Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik8/Terme und Gleichungen/Bruchgleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
 
(9 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
{{Box-spezial
{{Box-spezial
|Titel= Erklärung  
|Titel= Erklärung  
|Inhalt= <big> '''In einer Bruchgleichung kommt mindestens ein Bruch vor, wobei die unbekannte Variable im Nenner vorkommt. Um die Gleichung zu lösen, formen wir diese Gleichung nach dieser Variablen um. Bei der Lösung ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Dies bedeutet, dass solche Lösungen entfallen, für die der Nenner Null wird. '''</big><br/>
|Inhalt= <big> ''In einer Bruchgleichung kommt mindestens ein Bruch vor, wobei die unbekannte Variable im Nenner vorkommt. Um die Gleichung zu lösen, formen wir diese Gleichung nach dieser Variablen um. Bei der Lösung ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Dies bedeutet, dass solche Lösungen entfallen, für die der Nenner Null wird. ''</big><br/>
|Farbe= #0077dd        
|Farbe= #0077dd        
|Hintergrund= #A8DF4A
|Hintergrund= #A8DF4A
Zeile 8: Zeile 8:
}}
}}
<br/>
<br/>
{{Box-spezial
{{Box-spezial
|Titel= Video: Bruchgleichungen einfach erklärt
|Titel= Video: Bruchgleichungen einfach erklärt
Zeile 65: Zeile 64:
{{Box-spezial
{{Box-spezial
|Titel= 2. Beispiel vorrechnen  
|Titel= 2. Beispiel vorrechnen  
|Inhalt= <big>''Hier wird das zweite Beispiel von oben vorgerechnet. Diesmal durchlaufen wir alle Schritte.''
|Inhalt= <big>''Hier wird das zweite Beispiel von oben vorgerechnet. Diesmal durchlaufen wir alle Schritte.''<br/>
<br/> Beispiel:<math> \frac{x+5}{3x}=12 </math>
<math> \qquad </math> Beispiel:<math>\qquad \frac{x+5}{3x}=12 </math><br/>
* '''Definitionsmenge bestimmen:'''  
* '''Definitionsmenge bestimmen:''' <br/>
Der Nenner ist <math> 3x</math>, d.h. wir dürfen nicht x = 0 einsetzen, dann würde der Nenner 0 sein.<br/>  
<math> \qquad </math> Der Nenner ist <math> 3x</math>, d.h. wir dürfen nicht x = 0 einsetzen, <math> \qquad </math> dann würde der Nenner 0 sein.<br/>  
Daraus folgt: D = <math> \Q  \setminus \{0 \}  </math><br/><br/>
<math> \qquad </math>Daraus folgt: D = <math> \Q  \setminus \{0 \}  </math><br/><br/>
 
* '''mit Nenner multiplizieren'''
<math> \frac{4}{x}=2 | \cdot x  4=2 \cdotx</math>
 
\Longrighttarrow
\qquad \qquad
 
HIER WIRD noch GEARBEITET:
 
* Gleichungen lösen
* Lösungsmenge bestimmen
* Lösungsmenge mit Definitionsmenge vergleichen
* Probe


* '''mit Nenner multiplizieren'''<br/>
<math>\qquad \frac{x+5}{3x}=12 | \cdot 3x \qquad  \Longrightarrow \qquad x+5 = 36 \cdot x  </math> <br/><br/>
* '''Gleichungen lösen'''<br/>
<math> \qquad x+5 = 36x | -x \qquad  \Longrightarrow \qquad  5= 35x</math> <br/>
<math> \qquad 5 = 35x | :35 \qquad  \Longrightarrow \qquad \frac{5}{35}=x \qquad  \Longrightarrow \qquad \frac{1}{7}=x </math> <br/>
* '''Lösung mit Definitionsmenge vergleichen'''<br/>
'' <math>\qquad \frac{1}{7} </math> gehört zur Definitionsmenge''<br/> <br/>
* '''Lösungsmenge bestimmen bzw. angeben''' <br/>
<math> \qquad L = \{ \frac{1}{7} \}  </math>
* '''Probe'''
<math> \qquad </math> '''Linke Seite:''' <math> \qquad \frac{\frac{1}{7} +5}{3 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{36}{7}} {\frac{3}{7}} = \frac{36 \cdot 7} {7 \cdot 3} = \frac{36}{3} = 12</math>
<math> \qquad </math> '''Linke Seite:''' <math> 12 </math>
</big><br/>
</big><br/>
|Farbe= #0077dd        
|Farbe= #0077dd        
Zeile 95: Zeile 93:
{{Box|Übung 1: Löse die Gleichungen.
{{Box|Übung 1: Löse die Gleichungen.
|
|
#<math>\frac{6}{x} = x+5</math>
#<math>\frac{5}{7-x} = 1</math><br/><br/>
#<math>-\frac{16}{x} = x-10</math>
#<math>\frac{7}{17-x} = \frac{7}{17+x}</math><br/><br/>
#<math>x-2=\frac{24}{x}</math>
#<math>\frac{5}{2x}+\frac{3}{8x}=-2</math><br/><br/>
#<math>\frac{4}{x}=-x+1</math>
{{Lösung versteckt|1= 1. 2 <br/> 2. 0 <br/> 3. <math>-\frac{23}{16}</math> |2=Lösungen|3=schließen}}
#<math>\frac{8x}{4-x}=x+6</math>
{{Lösung versteckt|1= 1. 1 und -6 <br/> 2. 8 und 2 <br/> 3. 6 und -4 <br/> 4. keine Lösungen <br/> 5. 2 und -12  |2=Lösungen|3=schließen}}
|Üben}}
|Üben}}


Aktuelle Version vom 13. November 2023, 15:05 Uhr

Einführung

Erklärung
In einer Bruchgleichung kommt mindestens ein Bruch vor, wobei die unbekannte Variable im Nenner vorkommt. Um die Gleichung zu lösen, formen wir diese Gleichung nach dieser Variablen um. Bei der Lösung ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Dies bedeutet, dass solche Lösungen entfallen, für die der Nenner Null wird.


    Video: Bruchgleichungen einfach erklärt

Susanne gibt einen kurzen Einstieg in das Lösen.

Video laden
YouTube

Beispiele

Beispiele

Hier sind zunächst nur ein paar Beispiele aufgelistet:



Vorgehen

Folgende Schritte musst Du durchlaufen beim Lösen von Bruchgleichungen

  • Definitionsmenge bestimmen
  • mit Nenner multiplizieren (evtl. auch Hauptnenner bestimmen)
  • Gleichungen lösen
  • Lösungsmenge bestimmen
  • Lösungsmenge mit Definitionsmenge vergleichen
  • Probe


Übungen

Beispiel vorrechnen

Hier wird das erste Beispiel von oben vorgerechnet, ohne alle Lösungsschritte tatsächlich zu durchlaufen.


Jetzt muss man noch überprüfen, ob beim Einsetzen der Lösung der Nenner ungleich Null ist. Was hier der Fall ist.



2. Beispiel vorrechnen

Hier wird das zweite Beispiel von oben vorgerechnet. Diesmal durchlaufen wir alle Schritte.
Beispiel:

  • Definitionsmenge bestimmen:

Der Nenner ist , d.h. wir dürfen nicht x = 0 einsetzen, dann würde der Nenner 0 sein.
Daraus folgt: D =

  • mit Nenner multiplizieren



  • Gleichungen lösen



  • Lösung mit Definitionsmenge vergleichen

gehört zur Definitionsmenge

  • Lösungsmenge bestimmen bzw. angeben

  • Probe

Linke Seite: Linke Seite:



Aufgaben

Übung 1: Löse die Gleichungen.






1. 2
2. 0
3.


Übung 2: Übung - Definitionsmenge bestimmen


Übung 3: Übung - Schrittfolge üben


Übung 4: Übung - Termumformungen


Abgerufen von „https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik8/Terme_und_Gleichungen/Bruchgleichungen&oldid=90728“