Benutzer:Buss-Haskert/Zinseszins: Unterschied zwischen den Versionen
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SEITE IM | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | ||
<br> | |||
SEITE IM AUFBAU!! | |||
==Wachstum - Zinseszins== | ==Wachstum - Zinseszins== | ||
{{Box|Zinseszins|In diesem Lernpfad lernst du | {{Box|Zinseszins|In diesem Lernpfad lernst du | ||
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* welche Bedeutung Zinseszinsen für Kapitalanlage haben, | * welche Bedeutung Zinseszinsen für Kapitalanlage haben, | ||
* welcher Unterschied zwischen der Geldanlage mit und ohne Zinseszinsen besteht.|Lernpfad}} | * welcher Unterschied zwischen der Geldanlage mit und ohne Zinseszinsen besteht.|Lernpfad}} | ||
===Vorwissen=== | |||
{{Box|Vorwissen: Zinsrechnung: Jahres-,Monats- und Tageszinsen|Wiederhole dein Wissen zur Zinsrechnung mithilfe der Aufgaben in der [https://www.anton.de '''ANTON App''']. Klasse 10c: Das hast du ja schon in der Wochenaufgabe der letzten Woche erledigt!|Üben}}<br> | |||
===Einstieg: Sparschwein=== | ===1) Einstieg: Sparschwein=== | ||
[[Datei:Moneybox- | {{Box|Sparschwein|Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.|Arbeitsmethode}} | ||
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus. | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div> | |||
<div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div> | |||
</div> | |||
<br> | |||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br> | <div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br> | ||
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{{!)}} | {{!)}} | ||
</div> | </div> | ||
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br> | <div class="width-1-2">2. Möglichkeit: <br>Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br> | ||
K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br> | K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br> | ||
{{(!}} class=wikitable | {{(!}} class=wikitable | ||
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{{!}} 18 | {{!}} 18 | ||
{{!}} ... | {{!}} ... | ||
{{!)}} | {{!)}} | ||
</div> | </div> | ||
</div> | |||
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02<br> | |||
{{#ev:youtube|RPFoUkR9PvA|800|center|||start=160&end=210}} | |||
<br> | |||
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst? | Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst? | ||
<div class="grid"> | <div class="grid"> | ||
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | ||
K<sub>18</sub> = ...</div> | K<sub>18</sub> = ...</div> | ||
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren: | <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br> | ||
K<sub>18</sub> = ...</div> | K<sub>18</sub> = ...</div> | ||
</div> | </div> | ||
<br> | |||
{{Box|Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins|Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.<br> | |||
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals. <br> | |||
blau: einfache Verzinsung<br> | |||
rot: Zinseszins<br> | |||
Was fällt dir auf?|Arbeitsmethode}} | |||
<ggb_applet id="prrakbnx" width="900" height="700" border="888888" /> | |||
<small>nach Pöchtrager | |||
</small> | |||
<br> | |||
{{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br> | |||
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br> | |||
'''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br> | |||
<br> | |||
'''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> mit q = 1+p%'''</big>'''<br> | |||
<br> | |||
Beispiel:<br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br> | |||
ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br> | |||
<br> | |||
K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br> | |||
= 2406,62 (€)<br> | |||
Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br> | |||
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q. | |||
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=132&end=193}}|Video zum Zusammenhang zwischen p% und q (bei Bedarf)|Verbergen}} | |||
<br> | |||
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum. | |||
<br> | |||
{{Box|1=Übung 1 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | |||
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen) | |||
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>) | |||
* 3 (Nutze die Zinseszinsformel K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>)|3=Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):<br> | |||
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 2|a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.<br> | |||
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5<br> | |||
K<sub>5</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>5</sup> <br> | |||
= 7500 ∙ 1,015<sup>5</sup><br> | |||
= 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | |||
===2) Umstellen der Zinseszinsformel=== | |||
*<big> Formel umstellen nach K<sub>0</sub></big> ("Wie hoch war das Startkapital...?):<br><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:q<sup>n</sup><br> | |||
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K<sub>0</sub><br> | |||
<br> | |||
<br> | |||
*<big>Formel umstellen nach q </big>("Mit welchem Prozentsatz ...?):<br><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:K<sub>0</sub><br> | |||
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = q<sup>n</sup> |<math>\sqrt[n]{}</math><br> | |||
<math>\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}</math> = q<br> | |||
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.<br> | |||
{{Lösung versteckt|Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild<br> | |||
