Benutzer:Buss-Haskert/Ideen Oberstufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Begründung: Schau den Verlauf der Ableitungsfunktion im Applet oben an. Die Ableitungsfunktion fällt bei einem Hochpunkt, also ist ihre Steigung (f") dort negativ.<br>
Begründung: Schau den Verlauf der Ableitungsfunktion im Applet oben an. Die Ableitungsfunktion fällt bei einem Hochpunkt, also ist ihre Steigung (f") dort negativ.<br>
Bei einem Tiefpunkt steigt die Ableitungsfunktion, die Steigung (f") ist also positiv.|2=Begründung|3=Verbergen}}
Bei einem Tiefpunkt steigt die Ableitungsfunktion, die Steigung (f") ist also positiv.|2=Begründung|3=Verbergen}}
Hier: f"(x) = 6x - 6<br>
{{Lösung versteckt|1=Hier: f"(x) = 6x - 6<br>
f"(-1,31) = 6·(-1,31) - 6 = -13,86 '''<''' 0, also '''Hoch'''punkt<br>
f"(-1,31) = 6·(-1,31) - 6 = -13,86 '''<''' 0, also '''Hoch'''punkt<br>
f"(3,31) = 6·3,31 - 6 = 13,86 '''>''' 0, also '''Tief'''punkt.
f"(3,31) = 6·3,31 - 6 = 13,86 '''>''' 0, also '''Tief'''punkt.|2=Rechnung zur Aufgabe|3=Verbergen}}
====2.4 Krümmungsverhalten====
====2.4 Krümmungsverhalten====
Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, betrachte das Krümmungsverhalten des Graphen. Steigt der Graph zunächst und fällt danach, handelt es sich um einen Hochpunkt, der Graph ist rechtsgekrümmt<br>
Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, betrachte das Krümmungsverhalten des Graphen. Steigt der Graph zunächst und fällt danach, handelt es sich um einen Hochpunkt, der Graph ist rechtsgekrümmt<br>

Version vom 11. September 2023, 15:51 Uhr

2. Kurvendisussion

Kurvendiskussion - Wie verläuft der Graph der Funktion

Beschreibe den Verlauf des Graphen der Funktion
f(x) = x³ - 3x² - 13x + 15. Bestimme dazu

  • Verhalten gegen +∞ und -∞
  • die Extrempunkte (Hochpunkt/Tiefpunkt)
  • Wendepunkte
  • Monotonieintervalle
  • Krümmungsintervalle

2.1 Verhalten gegen Verhalten gegen +∞ und -∞

Für das Verhalten der Funktion gegen ∞ ist nur der Ausdruck mit dem höchsten Exponenten von Bedeutung! Hier also x³.
Du überlegst also, von wo der Graph der Funktion für sehr kleine x kommt (umgangssprachlich: von oben, +∞ oder von unten,-∞) und wohin er für sehr große x geht (ebenfalls von oben, +∞ oder von unten,-∞)
So kannst du diese Teile des Graphen schon einmal skizzieren.

2.2 Extrempunkte (Hochpunkt/Tiefpunkt)

Die Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Um diese zu berechnen, schau, welche Steigung der Graph an diesen Stellen annimmt. Lass dir dazu im Applet die Steigung im Punkt A anzeigen.
Originallink: https://www.geogebra.org/m/jmrbypju

GeoGebra

(Applet von C. Buß-Haskert)

Die Steigung am Hochpunkt und am Tiefpunkt ist jeweils 0!
Lass dir die Steigung zum Punkt jeweils einzeichnen. Es ergibt sich eine Parabel, an der du jeweils die Steigung im entsprechenden Punkt des Graphen ablesen könntest. Diese Parabel ist die 1. Ableitung! Lass dir diese ebenfalls im Applet oben anzeigen.
Um die Extremstellen zu berechnen, musst du also herausfinden, für welche Werte von x die Ableitung den Wert 0 annimmt:
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0!
Berechne!

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, musst du die 2. Ableitung bentuzen:
Es gilt:
f"(xE)>0 , dann handelt es sich um einen Tiefpunkt
f"(xE)<0 , dann handelt es sich um einen Hochpunkt

2.4 Krümmungsverhalten

Um zu entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt, betrachte das Krümmungsverhalten des Graphen. Steigt der Graph zunächst und fällt danach, handelt es sich um einen Hochpunkt, der Graph ist rechtsgekrümmt
Fällt der Graph zunächst und steigt danach, handelt es sich um einen Tiefpunkt, der Graph ist linksgekrümmt.
Das Video erklärt dies noch einmal: