Benutzer:Buss-Haskert/Dreiecke/Kongruenzsätze

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Dreiecke - Vorwissen

1) Winkel im Schnittpunkt von Geraden
2) Winkelsumme im Dreieck
3) Dreiecksformen
4) Konstruktion von Dreiecken - Kongruenzsätze

5) Besondere Linien im Dreieck (Umkreis, Inkreis)

4) Konstruktion von Dreiecken - Kongruenzsätze

Material FLINK Team auf GeoGebra https://www.geogebra.org/m/cpgvg6rg (noch einfügen)

4.1 SSS

Dreiecke konstruieren: SSS - Seite, Seite, Seite

SSS - Seite, Seite, Seite

Zeichne das Dreieck mit a=3,8cm, b=5 cm und c=5,2 cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

Originallink https://www.geogebra.org/m/htean8ru

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Übung 9: SSS

Konstruiere die Dreiecke.

• Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
• Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
• Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe des GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst.
  

Löse Buch

• S. 82 Nr. 1a
• S. 82 Nr. 2
• S. 82 Nr. 3

Originallink https://www.geogebra.org/m/x8ywewz7

Übung 10: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen a=8,5cm, b=6 cm und c=5cm mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt B mit dem Radius d=a=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

3.Schritt: Zeichne einen Kreis um den Punkt A mit dem Radius e=b=6 cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

4.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C der Kreise (Schnittpunkt).Ändere den Namen des oberen Punktes in C.

5.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:
Originallink https://www.geogebra.org/m/vabdcvsy

4.2 WSW

Dreiecke konstruieren: WSW - Winkel, eingeschlossene Seite, Winkel

WSW - Winkel, eingeschlossene Seite, Winkel

Zeichne das Dreieck mit c=6 cm, $\alpha$=40° und $\beta$=70°.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

Originallink https://www.geogebra.org/m/rXPkFKrX

(Applet von Pöchtrager)

Übung 11: WSW

Konstruiere die Dreiecke.

• Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
• Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
• Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.
  

Löse Buch

• S. 83 Nr. 1
• S. 83 Nr. 2

Du benötigst für die Konstruktion nach WSW immer die an die Seite anliegenden Winkel. Berechne also den fehlenden Winkel mithilfe des Winkelsummensatzes.

Originallink https://www.geogebra.org/m/jdsfjqmj

Originallink https://www.geogebra.org/m/sfmg6nrh

Originallink https://www.geogebra.org/m/njxqdgtm

Übung 12: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen c=5cm, $\alpha$=78° $\beta$=55° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne den Winkel $\alpha$=78° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 78° eingibst.

3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte A und B'.

4.Schritt: Zeichne den Winkel $\beta$=55° (Winkel mit fester Größe), indem du die zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann 55° eingibst.

5.Schritt: Zeichne den Strahl h durch die Punkte B und A'.

6.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C der Strahle (Schnittpunkt).

7.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:
Originallink https://www.geogebra.org/m/z7ve2bz7

<brhttps://www.geogebra.org/m/z7ve2bz7>

4.3 SWS

Dreiecke konstruieren: SWS- Seite, eingeschlossener Winkel, Seite

SWS -Seite, eingeschlossener Winkel, Seite

Zeichne das Dreieck mit $\alpha$=50°, b=4,4cm und c=5,5cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

Originallink https://www.geogebra.org/m/aasppxtj

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Übung 13: SWS

Konstruiere die Dreiecke.

• Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
• Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
• Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.
  

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• S. 84 Nr. 1
• S. 84 Nr. 2

Hast du nur zwei Seitenlängen gegeben? Nein, du kennst auch einen Winkel!

Welchen Winkel bildet der Mast mit dem Boden? Skizziere!

Originallink https://www.geogebra.org/m/b9euqhgw

Originallink https://www.geogebra.org/m/cxvgbjzp

Originallink https://www.geogebra.org/m/uvjfu6pg

Übung 14: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=6,5cm, c=7 cm und $\alpha$=40° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=7cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne den Winkel $\alpha$=40° (Winkel mit fester Größe), indem du die Strecke f anklickst und dann 40° eingibst.

3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte A und B'.

4.Schritt: Zeichne um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius c=b=6,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

5.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C des Strahls g mit dem Kreis c.

6.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:
Originallink https://www.geogebra.org/m/bxuhdytg

4.4 SsW

Dreiecke konstruieren: SsW - Seite, Seite, (der längeren Seite gegenüberliegender) Winkel

SsW - lange Seite, kurze Seite, Winkel

Zeichne das Dreieck mit $\alpha$=35°, a=5,6cm und c=4,7cm.
Vergleiche deine Zeichnung mit der deines Nachbarn.

Was fällt dir auf?

Originallink https://www.geogebra.org/m/QkuY23pW

Originallink https://www.geogebra.org/m/MvzVHSma

(Applets von Pöchtrager)

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Nutze die Schieberegler im Applet, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!
Originallink https://www.geogebra.org/m/zk7qrqxv

Übung 15: SsW

Konstruiere die Dreiecke.

• Zeichne zunächst eine Planfigur und trage dort farbig die gegebenen Größen ein.
• Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal. Zeichne mit Bleistift! Die nötigen Schritte kannst du im GeoGebra-Applet oben noch einmal nachschauen.
• Überprüfe deine Lösung im Heft mithilfe der GeoGebra-Applets unter dieser Übung, indem du die Schieberegler passend einstellst. Wähle das passende Applet aus.
  

