Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden konstruieren

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du

• wie du Netze von Pyramiden zeichnen kannst.
• wie du aus einem Netz einen Körper falten kannst.
• wie du Schrägbilder von Pyramiden zeichnen kannst.

Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Rückblick und Motivation

Pyramide in Potsdam.

Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus). Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und Beispiele dafür nennen.

Einführung

Merksatz: Netz eines Körpers

Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.

Aufgabe 1: Zuordnung

Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können.

Halte deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt fest.

Mögliche Körper sind: Würfel, Zylinder, gleichseitiger Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, quadratische Pyramide (Pyramide mit quadratischer Grundfläche), Kegel.

Farbe des Netzes	Daraus herstellbarer Körper
Gelb	Dreiecksprisma
Hellblau	(gleichseitiger) Tetraeder oder Pyramide mit dreieckiger Grundfläche
Grün	Quader
Lila	quadratische Pyramide oder Pyramide mit quadratischer Grundfläche
Braun	Würfel

Netze entwerfen

Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 2: Pyramidennetz zeichnen

Zeichne auf einem separaten Blatt (nicht das Arbeitsblatt!) das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Grundkante soll dabei $5$ cm betragen und die Länge der Seitenhöhe soll $6$ cm sein.

Anleitung:

1. Zeichne zuerst ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ cm.
2. Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem M.
3. Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch M und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.
4. Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine $6$ cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
5. Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den beiden nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.

Deine Zeichnung sollte im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der Abbildung in Aufgabe 1.

Der regelmäßige Tetraeder

Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Ein Rechteck, ein Dreieck, ein Sechseck oder andere Vielecke als Grundfläche sind ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist). Dieser Körper heißt regelmäßiger Tetraeder.

Merksatz: Regelmäßiger Tetraeder

Ein regelmäßiger Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (gleichseitige Dreiecke sind auch gleichwinklig; alle drei Innenwinkel betragen jeweils $60^{\circ}$).

Aufgabe 3: Netz eines regelmäßigen Tetraeders

Zeichne nun das Netz eines regelmäßigen Tetraeders.

Wie sehen alle Flächen eines regelmäßigen Tetraeders aus?

Deine Zeichnung sollte dem hellblauen Netz im Bild der Aufgabe 1 ähnlich sein.

Körper herstellen

Vom Netz zum Körper

Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.

Aufgabe 4: Vom Netz zum Körper

a) Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen der Pyramide aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.

b) Stelle aus dem in Aufgabe 2 angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".

Schrägbilder zeichnen

Merksatz: Schrägbild

Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.

Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide

Bearbeite diese Aufgabe wieder auf dem Arbeitsblatt.

Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge $a = 5$ cm und Körperhöhe $h = 6$ cm, indem du wie folgt vorgehst:

1. Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du die "nach hinten weggehenden" Kanten
   • nur halb so lang wie eigentlich und
   • unter einem Winkel von $45^{\circ}$ (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).
2. Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.

Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem $45^{\circ}$ Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt.

Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders

Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders

Zeichne das Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind $4$ cm lang und die Höhe der Pyramide soll $6$ cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.

Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.

Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur $4.$ Minute an. [1]

Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel $60^{\circ}$ betragen.

Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute $4$): [2]

Sicherung

Lückentext

Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden

a) Vervollständige den Lückentext.

Folgende Begriffe kannst du einsetzen:

dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; $90^{\circ}$; unverzerrt; gleichseitig; $45^{\circ}$; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; $60^{\circ}$; doppelt so groß; verzerrt; rechter Winkel

b) Übertrage die richtige Lösung auf dein Arbeitsblatt.

Praktische Sicherung

Aufgabe 8: Auf dem Dach

Eine Scheune ist $40$ m lang und ebenso breit. Sie hat ein pyramidenförmiges, $15$ m hohes Dach. Die Seitenflächen dieses Dachs haben eine Seitenflächenhöhe von $25$ m.

a) Zeichne das Netz des Daches im Maßstab $1:1000$.

Im Maßstab $1:1000$ entsprechen $10$ m in der Realität $1$ cm in deiner Skizze.

Folgende Skizze zeigt eine mögliche Lösung.

b) Zeichne ein maßstabsgetreues Schrägbild des Scheunendaches im Maßstab $1:1000$.

Achte beim Vergleich mit deiner Lösung darauf, ob...

1. du die nicht sichtbaren Linien gestrichelt eingezeichnet hast.
2. dein Verzerrungswinkel $45^{\circ}$ beträgt.

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