Geometrie im Dreieck/Triangle-Architects

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In diesem Lernpfadkapitel lernst du drei Kongruenzsätze kennen, wie du Konstruktionsbeschreibungen erstellst und umsetzt.

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du das Arbeitsblatt "Triangle Architects", einen Zirkel, ein Geodreieck und einen Bleistift.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• Aufgaben, die gelb gefärbt sind, solltest du zum Einstieg auf jeden Fall bearbeiten.
• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Aufgaben mit lilaner Farbe sind schwierige Aufgaben.
• Immer wenn du Hilfe benötigst, kannst du die "Hilfe"-Kästchen öffnen. Tue dies aber wirklich nur, wenn es nötig ist.
• Außerdem findest du unter den Texten auch "Worthilfen", in denen schwierige Wörter erklärt sind. Die erklärten Wörter sind im Text fett markiert.

Viel Erfolg!

1. Achim und Alberta auf Burg Hülshoff

Achim und Alberta sind verwirrt

Burg Hülshoff mit der Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta

Zwischen Münster und Havixbeck steht die Burg Hülshoff. Vor etwa 200 Jahren wurde dort Annette Droste-Hülshoff geboren. Sie schrieb unter anderem das Gedicht "der Knabe im Moor". Zur Erinnerung an sie soll in den Burghof eine Bühne gebaut werden. Damit wurde das Architektenduo Achim-Alberta beauftragt. Das Duo hat bereits eine Idee und eine Skizze angefertigt (siehe Bilder). Heute wollen sie zum Schloss fahren und messen, wie groß die Bühne wird. Sie überlegen, welche Längen und Winkel sie messen müssen, um die Bühne genau zu konstruieren.

Abbildung 3: Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta

Kannst du ihnen helfen? Welche Größen müssen Sie messen, um die Bühne zu konstruieren? Beschäftige dich dabei zunächst nur mit der dreieckigen Grundfläche (Siehe Abbildung 3). Notiere dir die Größen, die sie deiner Meinung nach messen müssen, auf einem Schmierpapier. Gibt es verschiedene Kombinationen, die eine Konstruktion möglich machen? In den folgenden Aufgaben lernst du, welche Größen ein Architekt braucht, um ein Dreieck zu konstruieren. Bei Aufgabe 4 kannst du dich selber überprüfen.

Messbare Größen sind die Länge der Hausseite a, der Hausseite b und der Hausseite c und die Größe der Winkel α, β und γ

2. Ein Dreieck konstruieren mit Seite-Winkel-Seite (SWS)

In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du die Länge von zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennst. In der Box steht eine Anleitung, die dir das Konstruieren von Dreiecken erleichtert. Nutze die Anleitung für die folgenden Aufgaben.

Anleitung

A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.

B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot.

C: Konstruiere das Dreieck.

• 1. Zeichnne eine der gegebenen Seiten.
• 2. Zeichne den gegebenen Winkel. Achte darauf, ihn an die richtige Seite zu zeichnen. Durch den Winkel entsteht ein Schenkel.
• 3. Messe an diesem Schenkel die Länge der zweiten gegebenen Seite ab und zeichne diese Seite ein. Hierfür kannst du gut einen Zirkel verwenden.
• 4. Verbinde die beiden noch unverbundenen Punkte. Fertig ist das Dreieck.

Erinnerung: Alle Seiten, Winkel und Längen müssen beschriftet werden.

D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-4

Konstruieren bedeutet, dass du eine geometrische Figur Schritt für Schritt erstellst. Dabei musst du sehr genau arbeiten.

Planfigur: Eine Planfigur ist eine kleine Zeichnung, in der noch nicht alle Längen, Winkel und Größen richtig eingetragen sind. Du markierst dir die gegebene Größen, Winkel, Seiten bunt und hast dadurch einen besseren Überblick. Ein Beispiel für eine Planfigur siehst du bei Aufgabe 2.3

Konstruktionsbeschreibung: Du schreibst in kleinen Schritten auf, wie du ein Dreieck gezeichnet hast.

Aufgabe 2.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen

Du sollst ein Dreieck mit b $=$ 2cm, α $=$ 50°, c $=$ 5cm konstruieren. Sortiere welche Schritte der Konstruktionsbeschreibung zu welchen Bildern gehören. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.

