Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden konstruieren: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du
* wie du '''Netze''' von Pyramiden zeichnen kannst.
* wie du aus einem Netz einen '''Körper''' falten kannst.
* wie du '''Schrägbilder''' von Pyramiden zeichnen kannst.


Dieser Lernpfad befindet sich aktuell im Aufbau.
Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!
{{Lösung versteckt|1=Titel|2=Inhalt|3=Fdfgdfgf}}
.
==Pyramiden konstruieren==
[[Datei:Pyramide Neuer-Garten-Potsdam.jpg|mini|Pyramide in Potsdam.]]
Wie ihr im letzten Kapitel schon gelernt habt, Begegnen uns Pyramiden sehr oft im Alltag.  


Fallen euch konkrete Beispiele ein?
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die <span style="color:#F19E4F">'''orange'''</span> gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color:#CD2990">'''pinker'''</span> Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit <span style="color:#5E43A5">'''lilanem'''</span> Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.


Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
===Rückblick und Motivation===
[[Datei:Pyramide Neuer-Garten-Potsdam.jpg|mini|Pyramide in Potsdam.]]
Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus). Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und Beispiele dafür nennen.


In diesem Kapitel lernst du Netze und Schrägbilder kennen.
===Einführung===


Beides findet unter anderem in der Architektur und dem Bauingenieurwesen Anwendung.
{{Box | Merksatz: Netz eines Körpers|2=Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.|3=Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
{{Box|Aufgabe 1: Zuordnung|Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können.


===0. Netze zuordnen===
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''Halte deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt fest.'''


Das Netz eines Körpers dient dazu, dessen Flächen (perspektivisch unverzerrt) in der Ebene darzustellen. Dies erleichtert auch das Zusammenbauen dieses Körpers, z.B. aus Papier.
{{Lösung versteckt|1=Mögliche Körper sind: Würfel, Zylinder, gleichseitiger Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, quadratische Pyramide (Pyramide mit quadratischer Grundfläche), Kegel.|2=Tipp|3=Ausblenden}}


Aufgabe: Ordne den unten dargestellten Netzen den Körpern zu, die daraus gebaut werden können (Würfel, Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, Quader, Dreiecksprisma, Pyramide mit quadratischer Grundfläche).
[[Datei:Netze farbig.png|zentriert|gerahmt]]
[[Datei:Netze farbig.png|zentriert|gerahmt]]


{{Lösung versteckt|1={{(!}} class=wikitable
! Farbe des Netzes
! Daraus herstellbarer Körper
{{!-}}
{{!}} Gelb
{{!}} Dreiecksprisma
{{!-}}
{{!}} Hellblau
{{!}} (gleichseitiger) Tetraeder '''oder''' Pyramide mit dreieckiger Grundfläche
{{!-}}
{{!}} Grün
{{!}} Quader
{{!-}}
{{!}} Lila
{{!}} quadratische Pyramide '''oder''' Pyramide mit quadratischer Grundfläche
{{!-}}
{{!}} Braun
{{!}} Würfel
{{!)}}|2=Lösung|3=Ausblenden}}|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


===1. Netze entwerfen===
===Netze entwerfen===
 
'''1.1. Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen'''
 
''Hinweis: Deine Zeichnung soll nach dieser Anleitung im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der obigen Abbildung.''
 
a) Zeichne zuerst ein Quadrat.
 
b) Zeichne als nächstes die Diagonalen in das Quadrat ein. Der Schnittpunkt der Diagonalen kennzeichnest du mit einem "S".
(Verwirrende Bezeichnung "S"?)
 
c) Markiere nun auf den Seiten des Quadrats die Punkte, die auf der Mitte der Seiten liegen, indem du folgendes für alle vier Seiten tust: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch S und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Trage diese Punkte ab und nenne sie A, B, C bzw. D.
 
d) Zeichne nun, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine 4cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
(Bezeichnung der Punkte?)
 
e) Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.
 
'''1.2. Tetraeder erkunden'''
 
Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Auch zum Beispiel ein Rechteck, Dreieck oder Sechseck können die Grundfläche einer Pyramide sein. Ein besonderer Fall einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist der Tetraeder.
 