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}} | |||
<br><br> | |||
*<big>Formel umstellen nach n </big>("Nach wie vielen Jahren...?"):<br><br> | |||
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später. <br> | |||
Löse hier also durch '''Probieren'''!<br> | |||
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.<br> | |||
<br><br> | |||
{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}} | |||
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}} | |||
{{Box|Übung 3 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] | |||
* 5 | |||
* 6 | |||
* 7 | |||
* 8 | |||
* 9|Üben}} | |||
{{Box|Übung 4 |Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | |||
* S. 73 Nr. 3|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) geg:...<br> | |||
ges: q; K<sub>n</sub><br> | |||
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015<br> | |||
K<sub>5</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>5</sup> Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=b) geg:...<br> | |||
ges: p%; K<sub>n</sub><br> | |||
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%<br> | |||
Berechne K<sub>n</sub> durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=c) geg: ...<br> | |||
ges: K<sub>0</sub>; p%<br> | |||
Stelle die Formel nach K<sub>0</sub> um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ...<br> | |||
ges: q und p%<br> | |||
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.<br> | |||
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu Nr. 3d|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ...<br> | |||
ges: q; n<br> | |||
q = 1 + p% = ...<br> | |||
Bestimme n durch Probieren.<br> | |||
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 5 - Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | |||
* S. 73 Nr. 5 (**) | |||
* S. 79 Nr. 1 | |||
* S. 83 Nr. 10 | |||
* S. 87 Nr. 6 | |||
* S. 87 Nr. 7 | |||
|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K<sub>0</sub> = 1000€<br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 1000€; K<sub>n</sub> = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018<br> | |||
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K<sub>n</sub> mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote:<br> | |||
Angebot A: <br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre<br> | |||
ges: K<sub>n</sub><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> Setze ein und berechne.<br> | |||
<br> | |||
Angebot B:<br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K<sub>7</sub> gibt es zusätzlich 10%.<br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> Setze ein und berechne.<br> | |||
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K<sub>7</sub> noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:<br> | |||
Endkapital K<sub>Ende</sub> = K<sub>7</sub> ∙ 1,1 ...<br> | |||
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) geg: K<sub>0</sub> = 2800€; n = 5; K<sub>5</sub> = 3607,75€;<br> | |||
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).<br> | |||
b) K<sub>0</sub> = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; K<sub>n</sub> = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")<br> | |||
ges: n <br> | |||
Löse durch Probieren!<br> | |||
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K<sub>8</sub> = 6776,25€<br> | |||
ges: K<sub>0</sub><br> | |||
Stelle die Zinseszinsformel nach K<sub>0</sub> um und setzte die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)|Tipp zu Nr. 6 und 7|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)<br> | |||
K<sub>0</sub> = 500€; K<sub>0</sub> = 4500€<br> | |||
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; <br> | |||
q=1,015; q = 1,01; q =1,03<br> | |||
K<sub>n</sub>=8079,63€; K<sub>n</sub> = 11685,39€; K<sub>n</sub> = 11098,45€<br> | |||
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 4 und 5|3=Verbergen}} | |||
===3) Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation=== | |||
Du kannst auch eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Zinseszinsen nutzen. Das Video zeigt dir eine Möglichkeit. Kannst du eine weitere Möglichkeit angeben? Dann schicke die Datei als Mailanhang an deine Mathelehrerin/deinen Mathelehrer. | |||
{{#ev:youtube|7Q9IpqnDmZ4|800|center|||start=224&end=321}} | |||
Aktuelle Version vom 15. Februar 2021, 09:54 Uhr
SEITE IM AUFBAU!!
Wachstum - Zinseszins
Vorwissen
1) Einstieg: Sparschwein
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.
1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
| Jahre | Guthaben(€) |
| 0 | 1000 |
| 1 | 1050 |
| 2 | 1100 |
| 3 | 1150 |
| ... | ... |
| 18 | ... |
2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
| Jahre | Guthaben(€) |
| 0 | 1000 |
| 1 | 1050 |
| 2 | 1102,50 |
| 3 | 1157,625 |
| ... | ... |
| 18 | ... |
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
K18 = ...
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
K18 = ...
nach Pöchtrager
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):
Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
2) Umstellen der Zinseszinsformel
- Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn |:qn
= K0
- Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn |:K0
= qn |
= q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.
Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild
- Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3) Berechnung von Zinseszinsen mit einer Tabellenkalkulation
Du kannst auch eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Zinseszinsen nutzen. Das Video zeigt dir eine Möglichkeit. Kannst du eine weitere Möglichkeit angeben? Dann schicke die Datei als Mailanhang an deine Mathelehrerin/deinen Mathelehrer.
