Benutzer:Buss-Haskert/Mathe Q1 Integralrechnung

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Einführung in die Integralrechnung

Integralrechnung

Rekonstruktion einer Größe

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Übungen zur Rekonstruktion einer Größe

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 50 im Buch.

Die Fläche unter den Kurven gibt jeweils die zurückgelegte Strecke s an. Berechne also die Flächen.
a) Zerlege die Flächen in 3 Teilflächen: A₁ = A_Dreick; A₂ = A_Rechteck und A₃ = A_Dreieck
A = $\tfrac{g·h}{2} + a·b + \tfrac{g·h}{2}$
   = $\tfrac{2·2}{2} + 1·2 + \tfrac{1·2}{2}$
   = 5 (m)
Alternativ kannst du den Flächeninhalt auch mit der Formel für das Trapez bestimmen:
A_Trapez = $\tfrac{(a+c)h}{2}$=$\tfrac{(4+1)2}{2}$ = 5 (m).

Löse b) und c) ebenso.

Bestimme jeweils den Flächeninhalt unter der Kurve, oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Lösung zur Testaufgabe 1:
a) Zerlege die Fläche in Teilflächen (waagerechte Linie ab 2), zu denen du einen Flächeninhaltsformel kennst, hier also ein Trapez und ein Dreieck.
A = A_Trapez + A_Dreieck
   = $\tfrac{(8+6)2}{2}$ + $\tfrac{6·4}{2}$
   = 14 + 12 = 26 (m³)
Da zu Beginn schon 10 m³ im Tank waren, sind es nun insgesamt 36 m². b) Pro Minute fließen 3 m³ aus dem Tank, bis 36 m³ herausgeflossen sind dauert es also:
36 : 3 = 12 (min).

Untersumme und Obersumme; Bestimmtes Integral

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Integralschreibweise:

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Übungen zur Integralschreibweise

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben auf S. 54-56 im Buch.

1. Bestimme die Integrationsgrenzen: Von wo bis wo soll die Fläche berechnet werden?
2. Bestimme den Integrand: Von welcher Funktion soll die Flächen berechnet werden?
3. Bestimme das Differenzial
a) A = $\int\limits_{1}^{4} f(x) dx$
b) Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, berechne zunächst die Nullstellen der Funktion g(x).
g(x) ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 3 Einheiten entlang der y-Achse verschoben wurde, die Funktionsgleichung lautet also
g(x) = -x² + 3
Nullstellen: g(x) = 0
-x² + 3 = 0   |+x²
3 = x²   |$\surd$
-$\sqrt{3}$ = x₁; $\sqrt{3}$=x₂
A = $\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x) dx$
c) A = $\int\limits_{-4}^{-1} h(x) dx$

usw.

S. 54, Nr. 3 https://www.geogebra.org/classic/ccnzw5ng

S. 55, Nr. 4 https://www.geogebra.org/classic/nnrgeh2m

Interpretation: Die Pflanze ist nach 100 Tagen auf eine Größe von ca. 2,07 m gewachsen.

S. 55, Nr. 5a https://www.geogebra.org/m/rqhdk5nq

S. 55, Nr. 5b https://www.geogebra.org/m/awxfwjap

S. 55, Nr. 5c https://www.geogebra.org/m/rqmv8vhy

S. 56, Nr. 11a https://www.geogebra.org/m/tracazj8

S. 56, Nr. 11b https://www.geogebra.org/m/nmbnu9ms

S. 56, Nr. 11c https://www.geogebra.org/m/htxsyfwc

S. 56, Nr. 11d https://www.geogebra.org/m/xaemqdvt

S. 57, Nr. 21a https://www.geogebra.org/m/rtmspkuk

S. 57, Nr. 21b https://www.geogebra.org/m/xyheyy73

S. 57, Nr. 21c https://www.geogebra.org/m/jjs83ka6

Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung

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Stammfunktion skizzieren

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Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Tipps zu den Aufgaben S. 60-61

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Stammfunktion.