{{Box|1=Spezialfall: Tetraeder|2=Ein Tetraeder ist eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und besteht insgesamt aus vier gleichseitigen Dreiecken.
[[Datei:Triangular Pyramid (Tetrahedron).svg|links|mini|Körper eines Tetraeders.]]|3=Merksatz}}<br />
a) Zeichne nun selber das Netz eines Tetraeders.
 
 
 
Wenn du Hilfe benötigst, kannst du die Anleitung verwenden.{{Lösung versteckt|1=1. Beginne mit der Grundfläche. Achte dabei darauf, dass diese ein gleichseitiges Dreieck ist und somit auch gleichwinklig ist.
 
2. Zeichne drei Hilfslinien ein. Von der Spitze des Dreiecks bis zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die Hilfslinien stehen dabei im 90° Winkel zur jeweiligen Seite. Bezeichne die Schnittpunkte mit A, B, und C.
 
3. Miss nun die Länge der Hilfslinien.
 
4. Zeichne nun von den Punkten A, B, C die Seitenhöhen ein. Diese sind genauso lang wie die Hilfslinien.
 
5. Verbinde nun die "Enden" der erstellten Strecken mit den nächstliegenden Ecken des Dreiecks, sodass drei Dreiecke entstehen, die die Grundfläche umschließen.
 
|2=Anleitung anzeigen|3=Anleitung verstecken}}
Um deine Zeichnung zu kontrollieren, kannst du sie mit der Musterlösung vergleichen.
{{Lösung versteckt|1=So sollte dein Netz aussehen.
 
[[Datei:Tetraeder Netz.png|links|mini|Netz eines Tetraeders]]
 
 
 
 


====Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen====
{{Box |Aufgabe 2: Pyramidennetz zeichnen|Zeichne auf einem separaten Blatt (nicht das Arbeitsblatt!) das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Grundkante soll dabei <math>5</math> cm betragen und die Länge der Seitenhöhe soll <math>6</math> cm sein.
{{Lösung versteckt|1='''Anleitung:'''


|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verstecken}}
# Zeichne zuerst ein Quadrat mit Seitenlänge <math>5</math> cm.
# Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem M.
# Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch M und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.
# Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine <math>6</math> cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
# Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den beiden nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.|2=Tipp|3=Ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Deine Zeichnung sollte im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der Abbildung in Aufgabe 1.|2=Lösung|3=Ausblenden}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}


Implementierung von Applet wie Geogebra: Pyramide zeichnen (3D), mit Regler so verschieben, dass es Tetraeder wird: Was fällt euch auf.
====Der regelmäßige Tetraeder====
Idee: Ecken der Grundflächen mit Regler verändern.
Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Ein Rechteck, ein Dreieck, ein Sechseck oder andere Vielecke als Grundfläche sind ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist). Dieser Körper heißt ''regelmäßiger Tetraeder''.


===2. Körper herstellen===
{{Box| Merksatz: Regelmäßiger Tetraeder|2=Ein regelmäßiger Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (gleichseitige Dreiecke sind auch gleichwinklig; alle drei Innenwinkel betragen jeweils <math>60^{\circ}</math>).
[[Datei:Triangular Pyramid (Tetrahedron).svg|mittig|zentriert|Schrägbild eines Tetraeders]]|3=Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
{{Box|Aufgabe 3: Netz eines regelmäßigen Tetraeders|Zeichne nun das Netz eines regelmäßigen Tetraeders.
{{Lösung versteckt|1=Wie sehen alle Flächen eines regelmäßigen Tetraeders aus?|2=Tipp|3=Ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Deine Zeichnung sollte dem hellblauen Netz im Bild der Aufgabe 1 ähnlich sein.|2=Lösung|3=Ausblenden}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


Eben hast du das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche und vielleicht auch das eines Tetraeders gezeichnet. Nun soll aus diesem Netz ein dreidimensionaler Körper durch Auffalten des Netzes hergestellt werden.
===Körper herstellen===


Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt. Ziehe den Schieberegler nach rechts, um die Mantelflächen der Pyramide aufzurichten. Um die Form der Pyramide zu verändern, kannst du deren Eckpunkte verschieben; dadurch wird auch das Netz verändert.  
====Vom Netz zum Körper====
Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.  


