Geometrie im Dreieck/Geheimcode der Geometrie: Unterschied zwischen den Versionen

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== Aufgabe 1 ==
== Aufgabe 1 ==
{{Box |Level 1: Erste Hinweise | Euer erster Hinweis führt euch zu einem Dreieck, bei dem zwei Winkel gegeben sind: 50° und 60°. Der dritte Winkel ist jedoch verdeckt. Findet den verborgenen Winkel und zeigt rechnerisch, dass die Summe der Innenwinkel 180° beträgt. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist immer 180°, weil die drei Winkel zusammen eine gerade Linie ergeben, wenn man sie nebeneinanderlegt. Eine gerade Linie hat immer 180°. | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Box | Aufgabe 1.1: Grundlagen - Berechnung eines Winkels im Dreieck |Ein Dreieck hat die Winkel  
{{Lösung versteckt|1=Um den verborgenen Winkel zu finden, nutzen wir die Tatsache, dass die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer
50° und 60°. Berechne den fehlenden Winkel und überprüfe, ob die Innenwinkelsumme des Dreiecks 180° ergibt.  
180° beträgt. Die gegebenen Winkel sind 50° und 60°. Der dritte Winkel x lässt sich berechnen, indem wir die Summe der beiden gegebenen Winkel von 180° abziehen:
{{Lösung versteckt|1='''Tipps:'''
x=180°−(50°+60°)
Rechnung:
x=180°−110°=70°
Ergebnis:
Der verborgene Winkel ist 70°.
Nachweis der Innenwinkelsumme:
50°+60°+70°=180°


Damit ist rechnerisch bestätigt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
* Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°.
* Addiere die beiden gegebenen Winkel.
* Subtrahiere die Summe von 180°, um den fehlenden Winkel zu berechnen.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Gegebene Winkel: 50°, 60°.
Berechnung: 50°+60°+x=180° x=180°−50°−60°=70°
Fehlender Winkel: 70°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
{{Box | Aufgabe 1.2: Kombination von Innenwinkelsumme und Stufenwinkel |Ein Dreieck liegt zwischen zwei parallelen Linien. Ein Außenwinkel des Dreiecks beträgt 120°, und ein Innenwinkel beträgt 40°.


{{Box | Level 2: Weitere Spuren entdecken | Euer nächster Hinweis befindet sich in einem gleichschenkligen Dreieck. Ihr wisst, dass die beiden Basiswinkel jeweils 65° betragen, aber der Winkel an der Spitze ist unleserlich. Berechnet diesen Winkel und erklärt rechnerisch, warum die Innenwinkelsumme 180° ergibt. Argumentiert, warum die Summe der Winkel im Dreieck immer diese Zahl ergibt, egal wie das Dreieck aussieht. | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
# Berechne den zweiten Innenwinkel des Dreiecks mit Hilfe der Stufenwinkel-Regel.
{{Lösung versteckt|1=In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich. Hier beträgt jeder der beiden Basiswinkel 65°. Um den Spitzenwinkel x zu berechnen, nutzen wir wieder die Innenwinkelsumme eines Dreiecks, die stets 180° beträgt.
# Berechne den dritten Innenwinkel des Dreiecks und überprüfe, ob die Innenwinkelsumme 180° ergibt.
Rechnung:
# Zeichne das Dreieck (Maßstab nicht notwendig).  
 
{{Lösung versteckt|1=* Nutze die '''Stufenwinkel-Regel''': Wenn zwei Linien parallel sind, sind die Stufenwinkel gleich.
Die Summe der beiden Basiswinkel beträgt:
* Berechne den zweiten Innenwinkel mithilfe der Stufenwinkel.
65°+65°=130°
* Verwende die Innenwinkelsumme, um den dritten Winkel zu berechnen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=* '''Berechnung des zweiten Innenwinkels:'''
Der Spitzenwinkel x ergibt sich aus:
** Der Außenwinkel 120° liegt an einer der parallelen Linien. Sein zugehöriger Innenwinkel a ist ein Nebenwinkel: a=180°−120°=60°
x=180°−130°=50°
* '''Berechnung des dritten Innenwinkels:'''
Der Winkel an der Spitze ist 50°.
** Gegebene Winkel: 40° und 60°.
 
