Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Terme: Unterschied zwischen den Versionen

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=====Aufgabe=====
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{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern?  
{{Box | 1= Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort | 2= '''a)''' Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern?  
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.
{{Lösung versteckt|1=Schaue dir (nochmal) die [[#Terme faktorisieren|Beispiele]] aus dem Video von Lehrer Schmidt an.
|2=Tipp|3=Verbergen}}
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<div class="multiplechoice-quiz">
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(i) <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>)  (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math>  x</math>) <math>  </math>
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (!<math> 5 </math>)  (<math> 3 </math>) (!<math> 9 </math>) (!<math>  x</math>) <math>  </math>


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'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (!<math> 9 </math>)  (<math> 12 </math>) (!<math> 24 </math>) (!<math>  x</math>)  


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b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \>
'''b)''' Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus? <br \>
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst.
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<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>)  (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot 3x - 3 \cdot 5 </math>)  (!<math> 3 \cdot 9x - 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot 3x + 3 \cdot 5 </math>) (!<math> 3 \cdot x -15 </math>)


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c) Klammere komplett aus:
'''c)''' Klammere komplett aus:
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br />  
{{Lösung versteckt|1=Schaue bei Teilaufgabe a) nach, was du ausklammerst und bei b) wie dein erster Zwischenschritt aussieht. Mache zur Überprüfung die Probe wie es im Kapitel zum [[#Terme faktorisieren|''Faktorisieren'']] erklärt ist. <br />  
|2=Tipp|3=Verbergen}}
|2=Tipp|3=Verbergen}}
<div class="multiplechoice-quiz">
<div class="multiplechoice-quiz">
(i) <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>)  (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)
'''(i)''' <math> 9x - 15 </math> (<math> 3 \cdot [3x - 5] </math>)  (!<math> 3 \cdot [9x - 15] </math>) (!<math> 3 \cdot [x - 5] </math>) (!<math> 3 \cdot [3x + 5] </math>)


(ii) <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>)  (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)
'''(ii)''' <math> -36 + 12x </math> (<math> 12 \cdot [-3 + x] </math>)  (!<math> 12 \cdot [3 + x ] </math>) (!<math> 12 \cdot [6 + 3x] </math>) (!<math> 3 \cdot [3 + x] </math>)


(iii) <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>)  (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>)  
'''(iii)''' <math> 5xy + 4xz + 3x </math> (!<math> x \cdot [54yz + 3]</math>)  (<math> x \cdot [5y + 4z + 3] </math>) (!<math> 2x \cdot [5y + 4z + 3]</math>) (!<math> 5 \cdot [xy + 4xz + 3x]</math>)  
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| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
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| 3=Arbeitsmethode}}
| 3=Arbeitsmethode}}


{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= (a) Wie lang ist die Strecke <math>  x </math>?<br />  
{{Box | 1= Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht | 2= '''a)''' Wie lang ist die Strecke <math>  x </math>?<br />  
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{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 30ab+12ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?
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<math>  x = </math> '''5b()'''
<math>  x = </math> '''5b()'''
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(b) Wie lang ist die Strecke <math>  y </math>?<br />  
'''b)''' Wie lang ist die Strecke <math>  y </math>?<br />  
[[Datei:Knobelaufgabe.jpg|500px|links]] <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  
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{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?
{{Lösung versteckt|1=Was kannst du aus dem Term <math> 49ab+49ac </math>, der den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt, ausklammern?
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<div class="zuordnungs-quiz">
<div class="zuordnungs-quiz">
{{{!}}
{{{!}}
{{!}} 1. binomische Formel {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(x+19)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">({3\over 4}+p)^2</math> {{!}}{{!}} <math forcemathmode="png">(1,34+\sqrt{5})^2</math>
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Aktuelle Version vom 16. Dezember 2020, 12:05 Uhr

Info

In diesem Lernpfadkapitel lernst du Grundlagen über Terme und binomische Formeln kennen. Im ersten Teil geht es darum, Terme zusammenzufassen. Danach wiederholst du das Ausmultiplizieren und Faktorisieren und im letzten Teil die binomischen Formeln. Lege dir für die Aufgaben Zettel und Stifte bereit. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in blauer Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit grünem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

1) Terme zusammenfassen

Einführung

Rechenregeln

Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Beachte dabei:

Beim Zusammenfassen von Summen gilt:
Nur gleiche Variablen in der gleichen Potenz dürfen zusammengefasst werden.
Beispiele:
1)


2)


Hier konnten nur die beiden Teile mit zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen.

3)

Tipp: Es kann helfen die gleichen Potenzen und Variablen farblich zu markieren.


Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:
Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden.
Beispiel:
4)




Beachte die Vorzeichen der Faktoren.

Beispiel:
5)

Aufgaben

Aufgabe 1: Wer wird Millionär?




Aufgabe 2: Rechenaufgaben

Fasse die folgenden Terme zusammen. Nutze dazu deinen Zettel und Stift, um die Rechenwege und Lösungen aufzuschreiben.

a)




b)




c)




d)




e)


f)




g)




Aufgabe 3: Magisches Rechteck

Die Summen jeder Zeile, Spalte und Diagonale des magischen Rechtecks ergeben gleichwertige Terme, das heißt wenn du eine Zeile addierst, kommt das gleiche raus wie bei allen anderen Zeilen, Spalten und Diagonalen. Ergänze die fehlenden Terme. Du kannst sie direkt unten eintragen und deine Antwort überprüfen.