<ggb_applet id="Jhc3FeP8" width="1000" height="733" border="888888" />
{{Box|Aufgabe 4: Vom Netz zum Körper|
'''a)''' Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen der Pyramide aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.


<ggb_applet id="Jhc3FeP8" width="1000" height="733" />


'''2.1. Pyramide mit quadratischer Grundfläche'''
'''b)''' Stelle aus dem in Aufgabe 2 angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}


''Stelle aus dem eben angefertigen Netz aus 1.1. eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her.''
===Schrägbilder zeichnen===
{{Lösung versteckt|1=a) Nimm das Netz, was du in Aufgabe 1.1 erstellt hast und lege es vor dich hin. Falls du diese Aufgabe übersprungen hast, gehe zurück und zeichne ein Netz.


b) Schneide das Netz aus.
{{Box | Merksatz: Schrägbild |
Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.


c) Falte die Seitenflächen entlang der Kanten des Quadrats, jeweils an den Punkten A,B,C und D.
[[Datei:Schrägbild Würfel.png|zentriert|mini]] | Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}


d) Jetzt kannst du die Seitenflächen an der oberen Spitze zusammenfügen. Das ist dann die Spitze deiner Pyramide.
====Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen====
{{Box | Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''Bearbeite diese Aufgabe wieder auf dem Arbeitsblatt.'''


e) Du kannst deine Pyramide an den Seiten mit etwas Tesafilm fixieren, wenn du möchtest.
Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge <math>a = 5</math> cm und Körperhöhe <math>h = 6</math> cm, indem du wie folgt vorgehst:
|2=Anleitung anzeigen|3=Anleitung verstecken}}


# Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du die "nach hinten weggehenden" Kanten
#* nur halb so lang wie eigentlich und
#* unter einem Winkel von <math>45^{\circ}</math> (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).
# Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.


===3. Schrägbilder skizzieren===
{{Lösung versteckt|1=Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem <math>45^{\circ}</math> Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt.


{{Box|1=Definition|2=Schrägbilder:
<div style="width:calc(100% - 1rem); height:0; padding-bottom:62.2%;"><ggb_applet id="Z57aCNpm" width="1000" height="622"/></div>
Schrägbilder sind die Möglichkeit, ein 3-Dimensionalen Körper als eine 2-Dimensionale Zeichnung zu veranschaulichen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
So zeichnest du ein Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Beginne mit der Grundfläche. Zeichne diese wie gewohnt, die Kanten jedoch, die in die Tiefe (der Blattebene) zeigen sind sind nur halbsogroß, wie die in der Breite. Außerdem wichtig, die Kanten stehen in einem 45 Grad Winkel zueinander. Dieser Winkel wird auch Verzerrungswinkel genannt. Dabei bleibt die Vorderansicht unverändert. Die Seiten- und die Deckfläche werden hingegen verkürzt gezeichnet. Die schräg nach hinten laufenden Kanten sind auch kürzer als im Original. Parallele Kanten bleiben aber parallel.[[Datei:Schrägbild Würfel.png|zentriert|mini]]


|3=Merksatz}}
====Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders====
{{Box | Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders |
Zeichne das Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind <math>4</math> cm lang und die Höhe der Pyramide soll <math>6</math> cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.


{{Lösung versteckt|1=Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}


'''3.1. Pyramide mit quadratischer Grundfläche'''
{{Lösung versteckt|1=Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur <math>4.</math> Minute an. [https://www.youtube.com/watch?v=HmXIOIdtDU8]
Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel <math>60^{\circ}</math> betragen.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}


{{Lösung versteckt|1=Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute <math>4</math>): [https://www.youtube.com/watch?v=HmXIOIdtDU8]|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode}}


''Ziel: die räumliche Zeichnung (also das Schrägbild) einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche anfertigen''
===Sicherung===


a) Überlege wie du vorgehst, wenn du das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen kannst.
====Lückentext====
{{Box | Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden |
'''a)''' Vervollständige den Lückentext.


