Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt: Unterschied zwischen den Versionen
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Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen. | Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen. | ||
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|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt. | |1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt. | ||
Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du | Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an. | ||
Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen: | ||
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Viel Erfolg! | Viel Erfolg! | ||
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== | ==Einbrecher in Münster== | ||
[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]] | [[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]] | ||
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In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von | In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von | ||
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür | Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“ | ||
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==Übung== | ==Übung== | ||
{{Box | Aufgabe 2 | {{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien. | ||
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}} | {{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}} | ||
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==Konstruktion== | ==Konstruktion== | ||
{{Box|Aufgabe | Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen. | ||
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks. | |||
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{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}} | {{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}} | ||
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}} | |Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}} | ||
}} | }} | ||
{{Box|Aufgabe | {{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks. | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}} | |Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}} | ||
}} | }} | ||
{{Box|Aufgabe | {{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks. | ||
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{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
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== Wissen II == | == Wissen II == | ||
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen. | |||
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten. | Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten. | ||
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> | <ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> | ||
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier]. | Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier]. | ||
Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an. | Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an. | ||
==Vertiefung== | ==Vertiefung== | ||
{{Box|Aufgabe | Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung. | ||
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = | {{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß. | ||
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990 | |||
}} | }} | ||
{{Box | Aufgabe | {{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | ||
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" / | <ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | ||
{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | ||
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | {{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}} | ||
Hier kannst du deine Lösung überprüfen: | |||
{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}} | |||
==Auf der Lauer== | ==Auf der Lauer== | ||
{{Box|Aufgabe | {{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen. | ||
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" /> | <ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" /> | ||
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{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}} | {{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}} | ||
Überprüfung: | |||
[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]] | [[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]] | ||
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}} | |||
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990 | |Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990 | ||
}} | }} | ||
Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde | Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde: | ||
[[ | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Geometrie_im_Dreieck}} | ||
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}} | |||
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]] |
Aktuelle Version vom 4. Dezember 2024, 14:24 Uhr
Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über charakteristische Punkte des Dreiecks aufzufrischen.
Information
Einbrecher in Münster
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?
In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“
Wissen I
Der Kreis, der alle Eckpunkte eines Dreiecks berührt, heißt Umkreis. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.
Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten Kapitel:
Alle Punkte auf der Mittelsenkrechte haben zu den zugehörigen Eckpunkten den selben Abstand. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand. Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der Umkreis.
Der Kreis, der alle Seiten eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
Du weißt: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der Inkreis), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.
Der Schwerpunkt eines Kreises ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.
Merksatz
Übung
Konstruktion
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
Wissen II
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen. Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue hier.
Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den Satz des Thales an.
Vertiefung
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
Auf der Lauer
Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde: