Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Geraden im Raum: Unterschied zwischen den Versionen
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}} | }} | ||
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, | Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt: | ||
{{#ev:youtube|cCetvDxbTQk}} | |||
{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe 1: Geradengleichung | |Aufgabe 1: Parameter einer Geradengleichung | ||
|Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt <math>A</math>, Richtungsvektor <math>\vec{v}</math> und Parameter <math>t</math> abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt <math>P</math>, wenn du <math>t < 0</math>, <math>t = 0</math> und <math>t > 0</math> wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade <math>g</math> anzeigen lassen. | |Im Folgenden kannst du sehen, wie die Gerade vom Stützpunkt <math>A</math>, Richtungsvektor <math>\vec{v}</math> und Parameter <math>t</math> abhängt. Wähle verschiedene Stützpunkte und Richtungsvektoren und verändere den Parameter. Wo liegt der Punkt <math>P</math>, wenn du <math>t < 0</math>, <math>t = 0</math> und <math>t > 0</math> wählst? Was bedeutet dies anschaulich? Dazu kannst du dir auch die Gerade <math>g</math> anzeigen lassen. | ||
<ggb_applet id="avyg7hmy" width=" | <ggb_applet id="avyg7hmy" width="1000" height="509" /> | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
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}} | }} | ||
|Arbeitsmethode | |||
|Farbe={{Farbe|orange}} | |||
}} | |||
Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II): | {{Box | ||
|Aufgabe 2: Geradengleichung aufstellen (zwei gegebene Punkte) | |||
|Bearbeite nun entweder die analoge Aufgabe (I) oder die digitale Aufgabe (II): | |||
(I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. | (I) Die Gerade <math>g</math> geht durch die Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Gib zwei Gleichungen für <math>g</math> an. | ||
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'''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math> | '''b)''' <math>A(-3|{-}2|9), B(0|0|3)</math> | ||
Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben! | {{Lösung versteckt | ||
|Wie du im obigen Video gesehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen, denn es sind immer Vielfache des Richtungsvektors möglich. Daher ist es möglich, dass deine Lösung hier zwar nicht aufgefürt, aber dennoch korrekt ist. Dazu überprüfe, ob dein Richtungsvektor ein Vielfaches einer der angegeben Richtungsvektoren ist. Beachte das auch bei allen folgenden Aufgaben! | |||
Zwei mögliche Geraden sind <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math> und <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math>. | |||
|Lösung Aufgabe a) anzeigen | |Lösung Aufgabe a) anzeigen | ||
|Lösung Aufgabe a) verbergen | |Lösung Aufgabe a) verbergen | ||
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{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe | |Aufgabe 3: Geradengleichung aufstellen aus Punkt und Richtungsvektor | ||
|Stelle jeweils eine Geradengleichung auf. | |Stelle jeweils eine Geradengleichung auf. | ||
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{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe | |Aufgabe 4: Punktprobe mit einer Geraden I | ||
|Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. | |Überprüfe, ob der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt. | ||
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{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe | |Aufgabe 5: Punktprobe mit einer Geraden II | ||
|Für welche Werte <math> s, r \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>? | |Für welche Werte <math> s, r \in \mathbb{R} </math> liegt der Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 9 \\ -s \\ 2s \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>? | ||
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{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe | |Aufgabe 6: Besondere Geraden im Raum | ||
|Kreuze alle(!) richtigen Antworten an! | |Kreuze alle(!) richtigen Antworten an! | ||
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===Spurpunkte einer Geraden=== | ===Spurpunkte einer Geraden=== | ||
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du | Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du hier noch einmal nachvollziehen: | ||
{{#ev:youtube|OCO28fT5Aww}} | |||
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: | Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen: | ||
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{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe | |Aufgabe 7: Spurpunkte einer Geraden (Besondere Lage) | ||
|Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du den Aufpunktvektor <math>vec{a}</math> und den Richtungsvektor <math>vec{u}</math> mit den Schiebereglern entsprechend anpassen. Anschließend kannst du dir die drei Spurpunkte und ggf. auch die Ebenen anzeigen lassen, indem du das entsprechende Feld ankreuzt. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen: | |Hier kannst du dir die Spurpunkte von verschiedenen Geraden anzeigen lassen. Dazu kannst du den Aufpunktvektor <math>\vec{a}</math> und den Richtungsvektor <math>\vec{u}</math> mit den Schiebereglern entsprechend anpassen. Anschließend kannst du dir die drei Spurpunkte und ggf. auch die Ebenen anzeigen lassen, indem du das entsprechende Feld ankreuzt. Dann kannst du dir die Koordinatebenen mit den verschiedenen Schnittpunkten anzeigen lassen: | ||
<ggb_applet id="ynkzgreu" width=" | <ggb_applet id="ynkzgreu" width="1000" height="571" /> | ||
Untersuche die Geraden, die aus folgenden Aufpunkt- und Richtungsvektoren hervorgehen, auf Spurpunkte und schreibe die Spurpunkte auf. Was sagt die Lage der Geraden über die Anzahl der Spurpunkte aus? | Untersuche die Geraden, die aus folgenden Aufpunkt- und Richtungsvektoren hervorgehen, auf Spurpunkte und schreibe die Spurpunkte auf. Was sagt die Lage der Geraden über die Anzahl der Spurpunkte aus? | ||
'''a)''' <math>vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> | '''a)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> | ||
'''b)''' <math>vec{a} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> | '''b)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> | ||
'''c)''' <math>vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> | '''c)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math> | ||
'''d)''' <math>vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}</math> | '''d)''' <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1,5 \end{pmatrix}</math> | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
Zeile 361: | Zeile 368: | ||
{{Lösung versteckt | {{Lösung versteckt | ||
|Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(3|0|0)</math> und <math>S_{23}(0|0|{-}1,5)</math>. Da die Gerade innerhalb der <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie unendlich viele Schnittpunkte mit dieser. | |Die zwei Spurpunkte lauten <math>S_{12}(3|0|0)</math> und <math>S_{23}(0|0|{-}1,5)</math>. Da die Gerade innerhalb der <math>x_1x_3</math>-Ebene verläuft, hat sie unendlich viele Schnittpunkte mit dieser. | ||
|Lösung Aufgabe | |Lösung Aufgabe d) anzeigen | ||
|Lösung Aufgabe | |Lösung Aufgabe d) verbergen | ||
}} | }} | ||
Zeile 368: | Zeile 375: | ||
|Farbe={{Farbe|orange}} | |Farbe={{Farbe|orange}} | ||
}} | }} | ||
{{Box | {{Box | ||
|Aufgabe | |Aufgabe 8: Spurpunkte einer Geraden | ||
|Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math>. | |Berechne die Spurpunkte der Geraden <math>g</math>. | ||
Zeile 391: | Zeile 397: | ||
|# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -2</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. | |# Für den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_2</math>-Ebene setze die <math>x_3</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -2</math>. Setze nun <math>r = -2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{12}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. | ||
# Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math> | # Für den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_1x_3</math>-Ebene setze die <math>x_2</math>-Koordinate <math>= 0</math> und forme nach <math>r</math> um: <math>0 = -4 + r \cdot 2 \Leftrightarrow r = 2</math>. Setze nun <math>r = 2</math> in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt <math>S_{13}</math> zu erhalten: <math>\vec{S_{13}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}</math> | ||
# Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math> | # Für den Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene setze die <math>x_1</math>-Koordinate <math>= 0</math>: <math>0 = 1 + r \cdot 0 \Leftrightarrow 0 = 1</math>. Es ergibt sich ein Widerspruch, weshalb es keinen Schnittpunkt <math>S_{23}</math> der Geraden <math>g</math> mit der <math>x_2x_3</math>-Ebene gibt. Somit verläuft <math>g</math> parallel zur <math>x_2x_3</math>-Ebene. | ||
|Lösung Aufgabe b) anzeigen | |Lösung Aufgabe b) anzeigen | ||
|Lösung Aufgabe b) verbergen | |Lösung Aufgabe b) verbergen | ||
Zeile 436: | Zeile 442: | ||
|3=Merksatz}} | |3=Merksatz}} | ||
{{Box|1= Aufgabe | {{Box|1= Aufgabe 9: Lage erkennen|2=Löse das Quiz und mache dir deinen eigenen Lernzettel. | ||
{{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}} | {{LearningApp|app=19038875|width=100%|height=554px}} | ||
Zeile 442: | Zeile 448: | ||
{{Box|1= Aufgabe | {{Box|1= Aufgabe 10: Lage zweier Geraden|2=Löse den Lückentext und mache dir deinen eigenen Lernzettel. | ||
{{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}} | {{LearningApp|app=19689096|width=100%|height=554px}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|1= Aufgabe | {{Box|1= Aufgabe 11: Lage erkennen|2= Betrachte die folgenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math>. Wie verlaufen die Geraden zueinander. Entscheide ohne Nutzung des GTR. | ||
