Digitale Werkzeuge in der Schule/Fit für VERA-8/Einfache Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. | {{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du das Wichtigste zum Thema '''Einfache Gleichungen'''. Am Anfang des Kapitels kannst du die wichtigsten Begriffe wiederholen und dann dein Wissen in verschiedenen Aufgaben anwenden. | ||
Am Ende dieses Kapitels solltest du ... | Am Ende dieses Kapitels solltest du ... | ||
* ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind. | * ... wissen, was eine Variable, ein Term, eine Gleichung und die Lösungsmenge sind. | ||
* ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können. | * ... vorgegebene Gleichungen nach der Variable auflösen, die Probe durchführen und die Lösungsmenge angeben können. | ||
* ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können. | * ... kurze Zahlenrätsel in Gleichungen überführen und lösen können. | ||
* ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können.|3=Kurzinfo}} | * ... Gleichungen aus Aufgaben im Sachzusammenhang aufstellen und lösen können. | ||
Zum Anfang des Kapitels sind die Aufgaben leichter und werden zum Ende hin schwerer. Wir unterscheiden folgende Aufgabentypen: | |||
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen. | |||
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''. | |||
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''. | |||
Viel Erfolg! | |||
|3=Kurzinfo}} | |||
===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel=== | ===Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel=== | ||
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen. | Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in '''Merkkästen''' erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen. | ||
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{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen | {{Box| Definitionen und Begriffe für ''Einfache Gleichungen''| | ||
{{Lösung versteckt|1={{Box| Variable |Variablen sind sogenannte '''Platzhalter''' in Gleichungen. Für diese Platzhalter können beliebige Zahlen eingesetzt werden, für die die Gleichung korrekt bleibt. Die Platzhalter sind in den meisten Fällen Buchstaben, wie z. B. <math>x</math>, <math>b</math>, <math>a</math>, <math>h</math>, ... | Merksatz}}|2=Definition Variable|3=Definition verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern. | {{Lösung versteckt|1={{Box| Term |Ein '''Term''' ist eine Kombination aus Variablen, Zahlen, mathematischen Verknüpfungen (<math>+</math>,<math>-</math>,...) und Klammern. | ||
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'''Beispiel:''' | '''Beispiel:''' | ||
Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}} | Die Gleichung <math>5-x=3</math> lässt sich leicht lösen: <math>x=2</math>. Dann erhalten wir die Löungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>.| 3=Merksatz}}|2=Definition Lösungsmenge|3=Definition verbergen}} | ||
| Merksatz}} | |||
===Alles in der Waage=== | ===Alles in der Waage=== | ||
{{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | 2= | {{Box | 1=Aufgabe 1: Waagschalenvergleich | | ||
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" /> | |||
2=Unten kannst du eine Waage sehen. Anfangs ist die Waage für einen festen Wert für <math>x</math> unausgeglichen. Durch das Hinzufügen von Kugeln oder <math>x</math> auf beiden Seiten kann ein '''Gleichgewicht''' erzielt werden. Dabei kann durch '''Probieren''' herausgefunden werden, welchen Wert <math>x</math> hat. Klickst du auf "neues <math>x</math>", wird ein neuer Wert für <math>x</math> bestimmt. | |||
'''a)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Wie gehst du vor? Wiederhole die Aufgabe für verschiedene Werte von <math>x</math>, indem du auf "neues <math>x</math>" klickst. | |||
{{Lösung versteckt|1=Die Waage kann ins Gleichgewicht gebracht werden, indem auf der rechten Seite nach und nach Kugeln hinzugefügt oder entfernt werden bis die Waage ausgeglichen ist. Dann kannst du abzählen, wie viele Kugeln mehr auf der Seite ohne <math>x</math> sind. Diese Zahl ist das gesuchte <math>x</math>.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
'''b)''' Die Waage steht immer noch im Gleichgewicht. Füge nun ein [zwei] weitere <math>x</math> zur linken Waagschale hinzu. Wie gehst du jetzt vor? | |||
{{Lösung versteckt|1=Fügst du ein [zwei] weiteres <math>x</math> zur linken Seite hinzu, so müssen doppelt [dreimal] so viele Kugeln zur rechten Seite hinzugefügt werden wie vorher. Wurden also bei einem <math>x</math> auf der linken Waagschale nur drei Kugeln hinzugefügt, sind es bei zwei <math>x</math> sechs Kugeln.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
'''c)''' Bringe die Waage ins Gleichgewicht. Nimm dann auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln weg. Was kannst du beobachten? | |||
{{Lösung versteckt|1=Werden auf beiden Seiten der Waage gleich viele Kugeln entfernt, bleibt die Waage im Gleichgewicht.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
<ggb_applet id="mBK2GKtG" width="558" height="315" border="888888" />| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | |||