Aufgabe 2.2: Konstruktionsbeschreibung sortieren

Du sollst wie zuvor ein Dreieck mit b $=$ 2cm, α $=$ 50°, c $=$ 5cm konstruieren. Sortiere die Schritte in die richtige Reihenfolge. Benutze Aufgabe 2.1 als Hilfe. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.

Aufgabe 2.3: Fertigstellen einer Konstruktion mit SWS

Konstruiere das Dreieck mit SWS. Gegeben sind b $=$ 5cm, c $=$ 9cm und α $=$ 55°. Achim und Alberta haben mit der Konstruktion schon begonnen. Stelle die Konstruktion auf dem Arbeitsblatt "Triangle Architects" fertig. Um deine Lösung zu überprüfen, kannst du die Länge der Seite a messen und mit der Musterlösung vergleichen.

Planfigur für Aufgabe 2.3

Lösung für Aufgabe 2.3

Aufgabe 2.4: Durchführung einer Konstruktion mit SWS

Konstruiere das Dreieck mit SWS auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind b $=$ 8cm, c $=$ 3cm und α $=$ 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch. Um deine Lösung zu überprüfen, kannst du die Länge der Seite a messen und mit der Musterlösung vergleichen.

Lösung für Aufgabe 2.4

Aufgabe 2.5: Durchführung einer Konstruktion mit SWS

Konstruiere das Dreieck mit SWS in deinem Heft. Gegeben sind a $=$ 5cm, b $=$ 2,5cm und ɣ $=$ 80°. Führe dazu alle Schritte A-D durch.

Lösung für Aufgabe 2.5

3. Ein Dreieck konstruieren mit Winkel-Seite-Winkel (WSW)

In diesem Kapitel lernst du, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, wenn du zwei Winkel gegeben hast sowie die Seite, die zwischen diesen beiden Winkeln liegt.

Anleitung

A: Schreibe auf, welche Angaben über das Dreieck gegeben sind.

B: Zeichne eine Planfigur. Markiere die gegebenen Größen rot.

C: Konstruiere das Dreieck.

• 1. Zeichne als erstes die gegebene Seite und beschrifte diese.
• 2. Zeichne an ein Ende dieser Seite den ersten Winkel ein.
• 3. Zeichne am anderen Ende der Seite den zweiten Winkel ein.

Verlängere nun die beiden Schenkel an den beiden Winkeln. Sie schneiden sich in einem Punkt, fertig ist das Dreieck! Beschrifte das Dreieck vollständig.

D: Schreibe eine Konstruktionsbeschreibung: Notiere die Schritte 1-3

Aufgabe 3.1: Konstruktionsbeschreibung anfertigen/ Bilder ordnen

Du sollst ein Dreieck mit c $=$ 5cm, α $=$ 55°, β $=$ 30° konstruieren. Ordne die Schritte der Konstruktionsbeschreibung den Bildern zu. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.

Aufgabe 3.2: Konstruktionsbeschreibung anfertigen/ Lückentext

Du sollst ein Dreieck mit c $=$ 4cm, α $=$ 50°, β $=$ 40° konstruieren. Fülle die Lücken im Text in der richtigen Reihenfolge aus. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.

Beschränke dich bei der Auswahl der Texte für die Lücken auf folgende Optionen: Schnittpunkt, β = 40°, α = 50°,

c = 4cm.

Aufgabe 3.3: Durchführung einer Konstruktion mit WSW

Konstruiere das Dreieck mit WSW auf dem Arbeitsblatt. Gegeben sind c $=$ 4cm, α $=$ 90° und 𝝱 $=$ 50°. Führe dazu alle Schritte A-D durch. Wir haben mit der Konstruktion schon angefangen. Stelle die Konstruktion fertig.

Planfigur für Aufgabe 3.3

Lösung für Aufgabe 3.3

Aufgabe 3.4: Dachkonstruktion mit WSW

Achim und Alberta möchten ein dreieckiges Dach bauen. Leider sind sie vergesslich und wissen nur noch die Größen von 2 Winkeln und die dazwischenliegende Seitenlänge. Konstruiere das dreieckige Dach mit SWS. Gegeben sind a $=$ 6cm, 𝝱 $=$ 450 und ɣ $=$ 70°. Führe dazu alle Schritte A-D in deinem Heft durch.

