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| |3=Definition}} | | |3=Definition}} |
| == Aufgabe 1 == | | == Aufgabe 1 == |
| {{Box |Level 1: Grundlagen der Innenwinkelsumme | In einem Dreieck sind zwei Winkel gegeben: 50° und 60°. Der dritte Winkel ist jedoch verdeckt. Berechne den fehlenden Winkel und zeige, dass die Summe der Innenwinkel 180° ergibt. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }} | | {{Box | Aufgabe 1.1: Grundlagen - Berechnung eines Winkels im Dreieck |Ein Dreieck hat die Winkel |
| {{Lösung versteckt|1=Die Begründung für die Innenwinkelsumme basiert auf den Eigenschaften von Wechsel- und Stufenwinkeln|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
| | 50° und 60°. Berechne den fehlenden Winkel und überprüfe, ob die Innenwinkelsumme des Dreiecks 180° ergibt. |
| {{Lösung versteckt|1=Um die Innenwinkelsumme eines Dreiecks rechnerischund logisch zu begründen, nutzen wir die Eigenschaften von Wechsel- und Stufenwinkeln: * '''Ein paralleler Bezug''': | | {{Lösung versteckt|1='''Tipps:''' |
| ** Ziehe eine Parallele zur Basis des Dreiecks (z. B. AB) durch den gegenüberliegenden Punkt C.
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| * '''Wechsel- und Stufenwinkel''':
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| ** Die Innenwinkel an den Punkten A und B bilden mit der parallelen Linie Wechselwinkel.
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| ** Diese Wechselwinkel sind gleich groß wie die entsprechenden Innenwinkel des Dreiecks bei A und B, weil die parallelen Linien und die Dreiecksseite als Transversal fungieren.
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| * '''Summe der Winkel entlang der Parallelen''':
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| ** Entlang der parallelen Linie ergibt sich durch die beiden Wechselwinkel (bei A und B) und den dritten Innenwinkel (bei C) eine gerade Linie.
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| ** Eine gerade Linie hat per Definition 180∘.2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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| {{Box | Level 2: Weitere Spuren entdecken | Euer nächster Hinweis befindet sich in einem gleichschenkligen Dreieck. Ihr wisst, dass die beiden Basiswinkel jeweils 65° betragen, aber der Winkel an der Spitze ist unleserlich. Berechnet diesen Winkel und erklärt rechnerisch, warum die Innenwinkelsumme 180° ergibt. Argumentiert, warum die Summe der Winkel im Dreieck immer diese Zahl ergibt, egal wie das Dreieck aussieht. | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
| | * Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°. |
| {{Lösung versteckt|1=In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich. Hier beträgt jeder der beiden Basiswinkel 65°. Um den Spitzenwinkel x zu berechnen, nutzen wir wieder die Innenwinkelsumme eines Dreiecks, die stets 180° beträgt. | | * Addiere die beiden gegebenen Winkel. |
| Rechnung:
| | * Subtrahiere die Summe von 180°, um den fehlenden Winkel zu berechnen.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}} |
| | {{Lösung versteckt|1= |
| | Gegebene Winkel: 50°, 60°. |
| | Berechnung: 50°+60°+x=180° x=180°−50°−60°=70° |
| | Fehlender Winkel: 70°. |
| | |2=Lösung|3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}} |
| | {{Box | Aufgabe 1.2: Kombination von Innenwinkelsumme und Stufenwinkel |Ein Dreieck liegt zwischen zwei parallelen Linien. Ein Außenwinkel des Dreiecks beträgt 120°, und ein Innenwinkel beträgt 40°. |
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| Die Summe der beiden Basiswinkel beträgt:
| | # Berechne den zweiten Innenwinkel des Dreiecks mit Hilfe der Stufenwinkel-Regel. |
| 65°+65°=130°
| | # Berechne den dritten Innenwinkel des Dreiecks und überprüfe, ob die Innenwinkelsumme 180° ergibt. |
| | | # Zeichne das Dreieck (Maßstab nicht notwendig). |
| Der Spitzenwinkel x ergibt sich aus:
| | {{Lösung versteckt|1=* Nutze die '''Stufenwinkel-Regel''': Wenn zwei Linien parallel sind, sind die Stufenwinkel gleich. |
| x=180°−130°=50°
| | * Berechne den zweiten Innenwinkel mithilfe der Stufenwinkel. |
| Der Winkel an der Spitze ist 50°. | | * Verwende die Innenwinkelsumme, um den dritten Winkel zu berechnen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} |
| | | {{Lösung versteckt|1=* '''Berechnung des zweiten Innenwinkels:''' |
| Nachweis der Innenwinkelsumme:
| | ** Der Außenwinkel 120° liegt an einer der parallelen Linien. Sein zugehöriger Innenwinkel a ist ein Nebenwinkel: a=180°−120°=60° |
| 65°+65°+50°=180°
| | * '''Berechnung des dritten Innenwinkels:''' |
| Damit ist die Innenwinkelsumme des Dreiecks rechnerisch bestätigt.
| | ** Gegebene Winkel: 40° und 60°. |
| | | ** Fehlender Winkel b: 40°+60°+b=180° b=180°−40°−60°=80° |
| | | * '''Zeichnung:''' Zeichne zwei parallele Linien, ein Dreieck dazwischen und markiere die Winkel 40°,60°,80° .|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }} |
| Warum ist die Summe immer 180°?