===Gleichungen lösen=== | ===Gleichungen lösen=== | ||
{{Box | 1=Aufgabe 2: Lösungsmenge bestimmen| | |||
2=Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. | |||
{{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | | {{Lösung versteckt| 1={{Box | Beispiel 1: Richtig Gleichungen lösen | | ||
2=Um eine Gleichung zu lösen, wird sie zunächst nach der Variable aufgelöst. Diese Variable soll am Ende isoliert, d.h. alleine, auf einer Seite der Gleichung stehen. Wir schauen uns ein Beispiel an: | |||
<math> | <math>3y+5=y+35</math>. | ||
Um diese Gleichung zu lösen, | Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir zunächst alle <math>y</math> auf eine Seite der Gleichung. | ||
<math>\begin{align} && | <math>\begin{align} && 3y+5&=y+35 & &\mid -y\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & 2y+5&=35\\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Jetzt können wir wie gewohnt nach <math> | Jetzt können wir wie gewohnt nach <math>y</math> auflösen. | ||
<math>\begin{align} & & | <math>\begin{align} & & 2y+5&=35 & &\mid -5\\ | ||
\Leftrightarrow & & 2y&=30 & &\mid :2\\ | |||
\Leftrightarrow & & y&=15 | |||
\Leftrightarrow & & | |||
\Leftrightarrow & & | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Probe: | Probe: | ||
<math>\begin{align} & &( | <math>\begin{align} & &(3\cdot 15)+5&=15+35\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & 45+5 &=50\\ | ||
\end{align}</math> | \Leftrightarrow & & 50 &=50 | ||
\end{align}</math> | |||
Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{ | Wir erhalten also die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{15\}</math>.}}| 2=Beispiel anzeigen| 3=Beispiel verbergen|Farbe={{Farbe|orange}}}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Wenn du nicht mehr weißt, was die Lösungsmenge ist, schau bei den Definitionen nach.|2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
'''a)''' Löse die Gleichung anschaulich mittels Skizzen von Waagen in deinem Heft: <math>x+3=5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Überlege dir, wie die Waage im Gleichgewicht aussieht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1= Beide Seiten der Gleichung sind gleichwertig. Also ist die Waage im Gleichgewicht. | |||
[[Datei:Waage1.jpg|mini|Waage im Gleichgewicht|center]] | |||
Die Waage bleibt im Gleichgewicht wenn gleich viele Kugeln auf beiden Seiten ergänzt oder entfernt werden. Wir entfernen jeweils drei Kugeln. | |||
[[Datei:Waage2.jpg|mini|Waage nach Durchführung einer Umformung|center]] | |||
<math>\begin{align} & & x+3 &=5 & &\mid -3\\ | |||
\Leftrightarrow & & x &=2 | |||
\Leftrightarrow & & x | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Probe: | Probe: | ||
<math>\begin{align} & & | <math>\begin{align} & & 2+3 &=5 \\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & 5 &=5 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} & & | Wir erhalten die Lösungsmenge <math>\mathbb{L}=\{2\}</math>. | ||
\Leftrightarrow & & | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
'''b)''' <math>a-64=5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1= Versuche die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite des Gleichheitszeichens nur noch das <math>a</math> steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & a-64 &=5 & &\mid +64\\ | |||
\Leftrightarrow & & a &=69 \\ | |||
& & \mathbb{L}=\{69\} | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\ | |||
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\ | |||
\Leftrightarrow & & 5 &=5 | |||
\end{align}</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | '''c)''' <math>3x+7=16</math> | ||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & | {{Lösung versteckt|1= Versuche zunächst die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur noch das <math>x</math> mit dem Faktor steht. |2=Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
\Leftrightarrow & & | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16 & &\mid -7\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\ | ||
\Leftrightarrow & & x &=3\\ | |||
& & \mathbb{L}=\{3\} | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\ | |||
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\ | |||
\Leftrightarrow & & 16 &=16 | |||
\end{align}</math> | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | |||
'''d)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math> | |||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen: | {{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen: | ||
<math>\begin{align} & & | <math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\ | ||
& & \mathbb{L}\{0,5\} | & & \mathbb{L}=\{0,5\} | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Zeile 116: | Zeile 151: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & | '''e)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math> | ||
\Leftrightarrow & & | {{Lösung versteckt|1=Löse zuerst die Klammer auf.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | ||
\Leftrightarrow & & | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\ | ||
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\ | |||
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\ | |||
