Benutzer:Buss-Haskert/Wurzeln

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1) Potenzen: Definition
2) Potenzgesetze
3) Sehr große und sehr kleine Zahlen: Wissenschaftliche Schreibweise
4) Wurzeln: Definition

5) Rechnen mit Quadratwurzeln

4 Wurzeln/Quadratwurzeln - Definition

4.1 Wurzeln - Einführung

Quadratwurzel - Einführung

Ziehe den Schieberegler im nachfolgenden GeoGebra-Applet und bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft:
a) Gib die jeweilige Seitenlänge und den Flächeninhalt der Quadrate an bis zum Flächeninhalt 100 Kästchen.
b) Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 169 Kästchen. Wie lang ist eine Seite?

c) Kannst du Quadrate mit dem Flächeninhalt von 2 Kästchen (3 Kästchen) zeichnen?

4.2 (Quadrat)wurzel - Definition

(Quadrat)wurzel - Definition

Die Quadratwurzel $\sqrt{b}$ aus einer positiven Zahl b ist die positive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert b ergibt:

a² = b und
a = $\sqrt{b}$

Fachbegriffe:

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Wiederholung Quadratzahlen:
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400

25² = 625

Übung 1 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• Nr. 2 - 11
• Nr. 13 - 17

Jetzt bist du fit für Aufgaben aus dem Buch:

Übung 2(*)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 75 Nr. 3
• S. 75 Nr. 4
• S. 75 Nr. 5
• S. 75 Nr. 6
• S. 75 Nr. 7
• S. 76 Nr. 18

Übung 3(**)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 75 Nr. 10
• S. 75 Nr. 11
• S. 75 Nr. 12

144a = 14400m²

(Lösung: 48m)

Berechne zunächst die Fläche des Rechtecks A = a∙b
a) A = 18∙8 = 144 Nun überlege, welche Seitenlänge das Quadrat mit dem Flächeninhalt A = 144 (m²) besitzt:
144 = a²  |$\surd$
$\sqrt{144}$ = a
12 = a

Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 12m.

Übung 4(***)

Löse im Heft die Aufgaben aus dem Buch

• S. 76 Nr. 14
• S. 76 Nr. 15

Die Oberfläche eines Würfels besteht aus 6 Quadraten:
O = 6a²
24 = 6a²  |:6
4 = a²  |$\surd$

...

Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus nur 10 Quadraten, denn zwei Flächen innen berühren sich. Rechne dann wie in Aufgabe a)

Die Oberfläche der zusammengesetzten Würfel besteht aus 26 Quadraten, da nur die außen liegenden Quadrate gezählt werden.

Wenn 100 Quader in eine Reihe gelegt werden, entstehen 4∙100 + 2 = 402 quadratische Flächen mit dem Flächeninhalt a². Es gilt also O = 402a².

Bestimme nun die Kantenlänge a und berechne damit das Volumen.

Zähle die Quadratflächen, die zur Oberfläche gehören.
Lösung zu a) 22 Quadrate

b) 50 Quadrate

4.3 Irrationale Zahlen - Bestimmen von Quadratwurzeln

Quadratwurzeln von Zahlen, die keine Quadratzahl sind, lassen sich nur annähern.
So liegt z.B. der Wert von $\sqrt{2}$ im Intervall [1;2], also zwischen und 1 und 2, denn 1² < 2 < 2².
Dieses Intervall kannst du verkleinern, um den Wert von $\sqrt{2}$ auf mehrere Nachkommastellen anzunähern. Das nachfolgende Applet verdeutlicht dieses Vorgehen, die sogenannte Intervallschachtelung:

(Applet von W. Wengler)


$\sqrt{2}$ hat unendlich viele Nachkommaziffern, die nie periodisch werden. Man kann diese Zahl also nicht als Bruch darstellen.

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die nicht periodisch werden. Quadratwurzeln aus Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.

Den meisten ist es zwar egal, doch $\sqrt{2}$ ist irrational...

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Nährerungsweises Bestimmen von Quadratwurzeln

Du kannst durch Annäherung feststellen, zwischen welchen natürlichen Zahlen die Quadratwurzel einer Zahl liegt:
$\sqrt{30}$ liegt zwischen den Zahlen 5 und 6, denn

5² < 30 < 6²

Übung 5 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 12

Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und ergänze die Lösungen, ohne den Taschenrechner zu benutzen.

• S. 77 Nr. 2
• S. 79 Nr. 6

Reelle Zahlen

Du hast einen neuen Zahlbereich kennengelernt: Alle rationalen und irrationalen Zahlen gehören der Menge der reellen Zahlen R an.

4.4 Konstruktion von $\sqrt{2}$

Konstruktion von $\sqrt{2}$

Das nachfolgende Applet zeigt, wie $\sqrt{2}$ usw. konstruiert werden können. Erkläre!

Ziehe den Schieberegler:

Übung 7 - online

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 16

4.4 Kubikwurzeln - 3. Wurzel

Wenn du die Kantenlänge eines Würfels mit einem Volumen von 8cm³ bestimmen möchtest, musst du die Zahl finden, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt:
2$\cdot$2$\cdot$2 = 2³ = 8, die Kubikwurzel ist dann wie folgt definiert:
$\sqrt[3]{8}$=2
Die 3. Wurzel aus 8 ist 2. Die 3. Wurzel heißt auch Kubikwurzel (von engl. "cube" = Würfel).

Kubikwurzel - 3. Wurzel

Die 3. Wurzel einer Zahl a ist die Zahl b, die dreimal mit sich selbst malgenommen die Zahl a ergibt: b$\cdot$b$\cdot$b = a, also gilt $\sqrt[3]{a}$=b.

Übung 8 - Kopfrechnen

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 11

Übung 9 - Löse mit dem Taschenrechner

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 12
• S. 79 Nr. 13
• S. 79 Nr. 15 (mit Taschenrechner)

Übung 10 - Anwendungen

Löse aus dem Buch

• S. 79 Nr. 14

Beachte Schreibweisen:
geg: V = 512 cm³; ges: Kantenlänge a
a³ = 512   |$\sqrt[3]{}$
a = $\sqrt[3]{512}$

a = 8 [cm]

Beachte, dass du zwei Würfel gegeben hast, also gilt:
2a³ = 843,75   |:2

a³ = ...

Übung 11 - online

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• Nr. 29

5) Rechnen mit Quadratwurzeln