1 F(x) = $\tfrac{1}{2}$x³
F'(x) = 3·$\tfrac{1}{2}$x² = $\tfrac{3}{2}$x³ , also Buchstabe E

Gehe bei den Ziffern 2-5 ebenso vor.

f(x) = 6x²
F(x) = 2x³ ist Stammfunktion von f(x), denn
F'(x) = 3·2x² = 6x² = f(x).
Hauptsatz der Integralrechung: $\int_a^b f(x) \, dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$
$\int\limits_{1}^{2} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_1^2$ = F(2) - F(1) = 2·2³ - 2·1³ = 16 - 2 = 14 (Flächeneinheiten).

b) Dieses Ergebnis bestätigt GeoGebra.

a) f(x) = 3x²; F(x) = $x^a$
F'(x) = a·x^a-1; a=3
b) f(x) = 2x; F(x) = x² - a
F'(x) = 2·x also darf a alle Werte annehmen, a ∈ ℝ

...

Tipp zu S. 60, Nr. 4a https://www.geogebra.org/m/yxmrxmqh

Tipp zu S. 60, Nr. 4b https://www.geogebra.org/m/zugc2bjm

Idee: Da F'(x) = f(X) gilt, beschreibt f(x) die jeweilige Steigung von F(x) an der Stelle x, also das Monotonieverhalten von F(x).
a) Der Graph von f schneidet die x-Achse zweimal. Das Monotonieverhalten von F(x) ändert sich also zweimal. An den Stellen, an denen F'(x) = f(x) das Vorzeichen wechselt.
F hat dort also zwei Extremstellen.
Bei x=0 wechselt F' vom negativen Bereich in den positiven, F fällt also zunächst und steigt dann, dort hat F also einen Tiefpunkt.
Bei x=5 wechselt F' vom positiven in den negativen Bereich, F steigt also zunächst und fällt dann, dort hat F also einen Hochpunkt.
b) Zerlege die Fläche unter dem Graphen in zwei Dreiecke (von x=0 bis x=1 und von x=4 bis x=5), in ein Rechteck von x=1 bis x=4 mit der Höhe 1 und ein Trapez von x=1 bis x=4 mit der Höhe 0,5.
A = $\tfrac{1}{2}$·1·1 + 3·1 + $\tfrac{1}{2}$·(3+1)·0,5 + $\tfrac{1}{2}$·1·1
A = 0,5 + 3 + 1 + 0,5
A = 5 (FE)

c)

Tipp zu S. 61, Nr. 6 I https://www.geogebra.org/m/c9anmg5a

Tipp zu S. 61, Nr. 6 II https://www.geogebra.org/m/fdqkpzuy

Tipp zu S. 61, Nr. 9 https://www.geogebra.org/m/kymjwc79

Stammfunktion bilden

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Stammfunktion bestimmen

Lies auf S. 63 den blauen Kasten mit den Regeln zur Bildung einer Stammfunktion.

Übungen zur Stammfunktion

Bearbeite die nachfolgenden LearningApp.

Tipps zu den Aufgaben S. 65-66

Hier findest du Tipps zu den Aufgaben zur Bestimmung der Stammfunktion.

S. 65, Nr. 1
a) f(x) = x; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$; F₂(x) = $\tfrac{1}{2}x^2$ + 3 (+c, irgendeine Zahl)
b) f(x) = 2x; Faktorregel (2) und Potenzregel (x): F₁(x) = 2·$\tfrac{1}{2}x^2$ = x²; F₂(x) = 2·$\tfrac{1}{2}x^2$ = x² + 2
c) f(x) = x²; Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$; F₂(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$+6
d) f(x) = 3x²; Faktorregel (3) und Potenzregel (x²): F(x) = 3·$\tfrac{1}{3}x^3$ = x³
e) Potenzregel
f) Potenzregel
g) f(x) = 7; f(x) = 7$x^0$; also F₁(x) = 7·$\tfrac{1}{1}x^1$ = 7x; ...
h) f(x) = 0; F(x) = 3 (allgemein c, irgendeine Zahl)
i) f(X) = x² + x; Summenregel und Potenzregel: F₁(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$ + $\tfrac{1}{2}x^2$
j) Summenregel und Potenzregel
k) f(x) = 0,5x + 1; Summenregel, Faktorregel und Potenzregel: F₁(x) = 0,5·$\tfrac{1}{2}x^2$ + 1x; f₂(x) = ...