\Leftrightarrow & & -1 &=1 | |||
\end{align}</math> | |||
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist. | |||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
'''f)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math> | |||
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Gleichung so umzustellen, dass du Brüche kürzen kannst.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\ | |||
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\ | |||
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\ | |||
& & \mathbb{L}=\{1\} | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Probe: | Probe: | ||
<math>\begin{align} & & | |||
\Leftrightarrow & & | <math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5 | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
''' | |||
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & ( | '''g)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math> | ||
\Leftrightarrow & & | {{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | ||
\Leftrightarrow & & | {{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\ | ||
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\ | |||
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\ | |||
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\ | |||
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\ | |||
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\} | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Probe: | Probe: | ||
<math>\begin{align} & & \ | |||
\Leftrightarrow & & \ | <math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & \frac{ | \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & \frac{ | \Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\ | ||
\Leftrightarrow & & \frac{ | \Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & | \Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\ | ||
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3} | |||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | ||
===Zahlenrätsel=== | ===Zahlenrätsel=== | ||
{{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl| Wenn man <math>12</math> | {{Box | Aufgabe 3: Finde die gesuchte Zahl | | ||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und gib die gesuchte Zahl an. | |||
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise: | {{Lösung versteckt|1=Zunächst übersetzen wir die Informationen aus der Aufgabenstellung in eine mathematische Schreibweise: | ||
Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math> | Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math> | ||
<math>12</math> | Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden. | ||
Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung. | Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung. | ||
Zeile 163: | Zeile 225: | ||
<math>2x+12=4x</math>. | <math>2x+12=4x</math>. | ||
Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, | Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen. | ||
<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align} | <math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.|2=Lösung | |||
|3=Lösung ausblenden}} | Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>. | ||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\ | |||
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung | |||
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}} | |||
{{Box | Aufgabe 4: Alter der Mutter|Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Wie alt sind Leon und seine Mutter heute? | |||
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon. | |||
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er. | |||
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt. | |||
Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein: | |||
<math>\begin{align}\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\ | |||
\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\ | |||
\Leftrightarrow & & L=12 | |||
\end{align}</math> | |||
Leon ist heute also 12 Jahre alt. | |||
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein: | |||
<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math> | |||
Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt. | |||
Probe erste Gleichung: | |||
<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 36=36 & | |||
\end{align}</math> | |||
Probe zweite Gleichung: | |||
<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 48=48 & | |||
\end{align}</math> | |||
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung | |||
|3=Lösung ausblenden}}| Arbeitsmethode}} | |||
===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang=== | ===Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang=== | ||
{{Box | Aufgabe 5: | {{Box | Aufgabe 5: Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken | | ||
[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? | |||
{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des | |||
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des | {{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>. | |||
Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. | Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden. | ||
Zeile 187: | Zeile 300: | ||