** Fehlender Winkel b: 40°+60°+b=180° b=180°−40°−60°=80°
Nachweis der Innenwinkelsumme:
* '''Zeichnung:'''  Zeichne zwei parallele Linien, ein Dreieck dazwischen und markiere die Winkel 40°,60°,80° .|2=Lösung|3=Lösung verbergen}} | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
65°+65°+50°=180°
{{Box | Aufgabe 1.3: Wechselwinkel und mehrere Dreiecke |Zwei Dreiecke liegen nebeneinander und teilen eine gemeinsame Seite. Die beiden Dreiecke befinden sich zwischen zwei parallelen Linien. Im ersten Dreieck beträgt ein Innenwinkel 70°, und der Außenwinkel an der gemeinsamen Seite beträgt 110°.
Damit ist die Innenwinkelsumme des Dreiecks rechnerisch bestätigt.
Im zweiten Dreieck beträgt ein Innenwinkel 50°, und ein anderer Innenwinkel ist ein Wechselwinkel des Außenwinkels des ersten Dreiecks.
 
Berechne alle fehlenden Winkel in beiden Dreiecken.
 
Zeige, dass die Innenwinkelsummen der Dreiecke jeweils 180° ergeben.
Warum ist die Summe immer 180°?
{{Lösung versteckt|1=* Nutze die '''Wechselwinkel-Regel''': Wechselwinkel sind gleich, wenn zwei Linien parallel sind.
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°, weil die drei Innenwinkel zusammen eine gerade Linie ergeben, wenn man die Winkel nebeneinander legt. Dies folgt aus den geometrischen Eigenschaften von Dreiecken:
* Berechne zunächst den fehlenden Winkel des ersten Dreiecks mithilfe der Nebenwinkel-Regel.
 
* Nutze den Wechselwinkel, um den fehlenden Winkel im zweiten Dreieck zu bestimmen.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
 
{{Lösung versteckt|1=* '''Erstes Dreieck:'''
Definition von Winkeln und Linien: Ein gerader Winkel entspricht 180°.
** Gegebene Winkel: 70° und ein Außenwinkel 110°.
Geometrische Herleitung: Wenn man in einem Dreieck eine der Seiten verlängert, bildet der äußere Winkel zusammen mit dem Innenwinkel an der Basis einen geraden Winkel (180°). Alle Innenwinkel summieren sich daher ebenfalls zu 180°. Egal, wie ein Dreieck geformt ist (spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig), bleibt diese Eigenschaft bestehen, da sie auf den geometrischen Grundlagen basiert.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
** Der Innenwinkel an der gemeinsamen Seite: a=180°−110°=70°
 
** Fehlender Winkel b: 70°+70°+b=180° b=180°−70°−70°=40°
{{Box | Level 3: Das letzte Rätsel |Auf dem letzten Teil eurer Jagd entdeckt ihr eine mysteriöse geometrische Nachricht: "In jedem Dreieck steht ein gestreckter Winkel, wenn man die Innenwinkel nebeneinanderlegt." Ihr sollt dies überprüfen, in dem ihr ein eigenes Dreieck konstruiert und die drei Innenwinkel nebeneinander anordnet. Zeigt, dass diese Winkel zusammen einen gestreckten Winkel (180°) ergeben und begründet rechnerisch und logisch, warum dies immer so ist.  
* '''Zweites Dreieck:'''
Zusatzfrage: Überlegt, ob diese Regel auch für Vierecke gilt und begründet eure Antwort. |Arbeitsmethode}}
** Ein Innenwinkel ist ein Wechselwinkel des Außenwinkels 110° des ersten Dreiecks: a=110°
 
** Gegebener Winkel: 50°.
{{Lösung versteckt|1=Überlegt euch, wie ihr ein Vieleck in Dreiecke zerlegen könnt. Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsumme von
** Fehlender Winkel c: 50°+110°+c=180° c=180°−50°−110°=20°
180°. Die Anzahl der Dreiecke im Vieleck hilft euch dabei, die gesamte Innenwinkelsumme zu berechnen. Probiert es zuerst mit einem Viereck: Wie viele Dreiecke könnt ihr darin erkennen? Dann versucht es mit einem Fünfeck. Die Formel, die euch helfen könnte, lautet: (n−2)⋅180°, wobei n die Anzahl der Ecken des Vielecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp1 verbergen}}
* '''Überprüfung der Innenwinkelsummen:'''
{{Lösung versteckt|1=Hauptaufgabe: Nachweis der Innenwinkelsumme von 180° im Dreieck
** Erstes Dreieck: 70°+70°+40°=180°.
 