Zeichne ein Schrägbild mit Kantenlänge a= 5cm und der Höhe h= 6cm.
Folgende Begriffe kannst du einsetzen:  
{{Lösung versteckt|1=Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem 45°-Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt; die Fläche, auf der der Quader steht, heißt Grundfläche; die vier Seitenflächen ergeben zusammen die Mantelfläche. Zeichne auf der Fläche, der der Grundfläche gegenüberliegt (sozusagen die "Dachfläche") die beiden Diagonalen ein. Bezeichne deren Schnittpunkt mit S. Verbinde S mit den unteren vier Ecken des Quaders.<ggb_applet id="Z57aCNpm" width="1000" height="622" border="888888" />|2=Hinweis: Schrägbilder zeichnen|3=Hinweis verbergen}}


''dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; <math>90^{\circ}</math>; unverzerrt; gleichseitig; <math>45^{\circ}</math>; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; <math>60^{\circ}</math>; doppelt so groß; verzerrt; rechter Winkel''


'''3.2. Pyramide mit n-eckiger Grundfläche'''
{{LearningApp|width=100%|height=330px|app=27548524}}


''Ziel: das Schrägbild einer Pyramide mit n-eckiger anfertigen''
'''b)''' [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''Übertrage die richtige Lösung auf dein Arbeitsblatt.'''
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}


a) Überlege dir, welche Grundfläche deine Pyramide haben soll (Bsp.: dreieckige, quadratische, sechseckige Grundfläche).  
====Praktische Sicherung====
{{Box | Aufgabe 8: Auf dem Dach |
Eine Scheune ist <math>40</math> m lang und ebenso breit. Sie hat ein pyramidenförmiges, <math>15</math> m hohes Dach. Die Seitenflächen dieses Dachs haben eine Seitenflächenhöhe von <math>25</math> m.


b)  
'''a)''' Zeichne das Netz des Daches im Maßstab <math>1:1000</math>.


<br />
{{Lösung versteckt|1=Im Maßstab <math>1:1000</math> entsprechen <math>10</math> m in der Realität <math>1</math> cm in deiner Skizze.|2=Tipp zu a)|3=Tipp verbergen}}


======4 Sicherung======
{{Lösung versteckt|1=Folgende Skizze zeigt eine mögliche Lösung.
Lückentext oder Pyramide basteln lassen


'''4.1 Lückentext'''
[[Datei:Netz Scheunendach.pdf|zentriert|mini]]|2=Lösung zu a)|3=Lösung verbergen}}


'''b)''' Zeichne ein maßstabsgetreues Schrägbild des Scheunendaches im Maßstab <math>1:1000</math>.


{{Lösung versteckt|1=Achte beim Vergleich mit deiner Lösung darauf, ob...
# du die nicht sichtbaren Linien gestrichelt eingezeichnet hast.
# dein Verzerrungswinkel <math>45^{\circ}</math> beträgt.


'''4.2 Praktische Sicherung'''
[[Datei:Schrägbild Scheunendach.pdf|zentriert|mini]]|2=Lösung zu b)|3=Lösung verbergen}}


a) Eine Scheune ist 40m lang, 30m breit und hat eine Höhe von 10m. Das Dach dieser Scheune hat die Form einer Pyramide. Zeichne das Netz des Daches im Maßstab 1:100.
| Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}


b) Zeichne nun das Schrägbild dieser Pyramide ebenfalls maßstabsgetreu.
{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Pyramiden entdecken/Pyramiden vermessen}}


* Wähle eine n-eckige Grundfläche aus und zeichne das Netz dieser Pyramide.
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
Zeichne nun auch ein Schrägbild deiner Pyramide.
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Aktuelle Version vom 1. Dezember 2022, 07:46 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du

  • wie du Netze von Pyramiden zeichnen kannst.
  • wie du aus einem Netz einen Körper falten kannst.
  • wie du Schrägbilder von Pyramiden zeichnen kannst.

Am Ende folgt eine Sicherung der in diesem Kapitel behandelten Themen. Wir wünschen dir viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

Rückblick und Motivation

Pyramide in Potsdam.

