Benutzer:Lena H. WWU-5/Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|Berechne Die x- bzw. die y-Koordinate der Punkte, sodass diese auf der Funktion f liegen.|Gegeben sei die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=(? |\frac {29} {4}), C=(?|5), D=(\frac {43} {20}|?) </math> und <math>E=(5|?) </math> <br /> <br />
{{Box|1= <span style="color: blue" >3. Berechne Die x- bzw. die y-Koordinate der Punkte, sodass diese auf der Funktion f liegen. </span>|2=Gegeben sei die Funktion <math>f(x) =\frac {1} {4} \cdot (x-6)^2-3</math> und die Punkte <math> A=(10|?), B=(? |\frac {29} {4}), C=(?|5), D=(\frac {43} {20}|?) </math> und <math>E=(5|?) </math> <br /> <br />
''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf der Funktion f liegen. <br /><br />
''' a) ''' Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf der Funktion f liegen. <br /><br />
{{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? | 2= Tipp 1| 3= schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= Was bedeuten die Variable <math> x </math> und <math> f(x) </math>? Wofür sind sie Platzhalter? | 2= Tipp 1| 3= schließen}}
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{{Lösung versteckt| 1= Welcher Punkt ist in einer Funktion der Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> als erstes ablesbar? Beginne deine Zeichnung mit diesem Punkt.  | 2= Tipp 2| 3= schließen}}  
{{Lösung versteckt| 1= Welcher Punkt ist in einer Funktion der Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> als erstes ablesbar? Beginne deine Zeichnung mit diesem Punkt.  | 2= Tipp 2| 3= schließen}}  


{{Lösung versteckt| 1= In einer Funktionsgleichung der Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> gibt dir der Parameter <math> a</math>, wie viele Einheiten sich der Graph nach oben oder unten bewegen muss, wenn er sich um eine Einheit nach rechts bewegt.| 2=Tipp | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= In einer Funktionsgleichung der Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math> gibt dir der Parameter <math> a</math>, wie viele Einheiten sich der Graph nach oben oder unten bewegen muss, wenn er sich um eine Einheit nach rechts bewegt.| 2=Tipp 3 | 3=schließen}}




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{{Lösung versteckt |1= Wenn deine Zeichnung wie folgt aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei: Lösung Aufgabe 3.png|700px | zentriert]] |2=Lösung zu b) |3=schließen
{{Lösung versteckt |1= Wenn deine Zeichnung wie folgt aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei: Lösung Aufgabe 3.png|700px | zentriert]] |2=Lösung zu b) |3=schließen


}} |Arbeitsmethode
}}  
}}
}}


===Nullstellen===
===Nullstellen===
{{Box|Berechnung von Nullstellen|
{{Box|1= <span style="color: blue"> 6. Berechnung von Nullstellen </span>|2=
Gegeben seien folgende Funktionen: <br />
Gegeben seien folgende Funktionen: <br />
<math> g(x) = - 1 \cdot (x-8)^2+4 </math> <br />
<math> g(x) = - 1 \cdot (x-8)^2+4 </math> <br />
<math> h(x) = 5x^2-6x-8</math> <br />  
<math> h(x) = 5x^2-6x-8</math> <br />  
Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen.  
Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen.}}
{{Lösung versteckt| 1= Denke über die Bedeutung einer Nullstelle nach. Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einem Punkt eine Nullstelle besitzt? |2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= Denke über die Bedeutung einer Nullstelle nach. Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einem Punkt eine Nullstelle besitzt? |2= Tipp 1|3=schließen}}