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• S. 85 Nr. 1
• S. 85 Nr. 2
• S. 85 Nr. 3

Nutze die Schieberegler im Applet oben, damit du siehst, wann es zwei Lösungen gibt. Erkläre!

Hast du nur zwei Seitenlängen gegeben? Nein, du kennst auch einen Winkel!

Welchen Winkel bildet eine Hauswand immer mit dem Boden? Skizziere!

Originallink https://www.geogebra.org/m/uvxpg43y

Originallink https://www.geogebra.org/m/zk7qrqxv

Originallink https://www.geogebra.org/m/y8zvpmrp

Übung 16: Konstruktion mit GeoGebra

Konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen b=8,5cm, c=5 cm und $\beta$=68° mit GeoGebra. Zeichne zunächst eine Planfigur in dein Heft!

1.Schritt: Zeichne die Strecke f=c=5cm.(Strecke mit fester Länge)

2.Schritt: Zeichne den Winkel $\beta$=68° (Winkel mit fester Größe), indem du zunächst den Punkt A und dann den Punkt B anklickst, "im Uhrzeigersinn" auswählst und dann die Winkelgröße 68° eingibst.

3.Schritt: Zeichne den Strahl g durch die Punkte B und A'.

4.Schritt: Zeichne um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius b=8,5cm.(Kreis mit Mittelpunkt und Radius)

5.Schritt: Markiere den Schnittpunkt C des Strahls g mit dem Kreis.

6.Schritt: Zeichne mit "Vieleck" das Dreieck ABC.

Deine Konstruktion müsste so aussehen:
Originallink https://www.geogebra.org/m/s9hnzzc9

Vermischte Übungen und Anwendungsaufgaben

Übung 17: Übungen zu Grundkonstruktionen (bei Bedarf)

Bearbeite die Aufgaben in deinem Heft und vergleiche deine Lösungen.

• Übungen GeoGebra
• mathe-trainer

Übung 18: Anwendungsaufgaben

In unserer Umgebung gibt es viele Fragestellungen, die sich mithilfe von Dreieckskonstruktionen beantworten lassen. Gehe bei der Lösung schrittweise vor:

• Lies die Aufgabenstellung genau.
• Zeichne eine Planfigur (Dreieck) und beschrifte es mit den im Text gegebenen Größen. Wähle dazu einen passenden Maßstab, z.B. 1m in Wirklichkeit entspricht 1cm in der Zeichnung.
• Notiere, um welchen Kongruenzsatz es sich handelt (SSS, WSW, SWS oder SsW).
• Konstruiere das Dreieck und miss die gesuchte Größe.
• Notiere einen Antwortsatz, in dem du die passende Maßeinheit (z.B. m) verwendest.

Löse die Aufgaben aus dem Buch

• S. 92, Nr. 12
• S. 92, Nr. 13
• S. 92, Nr. 14 (schwer!)
• S. 93, Nr. 5 links
• S. 93, Nr. 5 rechts

Trage in deiner Planfigur die gegebenen Größen ein. Du siehst, es sind zwei Winkel und die eingeschlossene Seite gegebenen. Konstruiere also mit WSW.

Der Maßstab 1:2000 bedeutet, dass 1cm in der Zeichnung 2000cm in Wirklichkeit sind.
Also sind 2000cm=20m in Wirklichkeit 1cm in der Zeichnung.
10m in Wirklickeit sind also 0,5 cm in der Zeichnung.

Also sind 150m in Wirklichkeit 7,5cm in der Zeichnung.

Du markierst in der Planfigur den Winkel $\alpha$=28° als gegeben und die Seite c=7,5cm (berechnet mit dem Maßstab, Tipp 1).
Nun fehlt eine weitere Angabe: Du kennst auch den Winkel $\beta$!
In welchem Winkel zum Boden werden Windräder aufgebaut?

Nun konstruierst du das Dreieck mit der Konstruktion nach WSW. Miss die Länge der Seite a und rechne mithilfe des Maßstabes die Länge in Wirklichkeit um. Aber Vorsicht, du bist noch nicht fertig!

Zum Schluss musst du noch die Körpergröße von 1,60m zur gemessenen Höhe im Dreieck (schon in m umgewandelt) addieren.

Lösung: Die gemessene Höhe beträgt ca. 4cm, dies sind 4∙20m = 80 m in Wirklichkeit. Mit der Körpergröße von 1,60m ist das Windrad also 81,60 m hoch.

Der Maßstab 1:500 bedeutet, dass 1cm in der Zeichnung 500 cm in Wirklichkeit sind.
500cm = 5m in der Wirklichkeit sind 1cm in der Zeichnung.
1m in Wirklichkeit sind also 0,2 cm in der Zeichnung und
28 m in Wirklichkeit sind 5,6 cm in der Zeichnung.

Auch hier kennst du den Winkel zwischen Turm und Boden.

Zeichne in Höhe der Turmspitze eine parallele Hilfslinie zum "Boden" ein.
Trage die angegebenen Winkel an und verlängere die freien Schenkel bis zum "Boden".

Wenn du alles richtig gemacht hast, ist die Strecke von A nach B (der "See") 7,6 cm lang. Rechne die Länge mit Hilfe des Maßstabs wieder in m um. Du erhältst eine Seebreite von 38 m.

Kontruiere mit SWS. Die Lösung findest du hinten im Buch! (Rückspiegel)

Ergänzung: Umkreis und Inkreis von Dreiecken