Lösung für Aufgabe 3.4

4. Training macht den Meister

Aufgabe 4.1: Trainiere dein Wissen!

Nach einer stressigen Woche haben die Architekten Achim und Alberta einige Dinge über die Konstruktion von Dreiecken vergessen. Hilf ihnen, sich wieder an dieses Wissen zu erinnern und beantworte die folgenden Fragen. Dabei wählst du aus verschiedenen Antworten die richtige aus, oder entscheidest, ob eine Behauptung richtig oder falsch ist! Klicke davor auf den Button "Alleine spielen"!

Aufgabe 4.2: Erinnere dich an den Einstieg zurück!

Achim und Alberta wollen eine dreieckige Bühne konstruieren. Welche Größen müssen sie messen, um die Bühne zu konstruieren? Fülle den Lückentext aus.

Bühnenkonstruktion von Achim und Alberta

Erinnere dich an den Einstieg zurück. Müssen Achim und Alberta mehr oder weniger Größen messen als du dachtest?

Dreiecke lassen sich nach den Konstruktionssätzen SWS und WSW konstruieren. Achim und Alberta können also verschiedene Kombinationen von Größen messen. Diese sind:

Hausseite a, Hausseite b und der Winkel γ

Hausseite b, Hofseite c und der Winkel β

Hausseite a, Hofseite c und der Winkel α

Hausseite a und die Winkel γ und β

Hausseite b und die Winkel α und β

Hofseite c und die Winkel α und β

Super, du bist mit dem normalen Teil fertig! Wenn du möchtest kannst du das 5. Thema "Triangle-Experts" bearbeiten, ansonsten gehe zurück zur Startseite Geometrie im Dreieck und bearbeite ein weiteres Kapitel!

5. Triangle-Experts: Kann man mit drei Seiten immer ein Dreieck konstruieren?

Nach dem Trainingslager sind Achim und Alberta nun in der Lage, sich schwereren Aufgaben zu widmen. Die beiden haben dummerweise ihr Werkzeug zum Winkelmessen vergessen. Nun überlegen die beiden, ob es ausreicht, nur die drei Seitenlängen zu kennen, um ein Dreieck zu konstruieren. Achim sagt: "Klar, das ist doch leicht, habe ich drei Seiten gegeben, dann kann ich immer ein Dreieck konstruieren!" Alberta hingegen zögert etwas: "Ich bin mir da nicht so sicher, ich glaube, dass die Seitenlängen besondere Voraussetzungen erfüllen müssen!" Bearbeite die folgenden Aufgaben und finde heraus, wer Recht hat!

Aufgabe 5.1: Wann ist ein Dreieck konstruierbar?

Unten siehst du im GeoGebra-Applet ein Dreieck. Du kannst das Dreieck verändern, indem du die Längen der Seiten a,b und c mithilfe des jeweiligen Schiebereglers veränderst.

a) Überprüfe zuerst ob die folgende Dreiecke mit den gegebenen Seiten konstruierbar sind.

1. a$=$3, b$=$3, c$=$3
2. a$=$5, b$=$4, c$=$3
3. a$=$8, b$=$4, c$=$3
4. a$=$4, b$=$9, c$=$4

Wie du hier sehen kannst, lassen sich die 3. und 4. Möglichkeit nicht konstruieren, da sich die beiden Schenkel nicht berühren

b) Finde nun durch Bewegen der Schieberegler heraus, unter welchen Bedingungen ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten a,b und c konstruierbar ist. Bei Aufgabe 5.2 kannst du deine Theorie überprüfen.

Addiere jeweils die Länge von 2 Seiten. Ist diese Summe kleiner oder größer als die dritte Seite?

Aufgabe 5.2: Entscheide, was richtig ist

Kreuze an, welche Bedingungen in einem Dreieck vorliegen müssen, damit es konstruierbar ist. Wähle alle richtigen Antworten aus! Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts.

Stelle einen Merksatz auf!

Fülle den Lückentext aus, indem du aus den Vorschlägen das richtige Wort in die jeweilige Lücke setzt. Wenn du meinst, dass du die richtige Lösung gefunden hast, tippe auf den blauen Haken unten rechts. Schreibe dann den ausgefüllten Text in dein Heft.

Super, du bist fertig! Gehe zurück zur Startseite und bearbeite ein weiteres Kapitel!

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