
<references />
# Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)

Aktuelle Version vom 5. Juli 2024, 09:30 Uhr

Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?

CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

Lineares Wachstum

Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe . Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante beschrieben. Die Differenzengleichung lautet:

Mit der Gleichung (= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel , () verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).[1]

Beispielaufgabe lineares Wachstum

Experiment lineares Wachstum

Lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum

Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand  

Beispiele: Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die Rekursionsgleichung lautet:

mit als Wachstumsfaktor

und als Wachstumsrate, %,

Lösung der Gleichung:

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei der Bestand zum Zeitpunkt ist und der Bestand zum Zeitpunkt [2]

Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum

Experiment Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

Logistisches Wachstum

Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst[3] hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Die Differenzialgleichung lautet:

mit , Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

die Größe zum Zeitpunkt t, Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, Konstante[4]

zum Lösen von Problemen wird meist die Regressionsgleichung verwendet:[5]

Beispielaufgabe logistisches Wachstum

logistisches Wachstum

Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen

Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends[6], ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.[7]

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Der Film "Minority Report" (2002)[8], beschäftigte sich mit Ansätzen teilen mit dieser Idee, aber insbesondere mit den Gefahren und Risiken, als auch den sozialen Aspekten. Hauptkrikpunkt ist der soziale Aspekt der fairen Behandlung, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und so unschuldige Menschen bestraft werden könnten. Besonders angreifbar in dieser Hinsicht ist der Einsatz von KI, die ihre Parameter selbst festlegt, da hier nicht einsehbar ist, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung(Wohnort und Hautfarbe, könnten fälschlicherweise auch als Parameter genutzt werden) kommen[9].

Blick in die Zukunft

Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Jedoch gibt es auch negative Aspekte für die KI-Nutzung in der Zukunft, beispielsweise ist eine Abhängigkeit und somit Abgrenzung von realen Menschen, durch eine realistischere Umsetzung verschiedener Programme, möglich. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.[10]

Literaturverzeichnis

  1. Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)
  2. Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)
  3. https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst
  4. Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)
  5. Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)
  6. https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends
  7. Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)
  8. https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report
  9. Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.118 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)
  10. Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)