| | {{Box | Aufgabe 1.3: Wechselwinkel und mehrere Dreiecke |Zwei Dreiecke liegen nebeneinander und teilen eine gemeinsame Seite. Die beiden Dreiecke befinden sich zwischen zwei parallelen Linien. Im ersten Dreieck beträgt ein Innenwinkel 70°, und der Außenwinkel an der gemeinsamen Seite beträgt 110°. |
| Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°, weil die drei Innenwinkel zusammen eine gerade Linie ergeben, wenn man die Winkel nebeneinander legt. Dies folgt aus den geometrischen Eigenschaften von Dreiecken:
| | Im zweiten Dreieck beträgt ein Innenwinkel 50°, und ein anderer Innenwinkel ist ein Wechselwinkel des Außenwinkels des ersten Dreiecks. |
| | | Berechne alle fehlenden Winkel in beiden Dreiecken. |
| | | Zeige, dass die Innenwinkelsummen der Dreiecke jeweils 180° ergeben. |
| Definition von Winkeln und Linien: Ein gerader Winkel entspricht 180°.
| | {{Lösung versteckt|1=* Nutze die '''Wechselwinkel-Regel''': Wechselwinkel sind gleich, wenn zwei Linien parallel sind. |
| Geometrische Herleitung: Wenn man in einem Dreieck eine der Seiten verlängert, bildet der äußere Winkel zusammen mit dem Innenwinkel an der Basis einen geraden Winkel (180°). Alle Innenwinkel summieren sich daher ebenfalls zu 180°. Egal, wie ein Dreieck geformt ist (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig), bleibt diese Eigenschaft bestehen, da sie auf den geometrischen Grundlagen basiert.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
| | * Berechne zunächst den fehlenden Winkel des ersten Dreiecks mithilfe der Nebenwinkel-Regel. |
| | | * Nutze den Wechselwinkel, um den fehlenden Winkel im zweiten Dreieck zu bestimmen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}} |
| {{Box | Level 3: Das letzte Rätsel |Auf dem letzten Teil eurer Jagd entdeckt ihr eine mysteriöse geometrische Nachricht: "In jedem Dreieck steht ein gestreckter Winkel, wenn man die Innenwinkel nebeneinanderlegt." Ihr sollt dies überprüfen, in dem ihr ein eigenes Dreieck konstruiert und die drei Innenwinkel nebeneinander anordnet. Zeigt, dass diese Winkel zusammen einen gestreckten Winkel (180°) ergeben und begründet rechnerisch und logisch, warum dies immer so ist. | | {{Lösung versteckt|1=* '''Erstes Dreieck:''' |
| Zusatzfrage: Überlegt, ob diese Regel auch für Vierecke gilt und begründet eure Antwort. |Arbeitsmethode}}
| | ** Gegebene Winkel: 70° und ein Außenwinkel 110°. |
| | | ** Der Innenwinkel an der gemeinsamen Seite: a=180°−110°=70° |
| {{Lösung versteckt|1=Überlegt euch, wie ihr ein Vieleck in Dreiecke zerlegen könnt. Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von | | ** Fehlender Winkel b: 70°+70°+b=180° b=180°−70°−70°=40° |
| 180°. Die Anzahl der Dreiecke im Vieleck hilft euch dabei, die gesamte Innenwinkelsumme zu berechnen. Probiert es zuerst mit einem Viereck: Wie viele Dreiecke könnt ihr darin erkennen? Dann versucht es mit einem Fünfeck. Die Formel, die euch helfen könnte, lautet: (n−2)⋅180°, wobei n die Anzahl der Ecken des Vielecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp1 verbergen}}
| | * '''Zweites Dreieck:''' |
| {{Lösung versteckt|1=Hauptaufgabe: Nachweis der Innenwinkelsumme von 180° im Dreieck | | ** Ein Innenwinkel ist ein Wechselwinkel des Außenwinkels 110° des ersten Dreiecks: a=110° |
| | | ** Gegebener Winkel: 50°. |
| Konstruktion eines eigenen Dreiecks: Nehmen wir ein Dreieck mit den Innenwinkeln 50°, 60° und 70°.
| | ** Fehlender Winkel c: 50°+110°+c=180° c=180°−50°−110°=20° |
| Legt die drei Winkel nebeneinander, sodass sie eine gemeinsame Ecke haben. Wenn ihr die Winkel so arrangiert, bilden sie zusammen eine gerade Linie, also einen gestreckten Winkel von 180°.
| | * '''Überprüfung der Innenwinkelsummen:''' |
| | | ** Erstes Dreieck: 70°+70°+40°=180°. |
| Rechnung:50°+60°+70°=180°
| | ** Zweites Dreieck: 50°+110°+20°=180°.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode}} |
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| Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ergibt sich aus der Geometrie von ebenen Flächen.
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| Ein Dreieck ist die einfachste geschlossene Form in der Ebene. Wenn man alle drei Innenwinkel nebeneinander legt, decken sie zusammen 180° ab, was der Definition eines gestreckten Winkels entspricht. | |
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| Zusatzfrage: Gilt diese Regel auch für Vierecke?
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| Nein, für Vierecke gilt diese Regel nicht direkt, da die Innenwinkelsumme eines Vierecks 360° beträgt.
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| Warum 360°? Ein Viereck kann in zwei Dreiecke unterteilt werden, und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180°. Daher ergibt sich für ein Viereck: 180°+180°=360°
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| Begründung: Die Anzahl der Innenwinkel in einem Polygon bestimmt die Summe der Winkel. Für ein n-Eck gilt die Formel: Innenwinkelsumme=(n−2)⋅180°
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| Für ein Viereck (n=4) ergibt sich: (4−2)⋅180°=360°|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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