** Zweites Dreieck: 50°+110°+20°=180°.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}| Arbeitsmethode}}
Konstruktion eines eigenen Dreiecks: Nehmen wir ein Dreieck mit den Innenwinkeln 50°, 60° und 70°.
Legt die drei Winkel nebeneinander, sodass sie eine gemeinsame Ecke haben. Wenn ihr die Winkel so arrangiert, bilden sie zusammen eine gerade Linie, also einen gestreckten Winkel von 180°.
 
Rechnung:50°+60°+70°=180°
 
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ergibt sich aus der Geometrie von ebenen Flächen.
Ein Dreieck ist die einfachste geschlossene Form in der Ebene. Wenn man alle drei Innenwinkel nebeneinander legt, decken sie zusammen 180° ab, was der Definition eines gestreckten Winkels entspricht.
 
 
Zusatzfrage: Gilt diese Regel auch für Vierecke?
Nein, für Vierecke gilt diese Regel nicht direkt, da die Innenwinkelsumme eines Vierecks 360° beträgt.
 
Warum 360°? Ein Viereck kann in zwei Dreiecke unterteilt werden, und die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180°. Daher ergibt sich für ein Viereck: 180°+180°=360°
Begründung: Die Anzahl der Innenwinkel in einem Polygon bestimmt die Summe der Winkel. Für ein n-Eck gilt die Formel: Innenwinkelsumme=(n−2)⋅180°
Für ein Viereck (n=4) ergibt sich: (4−2)⋅180°=360°|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}




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{{Lösung versteckt|1=Ein Kreis hat insgesamt 360°, also sind α und der fehlende Winkel zusammen 360° groß. Wie kannst du damit den fehlenden Winkel bestimmen?|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Kreis hat insgesamt 360°, also sind α und der fehlende Winkel zusammen 360° groß. Wie kannst du damit den fehlenden Winkel bestimmen?|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zunächst muss der Winkel bei dem eingezeichneten Winkel von 267° berechnet werden. Ein Kreis hat 360°. Um den Winkel zu bestimmen, muss also gerechnet werden: 360°-267°=93°. Der zweite fehlende Winkel kann mithilfe des Innenwinkelsatzes bestimmt werden: 180°-93°-50°=37°.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zunächst muss der Winkel bei dem eingezeichneten Winkel von 267° berechnet werden. Ein Kreis hat 360°. Um den Winkel zu bestimmen, muss also gerechnet werden: 360°-267°=93°. Der zweite fehlende Winkel kann mithilfe des Innenwinkelsatzes bestimmt werden: 180°-93°-50°=37°.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
===== Aufgabenteil 2 (gleichschenkliges Dreieck) =====
{{Lösung versteckt|1=Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Winkel an den gleich langen Schenkeln immer gleich groß.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=ei einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Winkel an den gleich langen Schenkeln immer gleich groß. Das bedeutet, der Winkel β ist ebenfalls 70° groß. Der fehlende Winkel γ kann mithilfe des Innenwinkelsatzes berechnet werden: γ=180°-α-β=180°-70°-70°=40°.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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Aktuelle Version vom 10. Dezember 2024, 09:25 Uhr

Informationskästchen

Info

In diesem Lernpfadkapitel tauchen wir in die spannende Welt der Dreiecke ein und erforschen die Geheimnisse der Innenwinkelsumme. Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

  • In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
  • Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
  • Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.
Viel Erfolg!

Die Innenwinkelsumme im Dreieck

Was ist die Innenwinkelsumme in einem Dreieck?

In diesem Kapitel geht es um die Innenwinkelsumme im Dreieck. Probiere an dem GeoGebra Applet aus was mit den drei Winkeln im Dreieck passiert, wenn man sie aneinander legt, um das Besondere an der Innenwinkelsumme in einem Dreieck zu erkunden.

GeoGebra

An den folgenden Bildern kann man sehen, dass die Winkel in einem Dreieck zusammen einen gestreckten Winkel ergeben, wenn man sie aneinanderlegt. Innenwinkelsumme im Dreieck.jpg Gestreckte Winkel .jpg

Formuliere einen Merksatz zu dem Innenwinkelsatz in einem Dreieck anhand deiner Beobachtungen am Applet.

