Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)|2=Tipp zu Nr. 14b|3=Verbergen}} | {{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)|2=Tipp zu Nr. 14b|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.|2=Tipp zu Nr. | {{Lösung versteckt|1=Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.|2=Tipp zu Nr. 14c|3=Verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².<br> | |||
Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.|2=Tipp zu 14d|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.<br> | {{Lösung versteckt|Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.<br> | ||
Lösung zu a) 22 Quadrate<br> | Lösung zu a) 22 Quadrate<br> | ||
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Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von <math>\sqrt{2}</math> auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:<br> | Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von <math>\sqrt{2}</math> auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:<br> | ||
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(von W. Wengler)<br> | <small>(Applet von W. Wengler)</small><br><br><br> | ||
<math>\sqrt{2}</math> hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen. | <math>\sqrt{2}</math> hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.<br><br> | ||
{{Box|Irrationale Zahlen|Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.|Arbeitsmethode}}<br><br> | {{Box|Irrationale Zahlen|Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.|Arbeitsmethode}}<br><br> | ||
Den meisten ist es zwar egal, doch <math>\sqrt{2}</math> ist irrational... | Den meisten ist es zwar egal, doch <math>\sqrt{2}</math> ist irrational... | ||
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===4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel=== | ===4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel=== | ||
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Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, | Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, musst du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt: | ||
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2<math>\cdot</math>2<math>\cdot</math>2 = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:<br> | 2<math>\cdot</math>2<math>\cdot</math>2 = 2<sup>3</sup> = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:<br> | ||
<math>\sqrt[3]{8}</math>=2<br> | <math>\sqrt[3]{8}</math>=2<br> | ||
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel). | Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel). | ||
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{{Lösung versteckt|1=Beachte Schreibweisen:<br> | {{Lösung versteckt|1=Beachte Schreibweisen:<br> | ||
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a<br> | geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a<br> | ||
a<sup>3</sup> = 512 & | a<sup>3</sup> = 512 |<math>\sqrt[3]{}</math><br> | ||
a = <math>\sqrt[3]{512}</math><br> | a = <math>\sqrt[3]{512}</math><br> | ||
a = 8 [cm]|2=Tipp zur Schreibweise|3=Verbergen}} | a = 8 [cm]|2=Tipp zur Schreibweise|3=Verbergen}} |
Aktuelle Version vom 14. Dezember 2023, 16:47 Uhr
1) Potenzen: Definition
2) Potenzgesetze
3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise
4) Wurzeln: Definition
4 Wurzeln/Quadratwurzeln - Definition
4.1 Wurzeln - Einführung
4.2 (Quadrat)wurzel - Definition
Teste dich:
Wiederholung Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400
Jetzt bist du fit für Aufgaben aus dem Buch:
Berechne zunächst die Fläche des Rechtecks A = a∙b
a) A = 18∙8 = 144
Nun überlege, welche Seitenlänge das Quadrat mit dem Flächeninhalt A = 144 (m²) besitzt:
144 = a² |
= a
12 = a
Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:
O = 6a²
24 = 6a² |:6
4 = a² |
Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².
Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.
Lösung zu a) 22 Quadrate
4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln
Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.
So liegt z.B. der Wert von im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2².
Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:
(Applet von W. Wengler)
hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.
Den meisten ist es zwar egal, doch ist irrational...
4.4 Konstruktion von
Ziehe den Schieberegler:
4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel
Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, musst du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
222 = 23 = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:
=2
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).
Beachte Schreibweisen:
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a
a3 = 512 |
a =
Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:
2a3 = 843,75 |:2