Pyramiden begegnen uns nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in der realen Welt, wie z.B. in Architektur (Bild rechts) und Bauingenieurwesen (Konstruktion und Betrieb von Bauwerken des Hoch-, Verkehrs-, Tief- und Wasserbaus). Du kannst bereits Pyramiden im Alltag erkennen und Beispiele dafür nennen.

Einführung

Merksatz: Netz eines Körpers
Das Netz eines Körpers stellt diesen "auseinandergefaltet", also mit ausgebreiteten Flächen dar. Diese Darstellung erleichtert z.B. die Herstellung eines solchen Körpers aus Papier.
Aufgabe 1: Zuordnung

Ordne den unten dargestellten Netzen die Körper zu, die daraus hergestellt werden können.

Grundlagen-bearbeiten.png Halte deine Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt fest.

Mögliche Körper sind: Würfel, Zylinder, gleichseitiger Tetraeder (Pyramide mit dreieckiger Grundfläche), Quader, Dreiecksprisma, quadratische Pyramide (Pyramide mit quadratischer Grundfläche), Kegel.
Netze farbig.png
Farbe des Netzes Daraus herstellbarer Körper
Gelb Dreiecksprisma
Hellblau (gleichseitiger) Tetraeder oder Pyramide mit dreieckiger Grundfläche
Grün Quader
Lila quadratische Pyramide oder Pyramide mit quadratischer Grundfläche
Braun Würfel

Netze entwerfen

Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 2: Pyramidennetz zeichnen

Zeichne auf einem separaten Blatt (nicht das Arbeitsblatt!) das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Grundkante soll dabei cm betragen und die Länge der Seitenhöhe soll cm sein.

Anleitung:

  1. Zeichne zuerst ein Quadrat mit Seitenlänge cm.
  2. Zeichne nun in das Quadrat die beiden Diagonalen ein; deren Schnittpunkt kennzeichnest du mit einem M.
  3. Tu folgendes für alle vier Seiten des Quadrats: Lege das Geo-Dreieck so, dass eine Gerade entsteht, die durch M und senkrecht durch die jeweilige Seite verläuft. Somit erhältst du die vier Punkte, die mittig auf den Seiten liegen. Zeichne diese Punkte ein und nenne sie A, B, C bzw. D.
  4. Zeichne jetzt, von den vier mittig auf den Seiten liegenden Punkten A bis D ausgehend, jeweils eine cm-lange Strecke ein; diese beginnt jeweils in den Punkten A (bzw. B, C, D), steht senkrecht auf der jeweiligen Seite des Quadrats und führt vom Quadrat weg.
  5. Verbinde nun die "Enden" der soeben erstellten Strecken mit den beiden nächstliegenden Ecken des Quadrats, sodass vier Dreiecke entstehen, die das Quadrat umschließen.
Deine Zeichnung sollte im Wesentlichen so aussehen wie das lila dargestellte Netz aus der Abbildung in Aufgabe 1.

Der regelmäßige Tetraeder

Nicht alle Pyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Ein Rechteck, ein Dreieck, ein Sechseck oder andere Vielecke als Grundfläche sind ebenfalls möglich. Ein besonderer Fall ist die Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (womit die Grundfläche auch dreieckig ist). Dieser Körper heißt regelmäßiger Tetraeder.


Merksatz: Regelmäßiger Tetraeder

Ein regelmäßiger Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht (gleichseitige Dreiecke sind auch gleichwinklig; alle drei Innenwinkel betragen jeweils ).

Schrägbild eines Tetraeders
Aufgabe 3: Netz eines regelmäßigen Tetraeders

Zeichne nun das Netz eines regelmäßigen Tetraeders.

Wie sehen alle Flächen eines regelmäßigen Tetraeders aus?
Deine Zeichnung sollte dem hellblauen Netz im Bild der Aufgabe 1 ähnlich sein.

Körper herstellen

Vom Netz zum Körper

Eben hast du (mindestens) ein Körpernetz gezeichnet. Nun soll daraus ein dreidimensionaler Körper hergestellt werden. Nachfolgend ist die Herstellung einer Pyramide dargestellt.


