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Ben - Lineare Gleichungssysteme

Ben - Lineare Gleichungssysteme
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Es werden erste Versuche unternommen.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Bei linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) hast du mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten könnte zum Beispiel so aussehen:

(I) 6x + 2y = 18
(II) y = 3x - 3

Es besteht aus zwei Gleichungen, die jeweils zwei Variablen enthalten – in unserem Fall sind das und . Beim LGS lösen ist dein Ziel, Werte für die Variablen zu finden, sodass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

x = 2
y = 3    

Gleichungssysteme lösen – Besonderheiten

Es könnte auch passieren, dass einem zwei Spezialfälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen begegnen. Ein lineares Gleichungssystem kann nämlich gar keine oder unendlich viele Lösungen haben.

keine Lösung:

(I) y = 3x -1
(II) 9x +14 = 3y

Du siehst, dass (I) schon ganz nach y aufgelöst ist, also verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt y aus (I) in (II) ein.

9x + 14 = 3 * (3x - 1)
9x + 14 = 9x - 3 |-9x
14 ≠ -3

Hier würde am Ende 14 = -3 stehen. Aber das ist natürlich nie richtig! Das heißt, es gibt keine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem. Du schreibst die Lösungsmenge trotzdem hin, aber sie bleibt leer.

L = {}

unendlich viele Lösungen:
(I) y = 2x - 7
(II) 3y +21 = 6x

Du setzt y in (II) ein, um das LGS zu lösen. 3 * (2x -7)+ 21 = 6x
6x - 21 + 21 = 6x
6x = 6x
x=x

Dass x = x ist, gilt immer – egal welche Zahlen du für x und y einsetzt. Das heißt, das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge schreibst du dann als alle Zahlen x und y, für die y = 2x -7 gilt.
L = {(x|y) |y = 2x - 7}

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst:

1. Gleichsetzungsverfahren:

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).

Schritt 2: Setze die Terme gleich.

Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.

Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.

2. Einsetzungsverfahren:

Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.

Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.

Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable.

Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

3. Additionsverfahren:

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.

Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.

Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.

Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.

Übungen zu den einzelnen Verfahren

1. Gleichsetzungsverfahren Aufg.:

Übung 1: Bearbeite die folgende Übung:

Hast du es immer noch nicht verstanden?

Hier sind nochmal ein paar Vidos zur Vertiefung:

Zum lernen für das Gleichsetzungsverfahren:

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Zum lernen für das Einsetzungsverfahren:

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Zum lernen für das Additionsverfahren:

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