Zeile 48: Zeile 48:
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -1(x-8)^2+4 &\mid :(-1) \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& -1(x-8)^2+4 &\mid :(-1) \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-8)^2-4 &\mid +4 \\
&\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-8)^2-4 &\mid +4 \\
&\Leftrightarrow& 4 &&=&& (x-8)^2 \sqrt{} \\
&\Leftrightarrow& 4 &&=&& (x-8)^2 & \mid \pm\sqrt{} \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
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Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-\frac {6} {5} x-\frac{8}{5}</math><br /><br />
Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-\frac {6} {5} x-\frac{8}{5}</math><br /><br />
Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br />
Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br />
<math>x_{1} = -\frac{-\frac{6}{5}}{2}-\sqrt{\left( -\frac{\frac{6}{5}}{2}\right)^2+\frac{8}{5}}</math>  sowie  <math>x_{2} = -\frac{-\frac{6}{5}}{2}+\sqrt{\left( -\frac{\frac{6}{5}}{2}\right)^2+\frac{8}{5}}</math><br /><br />
<math>
⇔ <math>x_1 = 0,8</math>  und  <math>x_2 = 2</math><br /> <br /><br />
\begin{array} {rlll}
|2= Lösung zu h(x) |3=schließen}} | Arbeitsmethode}}
&\Rightarrow&x_{1} = -\frac{-\frac{6}{5}}{2}-\sqrt{\left( -\frac{\frac{6}{5}}{2}\right)^2+\frac{8}{5}}&  \textrm{sowie}&   x_{2} = -\frac{-\frac{6}{5}}{2}+\sqrt{\left( -\frac{\frac{6}{5}}{2}\right)^2+\frac{8}{5}}\\
 
&\Rightarrow&x_1 = 0,8& \textrm{und}& x_2 = 2\\
\end{array}
</math><br /> <br /><br />
|2= Lösung zu h(x) |3=schließen}}  


{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Graphische Lösung zur Nullstellenberechnung.png|700px|zentriert]] |2= Graphische Lösung | 3=schließen}}
{{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Graphische Lösung zur Nullstellenberechnung.png|700px|zentriert]] |2= Graphische Lösung | 3=schließen}}

Aktuelle Version vom 30. Oktober 2019, 17:04 Uhr

3. Berechne Die x- bzw. die y-Koordinate der Punkte, sodass diese auf der Funktion f liegen.

Gegeben sei die Funktion und die Punkte und

a) Berechne von den oben genannten Punkten die jeweils fehlende x- bzw. y-Koordinate, so dass die Punkte auf der Funktion f liegen.

Was bedeuten die Variable und ? Wofür sind sie Platzhalter?
Wenn du die x-Koordinate eines Punktes in eine Funktion einsetzt, berechnest du so seine y-Koordinate.

Die Punkte besitzen, um auf der Funktion zu liegen, folgende Koordinaten:

und

b) Zeichne den Graphen der Funktion f mit den oben genannten Punkte nun in dein Heft.

Du weißt nicht, wie Du mit Deiner Zeichnung anfangen sollst? Dann schau doch noch einmal in den Lückentext von Aufgabe 1.
Welcher Punkt ist in einer Funktion der Form als erstes ablesbar? Beginne deine Zeichnung mit diesem Punkt.
In einer Funktionsgleichung der Form gibt dir der Parameter , wie viele Einheiten sich der Graph nach oben oder unten bewegen muss, wenn er sich um eine Einheit nach rechts bewegt.


Wenn deine Zeichnung wie folgt aussieht, hast du alles richtig gemacht:
Lösung Aufgabe 3.png

Nullstellen

6. Berechnung von Nullstellen

Gegeben seien folgende Funktionen:


Berechne von beiden Funktionen jeweils die Nullstellen.
Denke über die Bedeutung einer Nullstelle nach. Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einem Punkt eine Nullstelle besitzt?

Ein Punkt wird als Nullstelle einer Funktion bezeichnet, wenn seine y-Koordinate gleich 0 ist.
D.h. um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, solltest du die Funktion gleich 0 setzen.
Für die nächsten Schritte gibt es verschiedene Möglichkeiten vorzugehen: Ist deine Funktion in Scheitelpunktform, so hilft es dir den Term auf einer Seite zu isolieren, um dann die Wurzel ziehen zu können.

Ansonsten gibt es als Hilfsmittel noch die dir bereits bekannte pq-Formel oder quadratische Ergänzung.
pq-Formel
Eine Funktion der Form hat die Lösungen sowie . Dieses Hilfsmittel hilft dir bei der Berechnung der Nullstellen von .

liegt in Scheitelpunktform vor, weswegen eine Möglichkeit die Nullstellen zu bestimmen Folgende ist:



liegt in Normalform vor. Es empfiehlt sich also die Funktion so umzuformen,so dass man die pq-Formel anwenden kann.

Betrachte , d.h. und führe dann eine Äquivalenzumformung durch, indem du durch 5 teilst.

Du erhälst die Gleichung

Durch Anwenden der pq-Formel folgt





Graphische Lösung zur Nullstellenberechnung.png