Aufgabe 4: Vom Netz zum Körper

a) Bewege den Schieberegler, um die Seitenflächen der Pyramide aufzurichten oder abzusenken. Durch Verschieben der Eckpunkte kannst du die Gestalt der Pyramide verändern.

GeoGebra

b) Stelle aus dem in Aufgabe 2 angefertigten Netz eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche her. Fixiere die Mantelfläche mit Klebeband, um zu verhindern, dass sich die Pyramide wieder "öffnet".

Schrägbilder zeichnen

Merksatz: Schrägbild

Schrägbilder stellen dreidimensionale Körper zweidimensional dar.

Schrägbild Würfel.png

Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

Aufgabe 5: Schrägbild einer Pyramide

Grundlagen-bearbeiten.png Bearbeite diese Aufgabe wieder auf dem Arbeitsblatt.

Zeichne das Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Grundflächenkantenlänge cm und Körperhöhe cm, indem du wie folgt vorgehst:

  1. Zeichne zuerst die Grundfläche. Stell dir vor, die Grundfläche würde "nach hinten weggehen". Diese perspektivische Darstellung gelingt dir, indem du die "nach hinten weggehenden" Kanten
    • nur halb so lang wie eigentlich und
    • unter einem Winkel von (Verzerrungswinkel) zeichnest (siehe Abbildung oben).
  2. Vervollständige das Schrägbild. Zeichne dazu die Diagonalen als Hilfslinien ein. Zeichne die Höhe der Pyramide ein. Verbinde die Spitze mit den Eckpunkten der Grundfläche.

Die in die Tiefe, also nach hinten gehenden Seiten werden unter einem Winkel gezeichnet; nicht sichtbare Kanten werden gestrichelt dargestellt.

GeoGebra

Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders

Aufgabe 6: Schrägbild eines Tetraeders

Zeichne das Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders. Die Kanten der Grundfläche sind cm lang und die Höhe der Pyramide soll cm betragen. Beachte beim Zeichnen die Merkmale dieser besonderen Pyramide.

Fertige dir eine Hilfszeichnung an mit deiner Grundfläche an, um die passende Verzerrung des Schrägbildes zu ermitteln. Tipp: Die Grundfläche ist gleichwinklig.

Wenn du weitere Hilfestellung benötigst, schaue dir dieses Video bis zur Minute an. [1]

Hinweis: Es gibt auch die Möglichkeit, die Grundfläche mit Hilfe von Winkelmessungen anstatt mit dem Zirkel zu zeichnen, da die Grundfläche gleichwinklig ist und somit alle Winkel betragen.
Du kannst dir folgendes Video zum Vergleich deiner Lösung ansehen (ab Minute ): [2]

Sicherung

Lückentext

Aufgabe 7: Lückentext Pyramiden

a) Vervollständige den Lückentext.

Folgende Begriffe kannst du einsetzen:

dreidimensional; halb so lang; beliebig viele Ecken; ; unverzerrt; gleichseitig; ; Tetraeder; Körper; Schrägbild; zweidimensional; Quader; Verzerrungswinkel; ; doppelt so groß; verzerrt; rechter Winkel



b) Grundlagen-bearbeiten.png Übertrage die richtige Lösung auf dein Arbeitsblatt.

Praktische Sicherung

Aufgabe 8: Auf dem Dach

Eine Scheune ist m lang und ebenso breit. Sie hat ein pyramidenförmiges, m hohes Dach. Die Seitenflächen dieses Dachs haben eine Seitenflächenhöhe von m.

a) Zeichne das Netz des Daches im Maßstab .

Im Maßstab entsprechen m in der Realität cm in deiner Skizze.

Folgende Skizze zeigt eine mögliche Lösung.

Netz Scheunendach.pdf

b) Zeichne ein maßstabsgetreues Schrägbild des Scheunendaches im Maßstab .

Achte beim Vergleich mit deiner Lösung darauf, ob...

  1. du die nicht sichtbaren Linien gestrichelt eingezeichnet hast.
  2. dein Verzerrungswinkel beträgt.
Schrägbild Scheunendach.pdf
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