l) Summenregel, Faktorregel und Potenzregel

S. 65, Nr. 3 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) f(x) = 5
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 5x
A = $\int\limits_{10}^{20} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{10}^{20}$ = $\left[ 5x \right]_{10}^{20}$
= F(20) - F(10) = 5·20 - 5·10 = 100 - 50 = 50 FE (Flächeneinheiten)
b) f(x) = 2x
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = 2·$\tfrac{1}{2}x^2$ = x²
A = $\int\limits_{0}^{3} f(x) dx$ = $\left[ F(x) \right]_{0}^{3}$ = $\left[ x² \right]_{0}^{3}$
= F(3) - F(0) = 3² - 0² = 9 FE (Flächeneinheiten)

Löse c-f ebenso.

S. 65, Nr. 4 (vergleiche mit Beispiel 2, S. 64)
a) h(x) = -x²+1
Eine Stammfunktion von h(x) ist H(x) = -$\tfrac{1}{3}x^3$ + x
$\int\limits_{-1}^{1} h(x) dx$
= $\left[ H(x) \right]_{-1}^{1}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1}$
= H(1) - H(-1)
= -$\tfrac{1}{3}·1^3$ + 1 - (-$\tfrac{1}{3}(-1)^3$ + (-1))
= $\tfrac{2}{3}$ - (-$\tfrac{2}{3}$)
= $\tfrac{2}{3}$ + $\tfrac{2}{3}$
= $\tfrac{4}{3}$ FE (Flächeneinheiten)
b) k(x) = $\tfrac{3}{4}x^2$ - 3
Eine Stammfunktion von k(x) ist K(x) = $\tfrac{3}{4}·\tfrac{1}{3}x^3$ - 3x = $\tfrac{1}{4}x^3$ - 3x
$\int\limits_{-2}^{2} k(x) dx$
= $\left[ K(x) \right]_{-2}^{2}$
= $\left[ \tfrac{1}{4}x^3 - 3x \right]_{-2}^{2}$
= K(2) - K(-2)
= $\tfrac{1}{4}·2^3$ - 3·2 - ($\tfrac{1}{4}·(-2)^3$ - 3·(-2))
= 2 - 6 - (-2 - (-6))
= -4 - 4
= -8 FE (Flächeneinheiten)
c) f(x) = $\tfrac{3}{2}x^3 - \tfrac{27}{8}x$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{3}{2}·\tfrac{1}{4}x^4 - \frac{27}{8}·\tfrac{1}{2}x^2 = \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2$
$\int\limits_{-1,5}^{1,5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-1,5}^{1,5}$
= $\left[ \tfrac{3}{8}x^4 - \frac{27}{16}x^2 \right]_{-1,5}^{1,5}$
= F(1,5) - F(-1,5)
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·(-1,5)^4 - \frac{27}{16}·(-1,5)^2$) =
= $\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2 - (\tfrac{3}{8}·1,5^4 - \frac{27}{16}·1,5^2$)

= 0 FE (Flächeneinheiten)

S. 65, Nr. 5
a) f(x) = x²
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = $\tfrac{1}{3}x^3$
$\int\limits_{-2}^{5} f(x) dx$
= $\left[ F(x) \right]_{-2}^{5}$
= $\left[-\tfrac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{5}$
= F(5) - F(-2)
= $\tfrac{1}{3}·5^3$ - ($\tfrac{1}{3}(-2)^3$)
= $\tfrac{125}{3}$ - (-$\tfrac{8}{3}$)
= $\tfrac{125}{3}$ + $\tfrac{8}{3}$
= $\tfrac{133}{3}$ = 44$\tfrac{1}{3}$ FE (Flächeneinheiten)

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b) f(x) = -$\tfrac{1}{4}·x^4$
Eine Stammfunktion von f(x) ist F(x) = -$\tfrac{1}{4}·\tfrac{1}{5}·x^5$ = -$\tfrac{1}{20}·x^5$
...

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