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\ | \Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\ | ||
\Leftrightarrow & & x &=9 | \Leftrightarrow & & x &=9 | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
Probe: | Probe: | ||
Zeile 196: | Zeile 309: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} | |||
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | | |||
{{Box | Aufgabe 6: Getränkelager füllen | | |||
In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. | In einem Lager eines Restaurants sollen möglichst viele <math>35</math> cm hohe Getränkekisten übereinander gestapelt werden. Die Raumhöhe beträgt <math>2,20</math> m. | ||
'''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne. | '''a)''' Wie viele Getränkekisten können übereinander gestapelt werden? Stelle eine Gleichung auf und berechne. | ||
'''b)''' | '''b)''' Eine Getränkekiste ist <math>40</math> cm lang und <math>40</math> cm breit. Das Lager hat eine Lagerfläche von <math>10</math> m <math>\cdot</math> <math>10</math> m. Wie viele Getränkekisten finden insgesamt im Lager Platz? | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1=Beachte die Umrechnung der Einheiten.|2=allgemeiner Tipp|3=Tipp 1 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1=Berechne zuerst, wie viele Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden.|2=Tipp zu b)|3=Tipp 2 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst | {{Lösung versteckt|1= '''a)''' Zuerst wird die Höhe einer Getränkekiste in Meter umgerechnet: | ||
<math>35 </math>cm <math>=0,35</math>m. | <math>35 </math> cm <math>=0,35</math> m. | ||
Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden: | Jetzt kann die Gleichung aufgestellt werden: | ||
<math>0,35\cdot x=2,20</math>, | <math>0,35\cdot x=2,20</math>, | ||
wobei <math>0,35</math> die Höhe in Metern | wobei <math>0,35</math> die Höhe einer Getränkekiste in Metern und <math>2,20</math> die Höhe des Lagerraumes in Metern angibt. Die Variable <math>x</math> bezeichnet in der Gleichung die Anzahl der Kisten, die in den Lagerraum gestellt werden können. | ||
Jetzt | Jetzt wird <math>x</math> mit Hilfe der aufgestellten Gleichung berechnet: | ||
<math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2, | <math>\begin{align} & & 0,35\cdot x &=2,20 & &\mid :0,35\\ | ||
\Leftrightarrow & & x & | \Leftrightarrow & & x &\approx 6,29 & &\\ | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
Probe: | |||
'''b)''' Zuerst legen wir den Boden | <math>\begin{align} & & 0,35\cdot 6,29 \approx 2,20 & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & 2,20 \approx 2,20 & &\\ | |||
\end{align} </math> | |||
Das Ergebnis <math>6,29</math> wird auf <math>6</math> abgerundet, da nur ganze Kisten gestapelt werden können. Es können in dem Lagerraum also <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden.|2=Lösung zu a)|3=Lösung ausblenden}} | |||
{{Lösung versteckt|1='''b)''' Zuerst legen wir den Boden der Lagerfläche mit Getränkekisten aus. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf: | |||
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\ | <math>\begin{align} & & 10\cdot 10 &=0,4\cdot 0,4\cdot x & &\\ | ||
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\ | \Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot x & &\mid :0,16\\ | ||
\Leftrightarrow & & 625 &=x | \Leftrightarrow & & 625 &=x | ||
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche | \end{align} </math> | ||
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden | |||
Probe: | |||
<math>\begin{align} & & 10\cdot 10&=0,4\cdot 0,4\cdot 625 & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 100 &=0,16\cdot 625 & &\\ | |||
\Leftrightarrow & & 100 &=100 | |||
\end{align} </math> | |||
In dieser Gleichung gibt der Teil <math>10\cdot 10</math> die Grundfläche der Lagerfläche in m² an. Der Teil <math>0,4\cdot 0,4</math> berechnet die Grundfläche der Getränkekisten in m². Die Variable <math>x</math> bezeichnet die Anzahl der Getränkekisten. | |||
Wir wissen nun also, dass <math>625</math> Getränkekisten auf dem Boden der Lagerfläche Platz finden. | |||
Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>. | Aus Aufgabenteil '''a)''' wissen wir bereits, dass <math>6</math> Getränkekisten übereinander gestapelt werden können. Also bleibt zu berechnen: <math>625\cdot 6=3750</math>. | ||
Insgesamt finden demnach <math>3750</math> Getränkekisten auf der Lagerfläche Platz. | |||
|2=Lösung zu b)|3=Lösung ausblenden}} | |||
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }} |
Aktuelle Version vom 10. Dezember 2020, 21:58 Uhr
Die wichtigsten Definitionen und Begriffe in diesem Kapitel
Die wichtigsten Begriffe, die du zum Bearbeiten der Aufgaben benötigst, werden hier in Merkkästen erklärt. Sollten dir diese Begriffe schon vertraut sein, kannst du diesen Teil überspringen und mit den Aufgaben starten. Falls du während der Bearbeitung einer Aufgabe unsicher bist, kannst du immer in diesen Abschnitt zurückkehren und dir die Merkkästen erneut durchlesen.
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Gleichungen lösen
Zahlenrätsel
Rechnen mit Gleichungen im Sachzusammenhang