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad. Dies wird durch den Innenwinkelsatz beschrieben.

Fair Play im Ecken-Fußball: Ein geometrisches Problem im Sportunterricht

Winkelberechnung im Ecken-Fußball mit dem Innenwinkelsatz

Die Klasse 8a spielt in der Sportstunde Ecken-Fußball. Dafür stellen sie ein Dreieck aus Bänken auf, bei dem jede Ecke ein Tor darstellt. Der Kapitän von Mannschaft A behauptet, dass das Tor von Mannschaft C viel kleiner ist als die anderen. Hilf der Klasse 8a, indem du mithilfe des Applets überprüfst, wie die Bänke angeordnet werden müssen, damit jedes Tor gleich groß ist. Ist das Fußballspiel fair oder nicht?

GeoGebra
Alle drei Bänke sind gleich lang. Was sagt euch das über die Größe der Winkel?
Das Tor von Mannschaft A hat einen Winkel von 60 Grad.

Weil alle drei Bänke gleich lang sind entsteht bei dem dreieckigen Spielfeld ein gleichseitiges Dreieck. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß. Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt. Daher führen wir folgende Rechnung durch: 180°:3= 60°

Antwort: Das Spiel ist fair, weil bei drei gleich langen Bänken drei gleich große Winkel mit jeweils 60° entstehen.

Aufgabe 1

Aufgabe 1.1: Grundlagen - Berechnung eines Winkels im Dreieck

Ein Dreieck hat die Winkel 50° und 60°. Berechne den fehlenden Winkel und überprüfe, ob die Innenwinkelsumme des Dreiecks 180° ergibt.

Tipps:

  • Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°.
  • Addiere die beiden gegebenen Winkel.
  • Subtrahiere die Summe von 180°, um den fehlenden Winkel zu berechnen.

Gegebene Winkel: 50°, 60°. Berechnung: 50°+60°+x=180° x=180°−50°−60°=70°

Fehlender Winkel: 70°.
Aufgabe 1.2: Kombination von Innenwinkelsumme und Stufenwinkel

Ein Dreieck liegt zwischen zwei parallelen Linien. Ein Außenwinkel des Dreiecks beträgt 120°, und ein Innenwinkel beträgt 40°.

  1. Berechne den zweiten Innenwinkel des Dreiecks mit Hilfe der Stufenwinkel-Regel.
  2. Berechne den dritten Innenwinkel des Dreiecks und überprüfe, ob die Innenwinkelsumme 180° ergibt.
  3. Zeichne das Dreieck (Maßstab nicht notwendig).
  • Nutze die Stufenwinkel-Regel: Wenn zwei Linien parallel sind, sind die Stufenwinkel gleich.
  • Berechne den zweiten Innenwinkel mithilfe der Stufenwinkel.
  • Verwende die Innenwinkelsumme, um den dritten Winkel zu berechnen.
  • Berechnung des zweiten Innenwinkels:
    • Der Außenwinkel 120° liegt an einer der parallelen Linien. Sein zugehöriger Innenwinkel a ist ein Nebenwinkel: a=180°−120°=60°
  • Berechnung des dritten Innenwinkels:
    • Gegebene Winkel: 40° und 60°.
    • Fehlender Winkel b: 40°+60°+b=180° b=180°−40°−60°=80°
  • Zeichnung: Zeichne zwei parallele Linien, ein Dreieck dazwischen und markiere die Winkel 40°,60°,80° .
Aufgabe 1.3: Wechselwinkel und mehrere Dreiecke

Zwei Dreiecke liegen nebeneinander und teilen eine gemeinsame Seite. Die beiden Dreiecke befinden sich zwischen zwei parallelen Linien. Im ersten Dreieck beträgt ein Innenwinkel 70°, und der Außenwinkel an der gemeinsamen Seite beträgt 110°. Im zweiten Dreieck beträgt ein Innenwinkel 50°, und ein anderer Innenwinkel ist ein Wechselwinkel des Außenwinkels des ersten Dreiecks. Berechne alle fehlenden Winkel in beiden Dreiecken. Zeige, dass die Innenwinkelsummen der Dreiecke jeweils 180° ergeben.