'''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + | '''a)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}</math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
'''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + | '''b)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
'''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, | '''c)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}} | {{Lösung versteckt|1= Hier brauchst du kaum rechnen. Schaue dir die Aufpunkte nochmal genau an. |2= Tipp zu c|3= Tipp zu c}} | ||
'''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} | '''d)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
'''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + | '''e)''' <math>g \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math> und <math>h \colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} </math> | ||
{{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}} | {{Lösung versteckt|1= Die erste Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind ''identisch''. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren mit <math> 2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} </math> ein Vielfaches voneinander (=kollinear) sind. Da beide Stützvektoren identisch sind, weißt du, dass der Punkt <math>(2|2|5)</math> auf beiden Geraden liegt und somit die beiden Geraden ''identisch'' sind.|2=Lösung Aufgabe a |3=Lösung Aufgabe a}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> | {{Lösung versteckt|1= Die zweite Antwort lautet ''parallel''. Die beiden Geraden sind ''parallel''. Während die beiden Richtungsvektoren kollinear, sogar identisch, sind liegt der Aufpunkt <math>(2|2|2)</math> von der Gerade <math>h</math> nicht auf der Geraden von <math> g</math> | ||
<math> \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>, mit | |||
<math>\left\vert\begin{alignat}{7} | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
Zeile 485: | Zeile 493: | ||
Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir | Formen wir weiter zu <math>r</math> um, erhalten wir | ||
<math> | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
1 &&\; = \;&& r\\ | |||
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden | 0.5 &&\; =\;&& r\\ | ||
0.333 &&\; =\;&& r | |||
\end{alignat}\right\vert</math> | |||
und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden.|2=Lösung Aufgabe b|3=Lösung Aufgabe b}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die dritte Antwort lautet ''schneiden''. Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear und damit ''schneiden'' sich die beiden Geraden im Aufpunkt <math>(1|2|3)</math> selbst.|2=Lösung Aufgabe c|3=Lösung Aufgabe c}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen. | {{Lösung versteckt|1= Die vierte Antwort lautet ''windschief''. Die beiden Geraden sind ''windschief'' zueinander. Dies kannst du wie folgt berechnen. | ||
<math>\left\vert\begin{alignat}{7} | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& | 1 &&\; +\;&& r\cdot1 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot1\\ | ||
1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\ | 1 &&\; +\;&& r\cdot2 &&\; =\;&& 3 &&\; +\;&& t\cdot4\\ | ||
Zeile 502: | Zeile 518: | ||
Dies formen wir um: | Dies formen wir um: | ||
<math>\left\vert\begin{alignat}{7} | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& | r\cdot1 &&\; -\;&& t\cdot1 &&\; = \;&& 2 \\ | ||
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\ | r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\ | ||
Zeile 513: | Zeile 529: | ||
<math>\left\vert\begin{alignat}{7} | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& | r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot2 &&\; = \;&& 4 \\ | ||
r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\ | r\cdot2 &&\; -\;&& t\cdot4 &&\; = \;&& 2 \\ | ||
Zeile 534: | Zeile 550: | ||
erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander. | erhälst du <math>t=1</math>. Wenn du dies in die zweite Zeile einsetzt, erhälst du für <math>r=3</math>. Setzt du dies in die letzte Zeile ein, erhälst du <math>6=3</math>, eine falsche Aussage. Damit sind die beiden Geraden windschief zueinander. | ||
|2=Lösung Aufgabe | |2=Lösung Aufgabe d|3=Lösung Aufgabe d}} | ||
{{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden h auf der Geraden g liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}} | {{Lösung versteckt|1= Die fünfte Antwort lautet ''identisch''. Die beiden Geraden sind identisch. Dies sehen wir daran, dass die Richtungsvekoren identisch sind (<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>) und der Aufpunkt <math>(2|3|4)</math> der Geraden <math>h</math> auf der Geraden <math>g</math> liegt: <math>\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>. |2=Lösung Aufgabe e|3=Lösung Aufgabe e}} | ||
