Benutzer:Stoll-Gym10Erfurt/Mathematik8/Terme und Gleichungen/Bruchgleichungen

Einführung

Erklärung

In einer Bruchgleichung kommt mindestens ein Bruch vor, wobei die unbekannte Variable im Nenner vorkommt. Um die Gleichung zu lösen, formen wir diese Gleichung nach dieser Variablen um. Bei der Lösung ist zu beachten, dass der Nenner nicht Null werden darf. Dies bedeutet, dass solche Lösungen entfallen, für die der Nenner Null wird.

    Video: Bruchgleichungen einfach erklärt

Susanne gibt einen kurzen Einstieg in das Lösen.

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Beispiele

Beispiele

Hier sind zunächst nur ein paar Beispiele aufgelistet:

• $\frac{4}{x}=2$
• $\frac{x+5}{3x}=12$
• $\frac{3x-1}{x-1}=2$

Vorgehen

Folgende Schritte musst Du durchlaufen beim Lösen von Bruchgleichungen

• Definitionsmenge bestimmen
• mit Nenner multiplizieren (evtl. auch Hauptnenner bestimmen)
• Gleichungen lösen
• Lösungsmenge bestimmen
• Lösungsmenge mit Definitionsmenge vergleichen
• Probe

Übungen

Beispiel vorrechnen

Hier wird das erste Beispiel von oben vorgerechnet, ohne alle Lösungsschritte tatsächlich zu durchlaufen.

• $\frac{4}{x}=2$
• $\frac{4}{x}=2 | \cdot x$
• $4 = 2 \cdot x | : 2$
• $2 = x \qquad bzw. \qquad x = 2$

Jetzt muss man noch überprüfen, ob beim Einsetzen der Lösung der Nenner ungleich Null ist. Was hier der Fall ist.

2. Beispiel vorrechnen

Hier wird das zweite Beispiel von oben vorgerechnet. Diesmal durchlaufen wir alle Schritte.
$\qquad$ Beispiel:$\qquad \frac{x+5}{3x}=12$

• Definitionsmenge bestimmen:
  

$\qquad$ Der Nenner ist $3x$, d.h. wir dürfen nicht x = 0 einsetzen, dann würde der Nenner 0 sein.
$\qquad$Daraus folgt: D = $\Q \setminus \{0 \}$

• mit Nenner multiplizieren
  

$\qquad \frac{x+5}{3x}=12 | \cdot 3x \qquad \Longrightarrow \qquad x+5 = 36 \cdot x$

• Gleichungen lösen
  

$\qquad x+5 = 36x | -x \qquad \Longrightarrow \qquad 5= 35x$
$\qquad 5 = 35x | :35 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{5}{35}=x \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{1}{7}=x$

• Lösung mit Definitionsmenge vergleichen
  

$\qquad \frac{1}{7}$ gehört zur Definitionsmenge

• Lösungsmenge bestimmen bzw. angeben
  

$\qquad L = \{ \frac{1}{7} \}$

• Probe

$\qquad$ Linke Seite: $\qquad \frac{\frac{1}{7} +5}{3 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{36}{7}} {\frac{3}{7}} = \frac{36 \cdot 7} {7 \cdot 3} = \frac{36}{3} = 12$ $\qquad$ Linke Seite: $12$

Aufgaben

Übung 1: Löse die Gleichungen.

1. $\frac{6}{x} = x+5$
2. $-\frac{16}{x} = x-10$
3. $x-2=\frac{24}{x}$
4. $\frac{4}{x}=-x+1$
5. $\frac{8x}{4-x}=x+6$

1. 1 und -6
2. 8 und 2
3. 6 und -4
4. keine Lösungen
5. 2 und -12

Übung 2: Übung - Definitionsmenge bestimmen

Übung 3: Übung - Schrittfolge üben

Übung 4: Übung - Termumformungen