  • Nutze die Wechselwinkel-Regel: Wechselwinkel sind gleich, wenn zwei Linien parallel sind.
  • Berechne zunächst den fehlenden Winkel des ersten Dreiecks mithilfe der Nebenwinkel-Regel.
  • Nutze den Wechselwinkel, um den fehlenden Winkel im zweiten Dreieck zu bestimmen.
  • Erstes Dreieck:
    • Gegebene Winkel: 70° und ein Außenwinkel 110°.
    • Der Innenwinkel an der gemeinsamen Seite: a=180°−110°=70°
    • Fehlender Winkel b: 70°+70°+b=180° b=180°−70°−70°=40°
  • Zweites Dreieck:
    • Ein Innenwinkel ist ein Wechselwinkel des Außenwinkels 110° des ersten Dreiecks: a=110°
    • Gegebener Winkel: 50°.
    • Fehlender Winkel c: 50°+110°+c=180° c=180°−50°−110°=20°
  • Überprüfung der Innenwinkelsummen:
    • Erstes Dreieck: 70°+70°+40°=180°.
    • Zweites Dreieck: 50°+110°+20°=180°.


Aufgabe 2

Aufgabe 2.1

Berechne den fehlenden Winkel mithilfe des Innenwinkelsatzes.

Aufgabe 2.1 NEU.jpg
Berechne den fehlenden Winkel γ, indem du die anderen beiden Winkel von 180° abziehst.

Gesucht: γ

Lösungsweg: γ=180°-50°-35°=95°
Aufgabe 2.2

Erkenne die Innenwinkel des Dreiecks und berechne die fehlenden Winkelgrößen.

Aufgabe 2.2 NEU.jpg
Der 102° Winkel und γ sind Nebenwinkel. Es gilt also 102°+γ=180°. Wie kannst du herausfinden, wie groß γ ist?
Wenn du die fehlenden Winkel α und γ berechnet hast, kannst du β mithilfe des Innenwinkelsatzes bestimmen.

Gesucht: α, β, γ

Lösungsweg:

Der 50° Winkel und α bilden einen rechten Winkel (90°), das heißt α=90°-50°=40°.

Der 102° Winkel und γ sind Nebenwinkel, das heißt sie sind zusammen 180° groß. Damit ergibt sich: γ=180°-102°=78°.

β kann mithilfe des Innenwinkelsatzes bestimmt werden: β=180°-α-γ=180°-40°-78°=62°.
Aufgabe 2.3

Berechne die fehlenden Winkelgrößen.

Aufgabe 2.3 NEU.jpg
Der 52° Winkel und α sind Nebenwinkel. Wie groß ist dann α?
Die fehlenden Winkel β und γ können mithilfe des Innenwinkelsatzes berechnet werden.

Gesucht: α, β, γ

Lösungsweg:

Der eingezeichnete 52° Winkel und α sind Nebenwinkel, das heißt sie sind zusammen 180° groß. Damit ergibt sich: α=180°-52°=128°.

Den fehlenden Winkel β kann nun mithilfe des Innenwinkelsatzes berechnet werden: β=180°-α-20°=180°-128°-20°=32°.

Auch Winkel γ kann mithilfe des Innenwinkelsatzes berechnet werden: β=180°-53°-52°=75°.

Aufgabe 3

Teste dein Wissen!

Starte die Aufgabe, indem du auf "Ok" klickst. Falls du einen Tipp brauchst, schaue unter der Aufgabe. Dort findest du auch die Lösungswege.

Aufgabenteil 1
Ein Kreis hat insgesamt 360°, also sind α und der fehlende Winkel zusammen 360° groß. Wie kannst du damit den fehlenden Winkel bestimmen?
Zunächst muss der Winkel bei dem eingezeichneten Winkel von 267° berechnet werden. Ein Kreis hat 360°. Um den Winkel zu bestimmen, muss also gerechnet werden: 360°-267°=93°. Der zweite fehlende Winkel kann mithilfe des Innenwinkelsatzes bestimmt werden: 180°-93°-50°=37°.
Aufgabenteil 2 (gleichschenkliges Dreieck)
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Winkel an den gleich langen Schenkeln immer gleich groß.
ei einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Winkel an den gleich langen Schenkeln immer gleich groß. Das bedeutet, der Winkel β ist ebenfalls 70° groß. Der fehlende Winkel γ kann mithilfe des Innenwinkelsatzes berechnet werden: γ=180°-α-β=180°-70°-70°=40°.


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