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }} | |Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode }} | ||
Zeile 541: | Zeile 557: | ||
{{Box|1= Aufgabe | {{Box|1= Aufgabe 12: Flugerlaubnis erteilen?|2= | ||
Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. | Ein wichtiger Bestandteil der Flugsicherung sind die Fluglotsen der "Deutschen Flugsicherung" (DFS). Sie koordinieren und überwachen jährlich Millionen Flüge im deutschen Luftraum. Fluglotsenschüler Karl überwacht gerade zwei Flugzeuge. Hierzu gehört das Flugzeug der Fluglinie Aer. Es befindet sich bei <math> \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}</math> und fliegt innerhalb von 5 Sekunden zum Punkt <math> \begin{pmatrix} 510 \\ 410 \\ 350 \end{pmatrix}</math>. Ebenfalls ist das Flugzeug der Fluglinie Amadeus in die Luft. Dies befindet sich in <math> \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}</math>. Pro Sekunde legt es eine Strecke von <math>175{,}49</math> m zurück und besitzt einen Richtungsvektor von <math> \begin{pmatrix} 120{,}2 \\ 96{,}4 \\ z \end{pmatrix}</math>. | ||
Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher. | Es kam zu einem riesigen Stromausfall und der Fluglotse ist sich unsicher, ob die beiden Flugzeuge ohne Probleme weiterfliegen können oder kollidieren. Hilf ihm die Antworten auf folgende Fragen zu finden: | ||
'''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge? | '''a)''' Wie lauten die Geradengleichungen der einzelen Flugzeuge? | ||
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\end{alignat}\right\vert</math> | \end{alignat}\right\vert</math> | ||
und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math> | und formst dann zu <math>x</math>,<math>y</math> und <math>z</math> um: | ||
<math>\left\vert\begin{alignat}{7} | <math>\left\vert\begin{alignat}{7} | ||
100 &&\; =\;&& x\\ | 100 &&\; =\;&& x\\ | ||
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Dies erhälst du wie folgt: | Dies erhälst du wie folgt: | ||
Du kennst den Richtungsvektor: | Du kennst den Richtungsvektor: | ||
<math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ | <math> \begin{pmatrix} 120{,}2\\ 96{,}4 \\ z\end{pmatrix}</math>. Nun musst du <math>z</math> berechnen. Im Text steht, dass das Flugzeug pro Sekunde eine Strecke von <math>175{,}49</math> m fliegt. Das bedeutet, dass der Richtungsvektor eine Länge von <math>175{,}49</math> besitzt. Dies kannst du mit der Formel der Länge eines Vektor berechnen: | ||
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Indem du beide Seiten zum | Indem du beide Seiten zum Quadart nimmst, entfällt die Wurzel und es folgt: | ||
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Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math>. | Du formst zu <math>z^{2}</math> um und ziehst dann die Wurzel. Du erhälst gerundet <math>84</math> und <math>-84</math>. Da es sich hier jedoch nicht um ein U-Boot handelt, welches abtaucht, sondern um ein Flugzeug, welches in die Höhe geht, ist hier <math>84</math> die einzig mögliche Antwort. | ||
|2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}} | |2=Lösung Aufgabe a|3=Lösung Aufgabe a}} | ||
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<math> L=145{,}95</math>. | <math> L=145{,}95</math>. | ||
Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math>=1 <math>\tfrac{m}{s}</math>. | Du erhälst also eine Geschwindigkeit von <math>145{,}95</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. Es gilt: <math>3{,}6</math> <math>\tfrac{km}{h}</math><math>=1</math> <math>\tfrac{m}{s}</math>. | ||
Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also: | Umgerechnet in <math>\tfrac{km}{h}</math> sind das also: | ||
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Aktuelle Version vom 23. Juni 2021, 17:42 Uhr
Geraden und ihre Darstellungsformen
Parameterdarstellung einer Geraden
Wie du nun eine Parametergleichung durch zwei gegebene Punkte aufstellst, wird im folgenden Video erklärt:
Du kannst aber auch eine Gerade aufstellen, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einer anderen Gerade oder zu einer der Koordinatenachsen ist.
Punktprobe
Wie du überprüfst, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Gerade oder daneben liegt, kannst du hier noch einmal nachschauen.
Hier noch eine Aufgabe zu Geraden mit besonderen Lagen im Koordinatensystem:
Spurpunkte einer Geraden
Wie du die Spurpunkte, also die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen bestimmst, kannst du hier noch einmal nachvollziehen:
Falls du nicht mehr weißt, was die Koordinatenebenen sind, kannst unter folgendem Tipp noch einmal dein Wissen auffrischen:
Die -Ebene ist die Ebene, die von der - und -Achse aufgespannt wird (im Bild genannt). Entsprechendes gilt für die - (im Bild ) und -Ebene (im Bild ).
Lagebeziehungen von Geraden
Parallele und identische Geraden