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Bei linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) hast du mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten könnte zum Beispiel so aussehen:
(I) 6x + 2y = 18
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(II) y = 3x - 3   
Es besteht aus '''zwei Gleichungen''', die jeweils '''zwei Variablen''' enthalten – in unserem Fall sind das  und . Beim LGS lösen ist dein Ziel, Werte für die Variablen zu finden, sodass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:
x = 2
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y = 3
    
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Es könnte auch passieren, dass einem zwei Spezialfälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen begegnen. Ein lineares Gleichungssystem kann nämlich gar '''keine''' oder '''unendlich viele Lösungen''' haben.
'''<u><big> keine Lösung:</big></u>'''
(I) y = 3x -1
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(II) 9x +14 = 3y   
Du siehst, dass (I) schon ganz nach y aufgelöst ist, also verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt y aus (I) in (II) ein.
9x + 14 = 3 * (3x - 1)
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9x + 14 = 9x - 3        |-9x
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14  ≠ -3
Hier würde am Ende 14 = -3 stehen. Aber das ist natürlich nie richtig! Das heißt, es gibt '''keine Lösung''' für dieses lineare Gleichungssystem. Du schreibst die Lösungsmenge trotzdem hin, aber sie bleibt '''leer'''.
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L = {}
'''<u><big> unendlich viele Lösungen:</big></u>'''
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(I) y = 2x - 7 
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(II) 3y +21 = 6x
Du setzt y in (II) ein, um das LGS zu lösen.
3 * (2x -7)+ 21 = 6x
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6x - 21 + 21 = 6x
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6x = 6x
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x=x
Dass x = x ist, gilt immer – egal welche Zahlen du für x und y einsetzt. Das heißt, das lineare Gleichungssystem hat '''unendlich viele''' Lösungen. Die Lösungsmenge schreibst du dann als alle Zahlen x und y, für die y = 2x -7 gilt.
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L = {(x|y) |y = 2x - 7}
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'''<u><big>1. Gleichsetzungsverfahren:</big></u>'''
'''Schritt 1:''' Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).
'''Schritt 2:''' Setze die Terme gleich.
'''Schritt 3:''' Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.
'''Schritt 4:''' Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).
'''Probe:''' Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.
'''<u><big>2. Einsetzungsverfahren:</big></u>'''
'''Schritt 1:''' Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.
'''Schritt 2:''' Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.
'''Schritt 3:''' Berechne die noch enthaltende Variable.
'''Schritt 4:''' Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.
'''Probe:''' Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.
'''<u><big>3. Additionsverfahren:</big></u>'''
'''Schritt 1:''' Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.
'''Schritt 2:''' Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.
'''Schritt 3:''' Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.
'''Schritt 4:''' Berechne die andere Variablen.
'''Probe:''' Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.
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<div style="font-size: 20pt; background-color:#97b8f9 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; ">Übungen zu den einzelnen Verfahren</div>
'''<u><big>1. Gleichsetzungsverfahren Aufg.:</big></u>'''




<div style="font-size: 15pt; background-color: #b6216d; text-align: center; color: yellow; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Übungen in der Anton-App</div>
Übung 1: Bearbeite die folgende Übung:
 
{{LearningApp|app= p4ci3ytc323|width=100%|height=500px}}


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<div style="font-size: 20pt; background-color: blue; text-align: center; color: yellow; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Diagramme und Diagrammarten</div>
<div style="font-size: 20pt; background-color:#97b8f9 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; ">Hast du es immer noch nicht verstanden? </div>
 
Hier sind nochmal ein paar Vidos zur Vertiefung:
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Zum lernen für das Gleichsetzungsverfahren:<br />
{{#ev:youtube|i361KL1OumQ}}
<br />
 
Zum lernen für das Einsetzungsverfahren:<br />
{{#ev:youtube|SDVU0ENxN7g}}
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Zum lernen für das Additionsverfahren:<br />
{{#ev:youtube|TPOc0kgfkCU}}
<br />
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Aktuelle Version vom 9. November 2023, 10:53 Uhr

Mein Betreuer

Ben - Lineare Gleichungssysteme
Ben - Lineare Gleichungssysteme
Datei:Mathematic World.jpg
 Ich arbeite hier

Es werden erste Versuche unternommen.


Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Bei linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS) hast du mehrere Gleichungen gegeben, in denen zwei oder mehr unbekannte Variablen vorkommen. Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten könnte zum Beispiel so aussehen:

(I) 6x + 2y = 18
(II) y = 3x - 3

Es besteht aus zwei Gleichungen, die jeweils zwei Variablen enthalten – in unserem Fall sind das und . Beim LGS lösen ist dein Ziel, Werte für die Variablen zu finden, sodass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind:

x = 2
y = 3    

Gleichungssysteme lösen – Besonderheiten

Es könnte auch passieren, dass einem zwei Spezialfälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen begegnen. Ein lineares Gleichungssystem kann nämlich gar keine oder unendlich viele Lösungen haben.

keine Lösung:

(I) y = 3x -1
(II) 9x +14 = 3y

Du siehst, dass (I) schon ganz nach y aufgelöst ist, also verwendest du das Einsetzungsverfahren und setzt y aus (I) in (II) ein.

9x + 14 = 3 * (3x - 1)
9x + 14 = 9x - 3 |-9x
14 ≠ -3

Hier würde am Ende 14 = -3 stehen. Aber das ist natürlich nie richtig! Das heißt, es gibt keine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem. Du schreibst die Lösungsmenge trotzdem hin, aber sie bleibt leer.

L = {}

unendlich viele Lösungen:
(I) y = 2x - 7
(II) 3y +21 = 6x

Du setzt y in (II) ein, um das LGS zu lösen. 3 * (2x -7)+ 21 = 6x
6x - 21 + 21 = 6x
6x = 6x
x=x

Dass x = x ist, gilt immer – egal welche Zahlen du für x und y einsetzt. Das heißt, das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge schreibst du dann als alle Zahlen x und y, für die y = 2x -7 gilt.
L = {(x|y) |y = 2x - 7}



Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst:

1. Gleichsetzungsverfahren:

Schritt 1: Forme beide Gleichungen nach derselben Variable um (z. B. x).

Schritt 2: Setze die Terme gleich.

Schritt 3: Löse die Gleichung nach der übrigen Variable (z. B. y) auf.

Schritt 4: Setze nun das Ergebnis aus Schritt 3 in eine der Gleichungen aus Schritt 1 ein. So berechnest du den Wert der anderen Variable (x).

Probe: Nun setzt du die ermittelten Werte in die ursprünglichen Gleichungen des linearen Gleichungssystems ein. Wenn die Gleichungen erfüllt sind, ist dein Ergebnis richtig.


2. Einsetzungsverfahren:

Schritt 1: Wähle eine Gleichung aus, die du nach einer Variablen umformst.

Schritt 2: Setze den Wert der Variable in die andere Gleichung ein.

Schritt 3: Berechne die noch enthaltende Variable.

Schritt 4: Setze die in Schritt 3 berechnete Variable in die Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die übrig gebliebene Variable.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.


3. Additionsverfahren:

Schritt 1: Überlege dir, welche Variable du entfernen möchtest.

Schritt 2: Multipliziere die Gleichungen mit Zahlen, sodass sich eine Variable gegenseitig aufhebt.

Schritt 3: Addiere beide Gleichungen zusammen. Du erhältst damit eine neue Gleichung, die die gewählte Variable nicht mehr enthält.

Schritt 4: Berechne die andere Variablen.

Probe: Setze die ermittelten Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, ob die Gleichungen erfüllt sind.



Übungen zu den einzelnen Verfahren

1. Gleichsetzungsverfahren Aufg.:


Übung 1: Bearbeite die folgende Übung:




Hast du es immer noch nicht verstanden?

Hier sind nochmal ein paar Vidos zur Vertiefung:


Zum lernen für das Gleichsetzungsverfahren:

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Zum lernen für das Einsetzungsverfahren:

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Zum lernen für das Additionsverfahren:

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