5a+5

a+2 3a+1

3a-4



2) Terme ausmultiplizieren und faktorisieren

Terme ausmultiplizieren

Rechenregeln

Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine Klammer aufzulösen. Man multipliziert einen Faktor mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert. So wird z.B. der Faktor mit jedem Glied aus der Klammer multipliziert:

Ausmultiplizieren 1.png






Dies nennt man Distributivgesetz. Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht:

.

Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn:

.

Die gleichen Rechenregeln gelten für Variablen:

.

Das Distributivgesetz kann man sich auch anhand von Flächen mit den Seitenlängen a, b und c veranschaulichen:

Illustration of distributive property with rectangles.svg








Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein negativer Faktor steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:

.

.

Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:

Ausmultiplizieren 2.png






Aufgabe
Aufgabe 1: Zuordnen

In dieser Aufgabe kannst du das Ausmultiplizieren üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) =
h) =

Terme faktorisieren

Rechenregeln
Beim Faktorisieren (auch genannt: Ausklammern) geht es genau umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren darum, etwas in einer Klammer zusammenzufassen. Wie das funktioniert, erklärt dir Lehrer Schmidt in folgendem Video:

Um zu überprüfen, ob du richtig faktorisiert hast, kannst du eine Probe durchführen, indem du deinen faktorisierten Term ausmultiplizierst und schaust, ob der Ursprungsterm herauskommt.

Aufgabe
Aufgabe 2: Wähle die richtige Antwort

a) Was lässt sich sinnvollerweise ausklammern?


<b>

<b>

<b>

b) Wie sieht der erste Zwischenschritt beim Ausklammern aus?

<b>

<b>

c) Klammere komplett aus:

<b>

<b>

<b>

Weitere Aufgaben zum Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Aufgabe 3: Fülle die Lücken aus

Welche Zahl muss man einsetzen, damit die Umformung stimmt?

a)


b)


c)


d)


e)



Aufgabe 4: Distributivgesetz veranschaulicht

a) Wie lang ist die Strecke ?

Knobel .jpg


















b) Wie lang ist die Strecke ?

Knobelaufgabe.jpg


















3) Binomische Formeln

Was sind die binomischen Formeln?
Definition

Die folgenden drei Umformungen bilden die sogenannten binomischen Formeln:


1. binomische Formel:


2. binomische Formel:


3. binomische Formel:

Herleitung der binomischen Formeln
Übungsaufgabe: Binomische Formeln herleiten

Versuche, die erste binomische Formel in deinem Heft rechnerisch herzuleiten.
Stelle dazu eine Gleichungskette der Form auf.


Geometrische Herleitung

Neben der rechnerischen Lösung gibt es noch eine anschaulichere Möglichkeit, die binomischen Formeln herzuleiten. Dies gelingt über das Vergleichen von Flächen. Ziehe die Punkte an den Balken nach rechts oder links, um die Werte von a und b zu verändern. Beobachte, was das Vergrößern bzw. Verkleinern dieser Werte geometrisch und rechnerisch bewirkt.

Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist und damit gleich dem Ergebnis der 1. binomischen Formel. An der Zeichnung sieht man, dass sich das Quadrat aus vier Teilflächen zusammensetzt. Diese haben die Flächeninhalte . Die Fläche des Quadrats ergibt sich als Summe der Teilflächen: Das ist gerade die 1. binomischen Formel.


Beachte
  • Bisher hast du lediglich die Herleitung der 1. binomischen Formel kennengelernt. Die Herleitungen der 2. und 3. binomischen Formel erfolgen sehr ähnlich und werden hier nicht thematisiert. Falls du dich trotzdem dafür interessierst, schau doch gerne mal bei Serlo vorbei: https://de.serlo.org/mathe/terme-gleichungen/terme-variablen/binomische-formeln
  • Die binomischen Formeln werden dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen, weshalb du sie unbedingt auswendig können solltest. Falls dir dies schwer fällt, schaue dir folgendes Video dazu an.

Beispiele
Anwendungsbeispiele

Falls du dich mit den binomischen Formeln noch nicht vertraut genug fühlst, hast du hier die Möglichkeit, anhand von einigen Beispielen dein Verständnis zu fördern. Andernfalls kannst du direkt zum Aufgabenteil übergehen.

Aufgaben

Aufgabe 1: Welche binomische Formel?

Ordne zu.

2. binomische Formel

1. binomische Formel

3. binomische Formel

Das ist keine binomische Formel


Aufgabe 2: Nächste Runde rückwärts (..ärts, ärts..)

Tom möchte die binomischen Formeln lieber rückwärts verwenden. Leider weiß er nicht wirklich wie. Kannst du ihm helfen? Notiere den Rechnungsweg in dein Heft und trage die korrekten Werte unten ein.

Alle einsteigen bitte

a)
b) )
c)
d)
e)
f) )


Aufgabe 3: Warum ist das so?

Gegeben sind nun allgemein zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen und mit .
Begründe unter Verwendung einer binomischen Formel, dass die folgende Rechenregel immer stimmt:
Die Differenz ist gleich der Summe . Notiere deinen Lösungsweg in dein Heft.